第1单元 03 第3讲 等式与不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等式与不等式”专题，依据课标要求梳理比较大小、等式性质、不等式性质三大核心考点，对接高考评价体系分析近五年真题，明确“不等式性质应用”占50%、“作差法比较大小”占30%的高频考点分布，归纳作差法、作商法等典型题型。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+真题演练”的备考体系，如例1用“作差法变形定号”比较数式大小，培养推理能力，例3通过整体代换求取值范围强化逻辑思维。含教材改编题、2026年模拟题等真题训练，特设“忽视字母取值范围”等易错点分析，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第3讲 等式与不等式 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.两个实数比较大小的方法 ___ , ___ , ___ = （1）作差法 课 前 基 础 巩 固 4 ___ , ___ , ___ = （2）作商法 课 前 基 础 巩 固 5 2.等式的性质 （1）若,，则 . （2）如果,则对任意 ,都有_____________或_____________. （3）如果,则对任意不为零的 ,都有________或_ _____. 课 前 基 础 巩 固 6 3.不等式的性质 性质 内容 可加性 如果,那么___ 可乘性 如果,,那么___ 如果,,那么___ 传递性 如果, ,那么______ 对称性 课 前 基 础 巩 固 7 4.不等式性质的推论 推论 内容 移项法则 如果,那么 同向不等式相加 如果, ,那么_____________ 同向不等式相乘 如果, ,那么_________ 可乘方性 如果,那么_________ 可开方性 如果,那么 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 1.若，且 . 2.若，，则 . 3.若,,,，则 ; 若，，，，则 . 课 前 基 础 巩 固 9 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］设，，则与 的 大小关系为_______. [解析] .故 . 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］ 若，则 的取值范围是______. [解析] 由已知得，，所以 ， 又 ，所以，故 . 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］已知,,都是实数，若 ，则下列说法正确的是 ____.（填序号） ；；； . ④ [解析] 对于①，，由，得，但, 的正 负无法判断，故①错误； 对于②，当时，得 ，故②错误； 对于③，，由，得，但 的正负无法判断， 故③错误； 对于④，由，得 ，故④正确.故填④. 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 4.［忽视字母的取值范围］对于任意实数，，， ,给出下列四个 说法： ①若,，则 ； ②若,则 ； ③若，则 ； ④若,，则 . 其中，正确说法的序号是____. ③ 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 当时，①显然错误； 当 时，②显然错误； 若，则，,③正确； 当，， ，时， ，④显然错误. 故填③. 课 前 基 础 巩 固 14 5.［多次运用不等式性质致错］已知实数,,则 的 取值范围是________. [解析] 依题意可得,当时，可得 ; 当时，,所以,所以 . 综上可知， . 课 前 基 础 巩 固 15 6.［变形不彻底或方向不明确］设，，则 , 的大小关系是______. [解析] ，故 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 比较数（式）的大小 例1（1）已知，均为正实数，若, ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，均为正实数，,，得 ，当且仅当时取等号，所以 . 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 17 （2）设,,，比较, 的大小. 解：方法一（作商法）因为，所以 , , ，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 18 方法二（作差法） . 因为，所以,,, ， 所以，所以 . 课 堂 考 点 探 究 19 [总结反思] （1）判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式 性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等. （2）作差（商）法的一般步骤是:作差（商）,变形,定号,得出结论. 课 堂 考 点 探 究 20 变式题（1）（多选题）下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] ， ，故 A正确； ，，的符号不确定，与 的大小不确定，故B错误； ， ，故C错误； ，，，， 故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 22 （2）已知，则与 的大小关 系是_______. [解析] 方法一：因为，所以 , ，所以 . 因为，所以，即 . 方法二：, ， 因为, ， 所以,所以 . 课 堂 考 点 探 究 23 探究点二 不等式的性质 例2（1）[2026·江苏南通海门区调研]若 ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据不等式的性质逐项判断即可； √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 对于选项A，因为，所以，所以 ， 即，所以选项A错误； 对于选项B，因为 ，所以，所以， 即 ，所以选项B正确； 对于选项C，因为，所以，即 ，所以选项C错误； 对于选项D，因为，所以 ，所以选项D错误.故选B. 课 堂 考 点 探 究 25 （2）已知，，， 均为实数，则下列说法正确的是( ) A.若，，则 B.若，则 C.若，则 D.若且，则 ［思路点拨］由不等式的性质及特例逐项判断即可. √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 对于A，取，，，，则 ， 故A错误； 对于B，当，时，，但 ，故B错误； 对于C，当 时， ，故C正确； 对于D，因为，，所以，则 ， 故D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式 是否成立时要特别注意前提条件. （2）利用特殊值法排除错误答案，需注意取值一定要遵循三个原则： 一是满足题设条件；二是取值要简单；三是所取的值要有代表性. （3）构造函数，利用函数的单调性判断. 课 堂 考 点 探 究 28 变式题（1）[2025·北京房山区一模]已知,，且 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，令,，则 ，故A错误； 对于B，令,，则 ，故B错误； 对于C， ， 因为，所以，而, 且不同时为0， 故，即，故C正确； 对于D，令, ,则 ，故D错误.故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 29 （2）（多选题）[2025·山东临沂二模]已知 ，则下列不等 式一定正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 对于A，，因为 ， 所以,,，即 ，所以 ，故A正确. 对于B，取，此时 ，故B错误. 对于C，令，，，则 ，故C错误. 对于D，若，则 ； 若，则； 若 ，则； 若或 ，则. 综上所述,只要就一定有 ,故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 31 探究点三 不等式性质的综合应用 例3（1）（多选题）已知实数,满足 , ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用不等式的可加性判断A，B； 将 变形为后判断C； 将 变形为 后判断D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 因为所以，解得 ，故 A正确； 因为所以 ，解得， 故B错误； 因为 ，,， 所以 ，故C正确； 因为， , ，所以，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）（多选题）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面 积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于 ，并且 这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上， 同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是 ( ) A.若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B.若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C.若增加的窗户面积和地板面积比值为 ，则住宅的采光条件一定变差 D.若增加的窗户面积和地板面积比值为 ，则住宅的采光条件一定变差 √ √ 课 堂 考 点 探 究 34 ［思路点拨］设窗户面积与地板面积分别为， ，由题意可知 ，即 ，结合作差法逐项判断即可. [解析] 设原来的窗户面积与地板面积分别为， ，则由题意可知 ，即 ，按采光标准，窗户面积与地板面积的比 值不小于，即，且当 越大时，住宅的采光条件越好． 对于A，B，设增加的窗户面积和地板面积均为，则 ， 因为，所以 ， 所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好， 故A正确，B错误； 课 堂 考 点 探 究 35 对于C，若增加的窗户面积为 ，则增加的地板面积为， 故，若 ， 则 ，此时住宅的采光条件不变，故C错误； 对于D，若增加的窗户面积为，则增加的地板面积为 ， 故 ， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为 ，则住宅的采光条件一定 变差，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）求代数式的取值范围需注意两点:（1）严格运用不等式的性质; （2）利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在 多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. （2）在解决与不等关系有关的实际问题时，要读懂题意，用适当的 不等号将相关数（或式）联系起来，还要注意字母的实际意义. 课 堂 考 点 探 究 37 变式题 已知实数，，满足，且，那么 的 取值范围是_ ________. [解析] 因为，且，所以， ， . 由，得，故 . 由，得，故，所以 . 课 堂 考 点 探 究 38 课时作业 39 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知, ,则( ) A. B. C. D. [解析] , .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 2.设，，，则， 的大 小关系为( ) A. B. C. D.不确定 [解析] 由题知，，因为 ， 所以 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 3.下列结论中正确的是( ) A.若且，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 [解析] 对于A选项,令,，满足且,但 ， 故A错误； 对于B选项,令,，满足,但 ，故B错误； 对于C选项,令,,,，满足 , , 但故C错误； 对于D选项,由 及不等式的性质可得 ,故D正确.故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 4.设,,， ，下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，若，则， ，故A错误； 对于B，因为，所以 ，故B正确； 对于C，D，若，则， ，故C，D错误. 故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 5.[2025·福州部分学校最后一卷]已知 ， ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为， ， ，所以，所以 的取值范围是 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 6.（多选题）[2026·重庆模拟]已知 ，则下列不等式恒成立 的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 [解析] 对于A，当, 时，A显然不成立. 对于B，若,则，故B恒成立. 对于C，因为 ,所以, ,所以, 所以 ,故C恒成立. 对于D，因为,所以,所以 ,故D恒成立. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知,,则 的取值范围是_________. [解析] ,,故.又 , ,则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 8.李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方 案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付 元．方案二： 每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120 元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所 付金额，则 的最大值为____． 24 [解析] 由题意可得，解得，所以 的最 大值为24. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 ◆ 综合提升 ◆ 9.设,,的平均数为,与的平均数为,与的平均数为 .若 ,则( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意得,,, . 对于A,,, , ,,, ,故A错误. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 对于B,,, , ,,, ,故B正确. 对于C,,, , ,,, ,故C错误. 对于D,,, ,故D错误.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.设,,，其中 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，故 . 由对勾函数的性质可得， ， 且. 综上所述， .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 11.[2026·广东惠州一中模拟]某校高一年级男生人数多于女生人数， 在选科后选报物理方向的人数多于选报历史方向的人数，则( ) A.选报物理方向的男生多于女生 B.选报历史方向的女生多于男生 C.选报物理方向的女生多于选报历史方向的男生 D.选报物理方向的男生多于选报历史方向的女生 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 [解析] 根据已知条件，设选科后选报物理方向的男生人数为 ，女 生人数为；选报历史方向的男生人数为，女生人数为 . 根据题意可得 所以，即 ， 故选报物理方向的男生多于选报历史方向的女生.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 12.（多选题）[2025·广东茂名模拟]下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若,，则 D.若，则 [解析] 对于A，取,，满足，但是 ，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘负数 ，不等号方向改变， 所以，不等式两边同时乘负数 ，不等号方向改变， 所以，所以 ，故B正确； √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 对于C，因为， ， 所以，又，即，所以 ， 所以，故C正确； 对于D，由可得 ，故，所以不一定成立， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.若，， ，则 的最小值为____. [解析] 因为，， ， 所以，，，从而，， ， 所以当，异号时，取得最小值 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 14.若实数,,，且, ，则 的取值范围是________. [解析] 因为,，所以, ， 由,,，得 解得 ，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 ◆ 能力拓展 ◆ 15.（多选题）[2025·十堰4月调研]已知, ，则 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 [解析] 对于A，若,，则 ，故A错误； 对于B， ,令, 则在 上单调递减，则 ，故B正确； 对于C，，因为， 所以, ，所以 ，故C正确； 对于D，因为，所以， 设 ，则在定义域上单调递增，则 ， 即，所以 ，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 $