26.4 实际问题与二次函数 第1课时 生活中的最值问题 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”第1课时生活中的最值问题，先回顾配方法、公式法求二次函数最值，再通过运动问题（跳水、上抛）和几何面积问题（矩形菜园等）构建从数学模型到实际应用的学习支架，明确解题步骤与类型对比。 以生活实例为载体，8道分层练习（基础到拓展）引导学生经历“审题-建模-求解-检验”完整过程，培养数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力、运算能力），强化模型意识与应用意识，助力掌握自变量取值范围及最值位置判断的关键方法。

26.4 实际问题与二次函数 第1课时 生活中的最值问题 人教版九年级上册 第二十六章 二次函数 一、学习目标 1. 能将运动问题（高度与时间的关系）转化为二次函数最值问题，会利用顶点坐标公式求最值，并能结合图象解释实际意义。 2. 能将几何图形面积最值问题转化为二次函数模型，合理设元，根据面积公式、周长公式等建立函数关系式。 3. 掌握确定自变量取值范围的方法，并能判断最值是在顶点处取得还是在边界处取得。 4. 体会"数学建模"的完整过程，感受数学在解决实际问题中的价值。 二、知识梳理 回顾：求二次函数最值的两种方法 方法 步骤 示例 配方法 顶点坐标为(h,k)，最值为k 顶点(2,-9)，最小值-9 公式法 a>0时y最小值为k，a<0时y最大值为k a=1>0，开口向上，最小值为-9 判断开口 利用二次函数解决实际最值问题的解题步骤 步骤 内容说明 第一步：审题 第二步：建模 第三步：求解 第四步：检验 两大类实际最值问题对比 类型 典型特征 解题关键 运动问题 （例：跳水、上抛） 几何图形面积 （例：矩形菜园、四边形） 核心结论 1. 求二次函数最值的两种方法：配方法——将配方为，顶点为(h,k)，最值为k；公式法——顶点横坐标，纵坐标。 2. 解决实际最值问题的三步法：审题（明确变量关系）→ 建模（建立函数解析式并确定自变量取值范围）→ 求解（求最值并检验）。 3. 确定自变量取值范围的方法：根据实际意义（边长>0、时间≥0等）和题目中的约束条件（如墙长限制、周长限制等）列出不等式，求出x的取值范围。 4. 判断最值位置的规则：若顶点横坐标在自变量取值范围内，则最值在顶点处取得；若顶点不在取值范围内，则需结合图象和增减性，在边界处求最值。 5. 几何图形面积最值问题的四个要点：根据面积公式建立函数关系式 → 确定自变量取值范围 → 利用顶点坐标和图象画草图 → 在允许范围内求最大或最小值。 三、课堂练习 练习1（运动问题） 在一次跳水运动中，运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位） 跳水运动问题示意图                 练习2（运动问题） 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）的关系近似为 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 小球上抛问题示意图                 练习3（几何图形面积最值问题） 利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园。如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 矩形菜园示意图                     练习4（几何图形面积最值——有约束条件） 在练习3中，如果墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 墙长为8m时矩形菜园问题                     练习5（几何图形面积最值问题） 如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 对角线垂直的四边形示意图                 练习6（几何图形面积最值——综合） 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 篱笆围矩形菜园（墙长18m）示意图                     练习7（几何图形面积最值——综合） 如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 正方形内接正方形示意图                     练习8（几何图形面积最值——拓展） 已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？                     四、参考答案 练习1 答案 解：a=-4.9，b=2.8，c=11。因为a<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值。 答：即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m。 练习2 答案 解：a=-5，b=30，c=0。因为a<0，开口向下，函数有最大值。 因为t=3在0≤t≤6的范围内，所以最值在顶点处取得。 答：小球运动的时间是3s时，小球最高，最大高度是45m。 练习3 答案 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m。 因为a=-2<0，开口向下，当x=5时S有最大值50。 此时平行于墙的边长为20-2×5=10。 答：当垂直于墙的边长为5m时，矩形菜园的面积最大，最大面积为50m²。 练习4 答案 解：平行于墙的边长20-2x ≤ 8，解得x ≥ 6。 又因为x>0且20-2x>0，即0<x<10。综上有6 ≤ x < 10。 顶点横坐标x=5不在6≤x<10的范围内。 因为a<0，开口向下，抛物线在对称轴右侧（x>5）时递减，所以在6≤x<10范围内，当x=6时S最大。 答：当垂直于墙的边长为6m时，菜园面积最大，最大面积为48m²。 练习5 答案 解：设AC=x，四边形ABCD的面积为y，则BD=10-x。 因为a<0，开口向下，当x=5时y有最大值12.5，此时BD=10-5=5。 答：当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大，最大面积为12.5。 练习6 答案 解：设矩形的长为x m，面积为y m²，则矩形的宽为(30-x)/2 m。 顶点横坐标x=15在0<x≤18范围内，所以最值在顶点处取得。 答：当矩形的长为15m、宽为7.5m时，菜园面积最大，最大面积为112.5m²。 练习7 答案 解：令正方形ABCD的边长为1，设AE=x，则AH=1-x。正方形EFGH的面积为y。 自变量x的取值范围：0<x<1。 答：当点E位于AB的中点时，正方形EFGH的面积最小。 练习8 答案 解：设矩形的长为x cm，圆柱的侧面积为y cm²，则矩形的宽为(18-x) cm。 绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等。 自变量x的取值范围：0<x<18。 此时宽为18-9=9。 学科网（北京）股份有限公司 $