26.4 实际问题与二次函数 第1课时 生活中的最值问题 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

26.4 实际问题与二次函数  第1课时 生活中的最值问题

人教版九年级上册 第二十六章 二次函数

 

一、学习目标

1. 能将运动问题（高度与时间的关系）转化为二次函数最值问题，会利用顶点坐标公式求最值，并能结合图象解释实际意义。

2. 能将几何图形面积最值问题转化为二次函数模型，合理设元，根据面积公式、周长公式等建立函数关系式。

3. 掌握确定自变量取值范围的方法，并能判断最值是在顶点处取得还是在边界处取得。

4. 体会"数学建模"的完整过程，感受数学在解决实际问题中的价值。

 

二、知识梳理

回顾：求二次函数最值的两种方法

 

利用二次函数解决实际最值问题的解题步骤

 

两大类实际最值问题对比

 

核心结论

1. 求二次函数最值的两种方法：配方法——将配方为，顶点为(h,k)，最值为k；公式法——顶点横坐标，纵坐标。

2. 解决实际最值问题的三步法：审题（明确变量关系）→ 建模（建立函数解析式并确定自变量取值范围）→ 求解（求最值并检验）。

3. 确定自变量取值范围的方法：根据实际意义（边长>0、时间≥0等）和题目中的约束条件（如墙长限制、周长限制等）列出不等式，求出x的取值范围。

4. 判断最值位置的规则：若顶点横坐标在自变量取值范围内，则最值在顶点处取得；若顶点不在取值范围内，则需结合图象和增减性，在边界处求最值。

5. 几何图形面积最值问题的四个要点：根据面积公式建立函数关系式 → 确定自变量取值范围 → 利用顶点坐标和图象画草图 → 在允许范围内求最大或最小值。

三、课堂练习

练习1（运动问题）

在一次跳水运动中，运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是

运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位）

跳水运动问题示意图

 

 

 

 

 

 

 

 

练习2（运动问题）