25.2.3 因式分解法 暑期预习作业-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦因式分解法，通过基础巩固、几何应用、综合创新三阶设计，培养运算能力与模型意识，适配暑假分层复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一方程求解|直接考查因式分解法解一元二次方程（如第5、10题），强化运算能力| |中档|知识综合应用|结合三角形边长、等腰三角形性质（如第1、3题），体现几何直观与推理意识| |提升|问题解决能力|融入新定义运算（如第11题）、含参数方程（如第24题），发展抽象能力与创新意识|

25.2.3 因式分解法 一．选择题（共10小题） 1．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 2．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．9 C．13 D．12或9 3．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 4．如果x2﹣x﹣1＝（x+1）0，那么x的值为（　　） A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1 5．一元二次方程x2﹣2x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2 6．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 7．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（　　） A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3 8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．12 9．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．11 B．12 C．11或12 D．15 10．方程x2＝4x的根是（　　） A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 二．填空题（共8小题） 11．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝　 　 ． 12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　 　 ． 13．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是　 　 ． 14．方程x2＝2x的根为 　 　 ． 15．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是 　 　 ． 16．方程3x（x﹣1）＝2（x﹣1）的根为 　 　 ． 17．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为 　 　 ． 18．方程（x+2）（x﹣3）＝x+2的解是 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 19．解方程： （1）3x（x+2）＝x+2； （2）2x2﹣3x+1＝0． 20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 22．阅读下面的例题， 范例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0， 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0． 23．阅读下面的例题： 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2 ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　 ． 24．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2＝4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7． 当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形； 当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形． ∴该三角形的周长为3+4+5＝12， 故选：B． 2．【解答】解：x2﹣7x+10＝0， （x﹣2）（x﹣5）＝0， x﹣2＝0，x﹣5＝0， x1＝2，x2＝5， ①等腰三角形的三边是2，2，5 ∵2+2＜5， ∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意； ②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12； 即等腰三角形的周长是12． 故选：A． 3．【解答】解：把x＝3代入方程得9﹣3（m+1）+2m＝0， 解得m＝6， 则原方程为x2﹣7x+12＝0， 解得x1＝3，x2＝4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3＝11； ②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4＝10． 综上所述，该△ABC的周长为10或11． 故选：D． 4．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝（x+1）0， ∴x2﹣x﹣1＝1， 即（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， 当x＝﹣1时，x+1＝0，故x≠﹣1， 故选：C． 5．【解答】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0，x﹣2＝0， x1＝0，x2＝2， 故选：D． 6．【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得m＝3． 故选：C． 7．【解答】解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0， 则x+4＝0，或x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝3． 故选：D． 8．【解答】解：x2﹣6x+8＝0 （x﹣4）（x﹣2）＝0 ∴x1＝4，x2＝2， 由三角形的三边关系可得： 腰长是4，底边是2， 所以周长是：4+4+2＝10． 故选：B． 9．【解答】解：x2﹣5x+6＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0，x﹣3＝0， x1＝2，x2＝3， 根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行， ①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11； ②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12； 故选：C． 10．【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0， 可得x＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝0，x2＝4， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 11．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根， ∴（x﹣3）（x﹣2）＝0， 解得：x＝3或2， ①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3； ②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3． 故答案为：3或﹣3． 12．【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0，x﹣4＝0， x1＝2，x2＝4， 当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去， 当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13， 故答案为：13． 13．【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14， 故答案为：14． 14．【解答】解：x2＝2x， x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， x＝0，或x﹣2＝0， x1＝0，x2＝2， 故答案为：x1＝0，x2＝2． 15．【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得： x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣1， 则实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 16．【解答】解：3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， 即（x﹣1）（3x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0，3x﹣2＝0， 解方程得：x1＝1，x2． 故答案为：x＝1或x． 17．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）＝6， 整理得，3x+3＝6， 解得，x＝1， 故答案为：1． 18．【解答】解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）＝0， 提取公因式得，（x+2）（x﹣4）＝0， 故x+2＝0或x﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4． 故答案为：x1＝﹣2，x2＝4． 三．解答题（共6小题） 19．【解答】解：（1）3x（x+2）＝x+2， 3x（x+2）﹣（x+2）＝0， （x+2）（3x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或3x﹣1＝0， ∴x1＝﹣2，x2； （2）2x2﹣3x+1＝0， （x﹣1）（2x﹣1）＝0， ∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2． 20．【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0， 解得：k≤2， 又因为k是二次项系数，所以k≠0， 所以k的取值范围是k≤2且k≠0． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0， 所以把x＝2代入方程，可得k， 所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0， 解得：x1＝2，x2， 所以BC的值是． 21．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2． ∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0， ∴原方程总有两个实数根． （2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0， ∴x1＝m，x2＝3m． ∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2， ∴3m﹣m＝2， ∴m＝1． 方法二： 设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2， ∵x1﹣x2＝2， ∴（x1﹣x2）2＝4， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4， ∴（4m）2﹣4×3m2＝4， ∴m＝±1， 又m＞0， ∴m＝1． 22．【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1＝0， （1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）． （2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）． 故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2． 23．【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0， 即x2﹣x＝0 解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝1（不合题意，舍去）； （2）当x＜3时，原方程化为x2+x﹣3﹣3＝0 即x2+x﹣6＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝2． 所以原方程的根是x1＝﹣3，x2＝2． 24．【解答】解：（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2＝4， （k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2﹣4＝0， （k﹣4）（k﹣2）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+（k﹣2）（k+2）＝0， [（k﹣4）x+（k﹣2）][（k﹣2）x+（k+2）]＝0． ∵（k﹣4）（k﹣2）≠0 ∴x1， x2； ∴k﹣4（x1≠﹣1）① k﹣2（x2≠﹣1）② 由①②消去k，得 x1•x2+3x1+2＝0． ∴x1（x2+3）＝﹣2． 由于x1，x2都是整数． ∴，，，即，， ∴k＝6，3，． 经检验，k＝6，3，满足题意 学科网（北京）股份有限公司 $