2.1平方根（第2课时平方根）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦平方根的概念、表示方法、性质及开平方运算，通过“x²=4”的问题导入，关联乘方运算，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生逐步理解平方根的定义与正数、0、负数的平方根特征。 其亮点在于以问题驱动新知探究，通过判断0.09、0、-4/9的平方根等实例培养抽象能力和符号意识，体现数学眼光。题型涵盖求平方根、参数问题及非负性应用（如例4利用非负性求x、y），强化运算能力和推理意识，落实数学思维。助力学生构建知识体系，教师可高效开展分层教学。

第2章 实数的初步认识 2.1平方根 第2课时 平方根 学 习 目 标 1 2 了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根；会求一个非负数的平方根 3 理解平方根的被开方数、算术平方根的非负性 问题 新知探究 当x取哪些值时，x2 = 4？ 当x = 2时，22 = 4； 当x = -2时，( -2 )2 = 4， ∴x可以取2或-2。 新知探究 平方根： 提分笔记 一般地，如果x2 = a ( a ≥ 0 )，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 eg：2和-2是4的平方根。 新知探究 如果x2 = a，那么( -x )2 = x2 = a。 所以x和-x都满足x2 = a。 可见一个正数有正负两个平方根， 正的平方根就是算术平方根。 eg：9的平方根是3与-3，其中3是9的算术平方根。 提分笔记 思考 新知探究 下列各数有平方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由。 ( 1 ) 0.09； ( 2 ) 0； ( 3 ) 。 解：( 1 ) ∵0.32 = 0.09，( -0.3 )2 = 0.09， ∴0.09的平方根±0.3； ( 2 ) ∵02 = 0， ∴0的平方根0； ( 3 ) ∵- < 0，∴没有平方根。 新知探究 平方根： 提分笔记 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 新知探究 如果a为正数，那么a有两个平方根±， 其中，“±”表示可以取正、负两个值， 正的平方根是算术平方根，负的平方根是-。 提分笔记 典例分析 例2 求下列各数的平方根： ( 1 ) 100； ( 2 ) 625； ( 3 ) 0.0081； ( 4 ) 2。 解：( 1 ) ∵102 = 100，( -10 )2 = 100， ∴100的平方根± = ±10； ( 2 ) ∵252 = 625，( -25 )2 = 625， ∴625的平方根± = ±25； ( 3 ) ∵0.092 = 0.0081，( -0.09 )2 = 0.0081， ∴0.0081的平方根± = ±0.09； ( 4 ) 2的平方根±。 新知探究 开平方： 提分笔记 求一个数的平方根的运算叫作开平方， 这个数叫作被开方数。 新知探究 开平方与平方有下面的关系，如图所示。 提分笔记 10 -10 25 -25 0.3 -0.3 0 100 625 0.09 0 x x2 平方 开平方 新知探究 平方根的被开方数、算术平方根的非负性： 提分笔记 1. 平方根的被开方数具有非负性，即“”中的a ≥ 0； 2. 算术平方根具有非负性，即 ≥ 0。 探究 新知探究 1. 如图，将面积为2的正方形纸片放置在面积为3的正方形纸片上， 据图比较与的大小。 3 2 解： < 。 探究 新知探究 2. 已知a > b > 0，类似地，比较与的大小。 a b 解： > 。 题型探究 例1-1 先说出下列各式的意义，再计算。 ( 1 ) ±； ( 2 ) ； ( 3 ) -。 求一个非负数的平方根 题型一 解：( 1 ) ±表示的平方根，± = ±； ( 2 ) 表示289的算术平方根， = 17； ( 3 ) -表示的负平方根，- = -。 题型探究 例1-2 的平方根是______。 求一个非负数的平方根 题型一 解：∵ = 9， ∴9的平方根是±3。 ±3 题型探究 例1-3 下列运算正确的是（　　） A． = -7 B．- = 5 C． = ±9 D． = 3 求一个非负数的平方根 题型一 解：A．负数没有平方根； B．- = - = -5； C． = 9； D． = = 3。 D 题型探究 根据平方根求参 题型二 例2-1 一个正数x的两个平方根分别是2a - 3与5 - a，则x = ________。 解：∵正数x的两个平方根分别是2a - 3与5 - a， ∴2a - 3 + 5 - a = 0，解得：a = -2， ∴正数x的平方根是-7与7， ∴正数x = 49。 49 题型探究 根据平方根求参 题型二 例2-2 已知2a - 1的平方根是±3，3a + b - 1的算术平方根是4， 求a + 2b的值。 解：∵2a - 1的平方根是±3，3a + b - 1的算术平方根是4， ∴2a - 1 = 9，3a + b - 1 = 16，解得：a = 5，b = 2， ∴a + 2b = 5 + 2 × 2 = 9。 题型探究 根据平方根求参 题型二 例2-3 一个数的算术平方根为2m - 6，它的平方根为± ( m - 1 )，求m的值。 解：① 2m - 6 = m - 1，解得：m = 5， 此时2m - 6 = 4，± ( m - 1 ) = ±4，符合题意； ② 2m - 6 = - ( m - 1 )，解得：m = ， 此时2m - 6 = < 0，± ( m - 1 ) = ±，不符合题意； 综上，m = 5。 题型探究 根据平方根解方程 题型三 例3 求式中x的值：( x - 3 )2 = 25。 解：( x - 3 )2 = 25， x - 3 = ±5， x - 3 = 5或x - 3 = -5， ∴x = 8或x = -2。 题型探究 算术平方根的非负性—“0+0”模型 题型四 例4 已知 + = 0，则y = ________。 解：∵ + = 0， ≥ 0， ≥ 0， ∴=0，=0， ∴x - y + 3 = 0，x + 1 = 0， ∴x = -1，y = 2。 2 题型探究 算术平方根的非负性—求最值 题型五 例5 当x = ________时，式子3 + 有最小值，且最小值是________。 解：∵ ≥ 0，∴3 + ≥ 3， ∴当x - 4 = 0时，3 + 有最小值3， 即x = 4时，3 + 有最小值3。 4 3 平方根： 一般地，如果x2 = a ( a ≥ 0 )，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 开平方： 求一个数的平方根的运算叫作开平方，这个数叫作被开方数。 课 堂 总 结 平方根的被开方数、算术平方根的非负性： 1. 平方根的被开方数具有非负性，即“”中的a ≥ 0； 2. 算术平方根具有非负性，即 ≥ 0。 课 堂 总 结 感谢聆听! $