26.4实际问题与二次函数 暑期预习同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 练习围绕二次函数实际应用，通过“基础认知-中档应用-综合拓展”分层设计，巩固六步法解题逻辑，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|六步法及单一题型（高度时间、简单面积）|单选/填空聚焦公式直接应用，如第1题小球高度计算| |中档应用|多情境综合（利润与几何结合、抛物线实物）|融入易错点，如第5题苗圃面积考虑自变量范围| |综合拓展|复杂实际问题（运动轨迹与最值综合）|解答题强调完整建模流程，如18题利润问题需列函数并求最值|

26.4实际问题与二次函数 核心目标是把前几节学的二次函数解析式、图象与性质，放到真实生活场景里去用，重点解决各类最值问题和轨迹问题。 一、核心解题:六步法 不管题目怎么变，用二次函数解实际问题的底层逻辑都是这六步： 1. 审：读题找变量（谁随谁变）、常量、等量关系。 2. 设：选自变量 x，用 x 表示其他相关量。 3. 列：根据题目等量关系，写出二次函数解析式。 4. 定范围：结合实际意义确定自变量取值范围（如长度＞0、售价≥成本、整数限制等）。 5. 解：配方或套顶点公式 ，结合取值范围求最值（注意顶点是否在范围内，不在则看端点）。 6. 答：检验并写出符合实际的结论。 二、三大常考题型梳理 1. 最大高度与几何图形面积问题 运动轨迹类：如小球上抛、跳水、铅球投掷。高度h与时间t成二次函数，最大高度就是抛物线顶点的纵坐标，达到最大高度的时间是对应的横坐标。 例：，求最高点时直接代顶点公式。 几何面积类：如用一定长度的篱笆围矩形菜园、围矩形场地。 关键：用x表示出矩形的长与宽，代入面积公式S = 长× 宽 得到二次函数，再求最值。特别注意围墙长度限制会带来自变量的不等关系。 2. 商品销售最大利润问题 这是考试频率极高的类型，核心公式有： 单件利润 = 售价 - 进价（成本） 总利润 w = 单件利润× 销售量 销售量常随售价变动：涨价少卖、降价多卖，销售量与售价成一次函数关系。 解题思路：设涨价/降价 × 元（或直接设售价×元）→ 表示出单件利润和实际销量 → 列出总利润 w关于×的二次函数 → 求最值并验证售价是否在合理区间内。 3. 抛物线形实物及运动轨迹问题 处理拱桥、隧道、喷泉、投篮等抛物线形状的物体： 建系：通常以抛物线顶点为原点、对称轴为y 轴最简便，也可以水面/地面为x轴。 求解析式：代入已知关键点坐标（如拱顶、水面宽端点、落地点）求a,h,k。 解决问题：已知高度求水面宽（令 y = 某值解×的差），已知宽度求高度（令 x 代入求y）。 三、高频易错点提醒 1. 忘定自变量范围：很多题顶点算出来是 ，但实际 x只能取0＜x≤3，此时最值在端点 处，不能直接写顶点值。 2. 利润问题漏乘销量：总利润必须乘上“实际卖出的件数/千克数”，不能只算单件利润。 3. 拱桥问题坐标符号错：以顶点为原点时，抛物线开口向下，下方的点纵坐标通常为负数，代入别搞错符号。 一、单选题 1．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 2．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 5．利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，设的面积为，则下列图象中，能反映与的函数关系的是（    ）． A．B．C． D． 7．如图，在等边三角形中，点是边上一动点（不与点、重合），连接，作射线，使，交于点，已知，设，，则与函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 8．飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（　　） ​​​​​​​ A． B． C． D． 10．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 12．每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中（米）代表篮球飞行的高度，（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为______米． 13．如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为________． 14．如图所示的坐标系，一位篮球运动员身高，在离篮圈水平距离处跳起投篮，这次跳投时，球在他头顶上方处出手，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．球出手时，他跳离地面的高度为_________． 15．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 三、解答题 16．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 18．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 19．如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 20．某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4实际问题与二次函数 核心目标是把前几节学的二次函数解析式、图象与性质，放到真实生活场景里去用，重点解决各类最值问题和轨迹问题。 一、核心解题:六步法 不管题目怎么变，用二次函数解实际问题的底层逻辑都是这六步： 1. 审：读题找变量（谁随谁变）、常量、等量关系。 2. 设：选自变量 x，用 x 表示其他相关量。 3. 列：根据题目等量关系，写出二次函数解析式。 4. 定范围：结合实际意义确定自变量取值范围（如长度＞0、售价≥成本、整数限制等）。 5. 解：配方或套顶点公式 ，结合取值范围求最值（注意顶点是否在范围内，不在则看端点）。 6. 答：检验并写出符合实际的结论。 二、三大常考题型梳理 1. 最大高度与几何图形面积问题 运动轨迹类：如小球上抛、跳水、铅球投掷。高度h与时间t成二次函数，最大高度就是抛物线顶点的纵坐标，达到最大高度的时间是对应的横坐标。 例：，求最高点时直接代顶点公式。 几何面积类：如用一定长度的篱笆围矩形菜园、围矩形场地。 关键：用x表示出矩形的长与宽，代入面积公式S = 长× 宽 得到二次函数，再求最值。特别注意围墙长度限制会带来自变量的不等关系。 2. 商品销售最大利润问题 这是考试频率极高的类型，核心公式有： 单件利润 = 售价 - 进价（成本） 总利润 w = 单件利润× 销售量 销售量常随售价变动：涨价少卖、降价多卖，销售量与售价成一次函数关系。 解题思路：设涨价/降价 × 元（或直接设售价×元）→ 表示出单件利润和实际销量 → 列出总利润 w关于×的二次函数 → 求最值并验证售价是否在合理区间内。 3. 抛物线形实物及运动轨迹问题 处理拱桥、隧道、喷泉、投篮等抛物线形状的物体： 建系：通常以抛物线顶点为原点、对称轴为y 轴最简便，也可以水面/地面为x轴。 求解析式：代入已知关键点坐标（如拱顶、水面宽端点、落地点）求a,h,k。 解决问题：已知高度求水面宽（令 y = 某值解×的差），已知宽度求高度（令 x 代入求y）。 三、高频易错点提醒 1. 忘定自变量范围：很多题顶点算出来是 ，但实际 x只能取0＜x≤3，此时最值在端点 处，不能直接写顶点值。 2. 利润问题漏乘销量：总利润必须乘上“实际卖出的件数/千克数”，不能只算单件利润。 3. 拱桥问题坐标符号错：以顶点为原点时，抛物线开口向下，下方的点纵坐标通常为负数，代入别搞错符号。 一、单选题 1．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 2．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 3．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，由题意可知，以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过、、、，运用待定系数法求出解析式后，求函数值的最大值即可，解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标． 【详解】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图， 则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：， ∴，解得：， ∴该抛物线解析式为， 则， ∴厂门的高度约为米，故选：． 4．如图，在边长为10的正方形中，E，F，C，H分别是边，，，上的点，且．设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 本题需先设正方形的边长为，然后得出与是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∴与的函数图象是A．故选：A． 5．利用长为的墙和长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，矩形面积为，先根据平行于墙的长度不小于，墙的长度为求出，再根据矩形面积公式求出，由此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解；设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，矩形面积为， ∵平行于墙的一边长不小于，墙的长度为 ∴，∴， ， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 当时，， ∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为，，故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确求出矩形面积与垂直于墙的一边的二次函数关系式是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在直线上运动，设的面积为，则下列图象中，能反映与的函数关系的是（    ）． A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB，利用割补法，得到S与m的函数，进而即可得到答案． 【详解】解：∵点P（m，n）在直线y＝−x＋2上运动， ∴当m＝1时，n＝1，即P点在直线AO上，此时S＝0， 设直线与y轴交于点B，则B(0，2)，连接AB， ∵点A的坐标为，B(0，2)， ∴是等腰直角三角形，且， 当m≤1时，S△APO＝×2×2-×2×m×2＝2−2m， ∴S与m是一次函数关系， 同理：当m＞1时，S△APO＝2m−2，故S与m是一次函数关系， 只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意，得到S与m的函数解析式，是解题的关键． 7．如图，在等边三角形中，点是边上一动点（不与点、重合），连接，作射线，使，交于点，已知，设，，则与函数关系的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】由△是等边三角形，可得∠B=∠C=60°，证明△ABP∽△PCD，可得 ，整理，与函数关系是二次函数，图像为抛物线即可． 【详解】解： ∵△是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∴∠BAP+∠APB=180°-∠ABP=180°-60°=120°， ∴∠APB+∠DPC=180°-∠APD=180°-60°=120°， ∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠DPC， ∴∠BAP =∠APB， ∴△ABP∽△PCD， ∴，即， ∴， ∴与函数关系是二次函数，图像为抛物线． 故选择：C． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形相似判定与性质，二次函数图像，掌握等边三角形性质，三角形相似判定与性质，二次函数图像是解题关键． 8．飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来．（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当s取最大值时，飞机停下来，求函数最大值时的自变量即可． 【详解】∵当s取最大值时，飞机停下来， ∴t= =20，故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用-飞机着陆问题，熟练把问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键． 9．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（　　） ​​​​​​​ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为直角三角形，运用勾股定理列出与之间的函数关系式即可判断． 【详解】解：如图，连接， 设，， 则， ， ； 为直角三角形， ， 即， 解得， 根据函数关系式可看出中的函数图象与之对应． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是函数的关系式，矩形的性质，动点函数的图象，勾股定理的有关知识，由于直角边始终经过点，为直角三角形，运用勾股定理列出与之间的函数关系式即可． 10．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图得A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式，再根据对称轴或者顶点可求出答案． 【详解】由图得A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），代入解析式： ，解得，则， 当时，滑车运行到最低点，所以，即， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 二、填空题 11．一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的性质，由正切的定义可得，设，则，结合，得出，表示出矩形的面积，再由二次函数的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，∴， ∵四边形为矩形，∴，∴， 设，则， ∴，∴， ∴矩形的面积 ， ∵，∴当时，矩形的面积最大，为，故答案为：． 12．每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中（米）代表篮球飞行的高度，（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为______米． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与实际问题，理解题意是解题的关键．把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：令，则， ∴篮球出手点的高度为2米．故答案为：2． 13．如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了与图形有关的二次函数的应用；根据题意表示出长方形的长，由长方形面积即可得到函数式． 【详解】解：由题意知，， ∴；故答案为：． 14．如图所示的坐标系，一位篮球运动员身高，在离篮圈水平距离处跳起投篮，这次跳投时，球在他头顶上方处出手，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．球出手时，他跳离地面的高度为_________． 【答案】 【分析】由题意可得所求抛物线的顶点坐标为且过点；不妨设所求抛物线的解析式为，根据待定系数法，将代入，即可求出a的值，进而得到函数关系式；再求出当时，对应的y值，接下来列式计算，即可得到他跳离地面的高度. 本题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，正确的设解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意知抛物线的顶点坐标为且过点， ∴设， 将代入，得，解得， ∴该抛物线的解析式为， 当时，， 即球出手时的高度为， ， ∴他跳离地面的高度为．故答案为：． 15．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的简单应用.建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标. 【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系， 由题意可知各点坐标为，，， 设抛物线解析式为把B、D两点代入解析式， ∴， 解得：， ∴解析式为， 则顶点， 所以这个门洞内部顶端离地面的距离为， 故答案为：. 三、解答题 16．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 17．甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 18．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)， (2) (3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 19．如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】(1) (2)水面宽度为米 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 20．某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价元时，利润最大，最大利润元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． （2）解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $