2.1 认识一元二次方程课时2（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的解的定义、根的特征及夹逼法估算近似根，通过矩形地面铺地毯、梯子滑动等实际问题导入，引导学生从现实情境抽象方程，搭建从实际问题到方程模型的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实际问题驱动，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过夹逼法估算根的步骤训练数学思维中的推理意识与运算能力，结合典型例题与分层练习，用数学语言构建模型解决问题。小结提炼代入法、夹逼法等核心方法，助力学生提升问题解决能力，为教师提供系统教学资源与清晰教学思路。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 2.1 认识一元二次方程课时2 第二章 一元二次方程 北师大版八年级数学2.1.2一元二次方程的解及其估算（第2课时）同步讲解与习题 本课时承接一元二次方程定义，重点学习一元二次方程的解的意义、利用根的定义代入求值、以及夹逼法估算一元二次方程近似根。方程估算是本章特色考点，也是期中、期末常考题型，核心掌握“取值、代入、比大小、缩范围”的解题步骤。 一、课时核心知识点（必背） 1. 一元二次方程的解（根）的定义 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 核心用法：若$$x=m$$是方程的根，将$$x=m$$代入原方程，等式一定成立，可用于求参数、求代数式的值。 2. 一元二次方程根的特征 - 一元二次方程在实数范围内，最多有2个实数根，可以是两个不相等、两个相等或无实数根。 - 若题目给出一个根，可直接代入方程构造等式求解未知字母。 3. 一元二次方程近似根的估算方法（夹逼法） 适用场景：无法快速求出精确根时，估算根的取值范围或近似值。 估算步骤： 1. 列表取值：代入不同整数，计算方程左边代数式的值； 2. 判断正负：找到使代数式值由正变负或由负变正的两个相邻数； 3. 确定范围：方程的根一定在这两个数之间； 4. 缩小范围：继续取小数估算，得到更精确的近似根。 核心原理：代数式的值跨越0，则区间内必有一个数使式子等于0，即为方程的根。 二、典型例题解析 例1：已知$$x=3$$是方程$$x^2-ax+6=0$$的一个根，求$$a$$的值。 解：把$$x=3$$代入方程得：$$9-3a+6=0$$，解得$$a=5$$。 例2：利用表格估算方程$$x^2-2x-2=0$$的正数根范围。 当$$x=2$$时，原式=$$4-4-2=-2$$（负）；当$$x=3$$时，原式=$$9-6-2=1$$（正）。 可得：方程正根在2～3之间。 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列数中，是方程$$x^2-4=0$$的根的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若$$x=1$$是方程$$x^2+kx-3=0$$的根，则$$k$$的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 3. 已知方程$$x^2-6x+8=0$$，下列说法正确的是（ ） A. x=1是根 B. x=2是根 C. x=4不是根 D. 无实数根 4. 估算方程$$x^2-3x+1=0$$的根，若$$x=2$$时值为负，$$x=3$$时值为正，则根在（ ） A. 1～2之间 B. 2～3之间 C. 3～4之间 D. 无法确定 5. 关于一元二次方程的根，下列说法正确的是（ ） A. 一定有两个根 B. 最多两个实数根 C. 一定有正数根 D. 一定有负数根 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 若$$x=2$$是方程$$x^2+mx-4=0$$的根，则$$m=$$________。 2. 方程$$x^2-x=0$$的两个根可以是$$x=$$0和$$x=$$________。 3. 估算方程$$x^2-5x+3=0$$，当$$x=0$$时值为正，$$x=1$$时值为负，则一个根在________之间。 4. 已知$$x=-1$$是方程$$2x^2+ax-1=0$$的根，则$$a=$$________。 5. 一元二次方程的解的本质是：能使方程________的未知数的值。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）已知$$x=2$$是一元二次方程$$x^2-3x+k=0$$的一个根，求$$k$$的值。 2.（16分）利用夹逼法估算方程$$x^2-4x+2=0$$的一个正根的取值范围（整数区间即可）。 3.（18分）判断$$x=3$$、$$x=-2$$是不是方程$$x^2-x-6=0$$的根，分别说明理由。 四、参考答案与解析 （一）选择题 1.B 解析：代入$$x=2$$，$$4-4=0$$，等式成立。 2.A 解析：代入得$$1+k-3=0$$，解得$$k=2$$。 3.B 解析：代入$$x=2$$，$$4-12+8=0$$，是方程的根。 4.B 解析：代数式值在2～3之间由负变正，存在根。 5.B 解析：一元二次方程实数根最多2个。 （二）填空题 1. 0 2. 1 3. 0～1 4. 1 5. 左右两边相等 （三）解答题 1. 解：将$$x=2$$代入方程：$$4-6+k=0$$，解得$$k=2$$。 2. 解：设$$y=x^2-4x+2$$，当$$x=0$$时，$$y=2>0$$；当$$x=1$$时，$$y=-1<0$$；当$$x=3$$时，$$y=-1<0$$；当$$x=4$$时，$$y=2>0$$。可得方程正根在0～1和3～4两个区间内。 3. 解：将$$x=3$$代入，左边=$$9-3-6=0$$，等式成立，是方程的根；将$$x=-2$$代入，左边=$$4+2-6=0$$，等式成立，是方程的根。 五、课时小结 1. 已知根求参数：直接代入原方程解方程即可； 2. 判断根：代入求值，看左右是否相等； 3. 估算根：利用正负跨越缩小区间，是本课时唯一难点，做题务必列表取值、对比正负。 1.理解一元二次方程的解的意义，能利用方程的解求代数式的值。 2.能根据实际问题列出一元二次方程，会估算一元二次方程的解。 学习目标 2 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同， 你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x (单位：m) 吗? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m 思考：如何确定这个方程中 x 的值，即如何找到方程的解呢? 3 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。 判断一个数是不是方程的解的方法：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。 跟踪训练 以-2为解的方程是(     ) A. x2+2x-2＝0   　　　　　           B. x2-x-2＝0    C. x2+x+2＝0   　　　         　 D. x2+x-2＝0 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 D 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (1)x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2.5吗? 都不可能。因为x表示四周未铺地毯的条形区域的宽度， 所以x不可能小于0。 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (1)x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2.5吗? 根据题意，知8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽， 所以8-2x>0，5-2x>0， 所以x<2.5， 所以x不可能大于4，也不可能大于2.5。 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (2)你能确定x的大致范围吗? 能。 由(1)分析，得x的大致范围是0<x<2.5。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (3)填写下表。 (4)你知道所求宽度 x (单位：m) 是多少吗? 因为所求宽度x的大致范围是0<x<2.5， 所以所求宽度是1m时，可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立。 x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (5) 还有其他求解方法吗? 还可以将18分解因数为6×3， 用8-2x=6和5-2x=3的方法求出其解为x=1。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 依题意可得： (x+6)²+7²=10²， 一般形式： x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (1)小明认为底端也滑动了1m， 他的说法正确吗?为什么? 不正确。 因为x=1不满足方程x²+12x-15=0， 所以他的说法不正确。 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 不可能是2m，也不可能是3m。 因为x=2和x=3同样都不满足方程x²+12x-15=0，所以二者都不可能。 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (3)你能猜出滑动距离x(单位：m)的大致范围吗? x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以1<x<1.5。 x²+12x-15=0。 思考 (4) x的整数部分是几?十分位是几?为什么? 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 因此x的整数部分是1，十分位是1。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 你明白估算一元二次方程的解的想法吗? 通过两端不断逼近的方法估算一元二次方程的解。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x²+12x-15=0。 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢? 在1.1和1.2之间再取值，并进行计算，计算结果最接近0的那个对应取值就是把x的小数部分精确到百分位的近似值。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤： (1)审——审清题意，找出已知量与未知量之间的等量关系； (2)设——设出合适的未知数； (3)列——列出一元二次方程，并化为一般形式。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 估算一元二次方程ax²+bx+c=0的解(或近似解)： (1)先通过试值确定方程解的大致范围； (2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am²+bm+c<0，把n代入方程使得an²+bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。 (3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。 “夹逼法” 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何。”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步? 设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( ) A. x(60-x)=864 B. x(x-60)=864 C. x(60+x)=864 D. 2[x+(x+60)]=864 例1 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 A 在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步? 解：将方程x(60-x)=864转化为x²-60x+864=0。 因为30×30=900，900接近864， 所以x的值应该在30附近。 列表并计算： 由表格可知20<x<30，或30<x<40。 例2 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 20 30 40 x²-60x+864 64 -36 64 在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步? 进一步列表并计算： 所以当x=24或36时满足x²-60x+864=0， 所以x²-60x+864=0的解为x=24或x=36(不符合题意，舍去)。 所以矩形田地的宽为24步，长为60-24=36(步)。 因为36-24=12(步)， 所以这块矩形田地的长比宽多12步。 例2 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 21 22 23 24 25 … 35 36 37 38 39 x²-60x+864 45 28 13 0 -11 … -11 0 13 28 45 1.已知关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个根是-2，那么a的值是(　　)。 A.2　       　 B.-1          C.-2           D.10 A 随堂练习 2.根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是(　　)。 A.3＜x＜3.2 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 随堂练习 3.下列关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4＝0的一个根是0，则a的值为(　　)。A.2             B.-2          C.2或-2          D.14 B 随堂练习 4.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。这五个整数分别是多少? 解：设这五个连续整数的第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4。 根据题意，得(x+1)²+(x+2)²+x²=(x+3)²+(x+ 4)²。整理， 得 x²-8x-20=0。 列表： ∴x=-2或x=10， ∴这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2或10，11，12，13，14。 x -3 -2 -1 … 9 10 11 x²-8x-20 13 0 -11 … -11 0 13 随堂练习 知识点1 一元二次方程的解 1. 关于的一元二次方程 有一个根为0， 则 的值是( ) B A. B. 1 C. D. 0 返回 考试考法 27 2. 是方程 的一个根，则式子 的值为( ) A A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 2 027 解题支架 返回 考试考法 28 3. 若方程中,, 满足 和 ,则该方程的根是( ) D A. 1,0 B. 1, C. ,0 D. 2, 返回 考试考法 29 知识点2 用估算法求一元二次方程的近似解 4. 观察下表，一元二次方程 的 正数解的范围是( ) 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 C A. B. C. D. 返回 考试考法 30 5. 根据关于的一元二次方程 ，可列表如下， 则方程 的正数根满足( ) 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 D A. 解的整数部分是0，十分位是5 B. 解的整数部分是0，十分位是8 C. 解的整数部分是1，十分位是1 D. 解的整数部分是1，十分位是2 返回 考试考法 31 6. 若是方程 的一个根， 设，，则与 的大小关系为 ( ) B A. B. C. D. 不确定 【点拨】是方程 的一个根， ,即 .故选B. 返回 考试考法 32 一元二次方程 实际问题 从实际问题中抽象出一元二次方程模型 夹逼法 解的估算 课堂小结 $