第2单元 03 增分微课1 函数的值域与最值（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数值域与最值专题，依据高考评价体系梳理了单调性法、换元法、导数法等六大核心方法，通过近五年真题分析明确单调性应用占30%、导数法占25%的高频考点分布，归纳分段函数、复合函数等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“方法拆解+真题变式+素养融合”策略，如用换元法破解含根号函数最值（例3），几何法将距离问题转化为解析几何模型（例5），培养直观想象与数学建模素养。课时作业分层设置基础与综合题，助力学生掌握分类讨论等解题技巧，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

增分微课1 函数的值域与最值 1 方法一 方法二 方法三 方法四 方法五 方法六 课时作业 2 例1（1）函数， 的值域为________. [解析] 因为和在 上均单调递减，所以 在上单调递减，所以 ， 即，所以函数，的值域为 . 方法一 单调性法 3 （2）函数 的值域为 ___________________. [解析] 设，， 当 时，取得最小值，当时，取得最大值5，即 函数为减函数， ， 即， 函数 的值域为 . 4 变式题（1）函数 的值域为 ________. [解析] 因为函数和在 上都单调递增， 所以在上单调递增, 当 时，， 当时， ， 故所求函数的值域为 . 5 （2）已知函数则 的最大值为___. 4 [解析] 当时，在 上单调递增，此时 ； 当时，在 上单调递减， 此时. 综上可知， 的最大值为4. 6 例2 已知， ，若 则 ( ) A.有最大值3，最小值 B.有最大值 ，无最小值 C.有最大值3，无最小值 D.无最大值，有最小值 √ 方法二 图象法 7 [解析] 作出 的图象，如图中实线 部分所示，由图可知在 处 取得最大值，无最小值. 由，得 ， 解得或 ，可得 ， 所以 ， 所以有最大值 ，无最小值. 故选B. 8 变式题 记实数，， ，中的最小数为，， ， ， 若，，，则函数 的最大值 为__. 9 [解析] 如图所示，在同一个坐标系中，分别作 出函数， ， 的图象，则 ， ， 的图象即是图中的实线部分， 由图可知，函数的最大值即 的图象的最高点的纵坐标. 由 解得故函数的最大值为 . 10 例3 函数 的最大值为_ __. [解析] 令，则 ，所以 ， 由二次函数的性质知，当，即时，取得最大值 . 方法三 换元法 11 变式题（1）函数 的最小值为( ) A.2 B. C.1 D.不存在 [解析] ，令 ，则， 易知在 上单调递增，所以 .故选B. √ 12 （2）函数 的值域为_________________. [解析] 由,得，令, ，则原函 数可化为 . 因为 ，所以，则 ， 所以 ，所以函数 的值域为 . 13 例4 函数 的值域为_________________. [解析] ，其中 的值域为，故函数 的值域为 . 方法四 分离常数法 14 变式题 函数 的值域为_____________. [解析] ，因为 ，所以 ，所以的值域为 . 15 例5（1）函数 的值域为 ____________. [解析] 原函数可变形为 ， 上式可看成 轴上的点到两定点,的距离之和， 当点 为线段与轴的交点时， ， 故所求函数的值域为 . 方法五 几何法 16 （2）函数 的值域为_________. [解析] 设点,则点在半圆弧 上， 点到直线的距离, 当 时，由得半圆弧与直线 的交点坐标为 . ①当时，圆弧在直线 的 左下方，,则 , 17 到直线的距离最大，所以 , 故;②当时， ； ③当时，圆弧在直线 的右上 方，,此时点到直线 的距离的最大值等 于圆的半径1，所以,故 . 综上，函数的值域为 . 变式题 函数 的值域为_ _____________. [解析] 表示点与点连线的斜率. 点的轨迹为圆， 表示圆 上的点与点连线的斜率. 过点 作圆的切线，斜率必然存在， 设过点 的圆的切线方程为 ， 即， 圆心到切线的距离 ， 解得，则圆上的点与点 连线的斜率的 取值范围为，即的值域为 . 19 例6 已知函数，，则 的最小值为 _ ___________. [解析] 由,，可得 , ，设，则， ， 令，得，令，得，所以 在 上单调递减，在上单调递增， 又因为 ,所以， 所以 在上单调递减，则 . 方法六 导数法 20 变式题 函数在区间 上的最大值是__. [解析] 因为，所以， 当 时，，当时，， 故函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以 , . 21 课时作业 22 ◆ 基础热身 ◆ 1.下列函数中，值域为 的是( ) A. B. C. D. [解析] 的值域为，故A错误； 的定义域为，值域也是，故B正确； 的值域为，故C错误； 的值域为 ，故D错误.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 2.函数在区间 上的最小值是( ) A. B.0 C. D. [解析] 因为，所以在 上单调递增， 所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 3.函数 的( ) A.最小值为0，最大值为1 B.最小值为0，无最大值 C.最小值为0，最大值为5 D.最小值为1，最大值为5 [解析] 当时，函数单调递减， ； 当时，函数单调递减，. 综上所述， ，所以 的最小值为0，无最大值.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 4.函数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] 令,则 , , , 函数的值域为 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 5.[2025·湖南长沙芙蓉高级中学模拟]已知函数 ,则函数 的最小值为( ) A. B.1 C. D. [解析] 函数的定义域为，且， 令 ，可得． 当时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增． 故 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 6.[2025·湖北宜荆荆恩四校联考]已知 ，函数 的值域为，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，函数单调递增，所以 ，要使 得函数的值域为，只需，解得，所以实数 的 取值范围是 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 7.已知,设, ,则函 数 的值域为__________. [解析] 令 ,解得, 则 作出 的图象如图所示.易知 , 根据图象得，函数的值域为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 8.函数 的值域为_ ____________. [解析] 可看成定点与动点 的连线所在直线的斜率. 又动点在单位圆上，所以问题转化为求定点 与单位圆上的点的连线所在直线的斜率问题.设直线的方程为 ，即 ， 若直线与单位圆相切，则,解得, 所以函数 的值域为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 ◆ 综合提升 ◆ 9.若函数的值域是，则函数 的值域是 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 [解析] 令，则，函数化为 . 当时，单调递减，当时， 单调递增， 又当时，，当时，，当时， ，所以 函数的值域为 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.[2026⋅ 甘肃武威质检]若函数的值域为 ，则函数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意可知，令,得, , 则, , 又的图象所在抛物线的对称轴方程为 ,抛物线的开口向上且 ,, 函数的值域为 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 11.（多选题）下列说法正确的是( ) A.函数的值域为 B.函数 的最大值为2 C.若函数的值域为，则 的取值范围是 D.函数的最小值为 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 [解析] 对于A，由 得, 函数的 定义域为 ,在上单调递减, 当 时函数取得最大值,又, 即, 该函数的值域为 ,故A错误; 对于B，,则 , 当且仅当,即 时等号成立,故B错误; 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ，解得或， 的取值范围是,故C正确; 对于D，, 可以看作是以原点为圆心,1为 半径的圆上的动点 与定点所构成直线的斜率, 当直线与圆相切时, 取得最值,易知当直线的倾斜角为时, 取得最大值,最大值为 , 函数的最小值为, 故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.函数， 的值域是______. [解析] 函数,, 令,则 ,则,, 则,所以 的值域是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 13.函数 的值域为___________. [解析] 由，得.令 ， ，则 . 因为 ，所以，所以， 所以 ， 所以函数的值域为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 14.已知,，则 的取值 范围为_________. [解析] 由题意得 ，化简得 ，当时， ， 而函数在 上单调递减，则 ，则，所以， 故 的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 15.设函数 若 对一切 恒成立，则 的最小值为_____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 则 ，画出函数的图象如图， 从而 ， 记,， , ， 故 ，则，即，或， 即 ，由于，故 .令， 解得 ，故，故的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $