26.4实际问题与二次函数（第1课时 用二次函数刻画两变量之间的关系）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与二次函数”第一课时，核心是用二次函数刻画两变量关系。课堂导入通过温故知新回顾二次函数概念及特征，结合矩形面积、抛射高度等生活情境设问，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生识别变量与分析关系。 资料特色在于“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模流程，通过跳水运动、篱笆围矩形等活动及拓展题，培养学生抽象能力、模型意识与应用意识，自主与合作探究结合，帮助学生掌握数学建模方法，提升解决实际问题的能力。

26.4实际问题与二次函数 （第一课时 用二次函数刻画两变量之间的关系） （导学案） （1）能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律. （2）经历“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分析和数学转化能力. （3）感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思维和求真务实的解题习惯. 重点:分析实际问题中两个变量的变化关系，正确列出二次函数解析式；根据实际情境的限制条件，准确确定自变量的取值范围. 难点:从复杂实际情境中剥离无关信息，精准提取核心数量关系，完成从实际问题到数学模型的抽象转化.结合生活、几何实际意义，全面、准确限定自变量的取值范围，理解实际函数与纯理论二次函数的区别. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 旧知回顾：（1）二次函数的一般形式是什么？自变量、因变量分别是什么？ （2）二次函数的核心特征：两个变量满足自变量最高次数为2的整式函数关系. 情境设问：矩形周长固定时，面积随边长的变化而变化；物体抛射过程中，高度随时间的变化而变化。这些生活中的变化关系，是否是二次函数关系？我们如何用数学式子精准刻画两个变量的关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第51-52页的内容 【学法指导】自研课本P51-52页内容 (一) 跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 活动1.在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.运动员在跳水过程中重心的高度是时间什么函数，于是最大高度问题转化为什么问题？ 运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题. 追问2.运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，转化为什么问题？ 运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，可以转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 追问3.你能画出函数图象，结合函数图象解决问题吗？ 可以用描点法画出函数图象如下图，由图象知，当时，达到最大高度，h的最大值是. 追问4.函数的图象能直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 先上升，后逐步下降. 具体解答如下： 对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11，当时， 有h最大值 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. （二）篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？ 活动2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.设垂直于墙的一边长为xm，菜园面积为Sm²，探究S与x的函数关系. 篱笆总长20m，垂直于墙的一边长为xm，则另一边长为：（20-2x)m S=x(20-x)=-x²+20x. 追问2.自变量x的取值范围是什么？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义，菜园的边长应为正数，即x>0，且 20-2x>0，于是自变量的取值范围是0<x<10. 追问3.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？ 转化为当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？ 具体解答如下： 解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（20-2x)m，菜园面积为Sm²， 则S=x(20-x)=-x²+20x（0<x<10） 当时， S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积是50m². 活动3.师生归纳通用建二次函数模型的步骤： ① 定变量：确定题目中的自变量、因变量； ② 找关系：根据公式、题意梳理两个变量的等量关系； ③ 列式子：整理化简，得到二次函数解析式； ④ 定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围. 【自研自探】 自研课本P51-52页内容 典型例题 例1.合肥市中学生运动会中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线（如图），其中出球点B离地面的距离是米，球落点的水平距离是多少？ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线与轴的交点得出球落点的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落点的水平距离是5米． 例2.如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 第二环节 合作探究 1.讨论如何求出跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 2.讨论篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？. 拓展提升： 1.阅读思考，并解答下列问题： 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 (1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；    (2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系； (3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：） 【详解】（1）解：描点，连线，如图所示：    （2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数，              设s与t的函数关系式为，                          将代入，得：  ， 解得：， ∴s与t的函数关系式可近似地表示为； （3）解：把代入得：，     ∴， 解得：（舍去），                       答：推测滑雪者滑行的时间是10秒． 课本P52课堂练习. 1.（2026淮安校考）一个小球从地面竖直向上抛出，它的运动高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）满足数量关系：小球初始速度为20m/s，重力加速度影响下，每秒高度减少5t²m. （1）请刻画高度h与时间t的函数关系，写出函数解析式； （2）求自变量t的取值范围. 【详解】解：（1）根据题意分析高度变化规律： 运动高度=初始速度运动高度−重力衰减高度 可得关系式：h=20t-5t² 整理为标准二次函数形式：h=-5t²+20t. （2）根据实际意义分析： ① 时间为正数：t>0； ② 小球落地后高度为0，不再运动，即h≥0. 令 h=0，则 -5t²+20t=0， 因式分解得：-5t(t-4)=0， 解得： 综上，时间t的取值范围为：0<t≤4 高度与时间的函数关系为 h=-5t²+20t(0<t≤4). 2．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得，顶点为，即（6，8）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， 代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将x＝2代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 知识技能：（1）核心认知：生活中动态变化的最值类、面积类、运动类双变量关系，常可用二次函数刻画.（2）核心技能：掌握实际问题二次函数四步建模法（定变量—找关系—列解析式—定范围）.（3）关键细节：实际二次函数必须结合情境，确定自变量取值范围，不可默认全体实数. 思想方法：（1）数学建模思想：将复杂实际问题抽象为熟悉的二次函数数学模型，用数学知识解决实际问题.（2）数形转化思想：将文字情境的数量关系转化为代数解析式，实现文字语言到符号语言的转化.（3）分类限定思想：结合数学规则与实际意义双重条件，精准限定变量取值. 易错提醒：（1）建模误区：混淆自变量和因变量，导致解析式变量颠倒.（2）书写误区：列出二次函数解析式后，遗漏自变量取值范围（本节课最高频易错点）.（3）范围误区：仅考虑数学正数要求，忽略问题终止条件（如小球落地、图形不存在等）.（4）化简误区：整理解析式时符号错误、同类项合并失误，未化为标准二次函数形式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4实际问题与二次函数 （第一课时 用二次函数刻画两变量之间的关系） （导学案） （1）能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律. （2）经历“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分析和数学转化能力. （3）感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思维和求真务实的解题习惯. 重点:分析实际问题中两个变量的变化关系，正确列出二次函数解析式；根据实际情境的限制条件，准确确定自变量的取值范围. 难点:从复杂实际情境中剥离无关信息，精准提取核心数量关系，完成从实际问题到数学模型的抽象转化.结合生活、几何实际意义，全面、准确限定自变量的取值范围，理解实际函数与纯理论二次函数的区别. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 旧知回顾：（1）二次函数的一般形式是什么？自变量、因变量分别是什么？ （2）二次函数的核心特征：两个变量满足自变量最高次数为2的整式函数关系. 情境设问：矩形周长固定时，面积随边长的变化而变化；物体抛射过程中，高度随时间的变化而变化。这些生活中的变化关系，是否是二次函数关系？我们如何用数学式子精准刻画两个变量的关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第51-52页的内容 【学法指导】自研课本P51-52页内容 (一) 跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 活动1.在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.运动员在跳水过程中重心的高度是时间什么函数，于是最大高度问题转化为什么问题？ 追问2.运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，转化为什么问题？ 追问3.你能画出函数图象，结合函数图象解决问题吗？ 追问4.函数的图象能直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 具体解答如下： （二）篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？ 活动2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.设垂直于墙的一边长为xm，菜园面积为Sm²，探究S与x的函数关系. 追问2.自变量x的取值范围是什么？ 追问3.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？ 具体解答如下： 活动3.师生归纳通用建二次函数模型的步骤： 【自研自探】 自研课本P51-52页内容 典型例题 例1.合肥市中学生运动会中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线（如图），其中出球点B离地面的距离是米，球落点的水平距离是多少？ 例2.如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 第二环节 合作探究 1.讨论如何求出跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 2.讨论篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？. 拓展提升： 1.阅读思考，并解答下列问题： 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 (1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；    (2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系； (3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：） 课本P52课堂练习. 1.（2026淮安校考）一个小球从地面竖直向上抛出，它的运动高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）满足数量关系：小球初始速度为20m/s，重力加速度影响下，每秒高度减少5t²m. （1）请刻画高度h与时间t的函数关系，写出函数解析式； （2）求自变量t的取值范围. 2．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 知识技能：（1）核心认知：生活中动态变化的最值类、面积类、运动类双变量关系，常可用 刻画.（2）核心技能：掌握实际问题二次函数四步建模法（ ）.（3）关键细节：实际二次函数必须 ，确定 ，不可 实数. 思想方法：（1）数学建模思想：将复杂实际问题抽象为熟悉的 模型，用数学知识 问题.（2）数形转化思想：将文字情境的数量关系转化为 ，实现文字语言到 的转化.（3）分类限定思想：结合 与 双重条件，精准限定变量取值. 易错提醒：（1）建模误区：混淆 和 ，导致解析式变量颠倒.（2）书写误区：列出二次函数解析式后， 范围（本节课最高频易错点）.（3）范围误区：仅考虑 要求，忽略问题 条件（如 等）.（4）化简误区：整理解析式时 、 失误，未化为 形式. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $