精品解析：山东省菏泽市菏泽经济技术开发区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国古代算学与诗词、工程的交融，藏着古人的智慧巧思．《九章算术》中记载了“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”等经典算题，它们的几何图形在建筑营造、器物设计中被广泛应用．下列分别是这四道古算题所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C. 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、等式右边是多项式的和的形式，不是整式乘积，∴A不是因式分解； B、等式右边是乘积与常数的和的形式，不是整式乘积，∴B不是因式分解； C、右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C是因式分解； D、等式右边的不是整式，不符合因式分解对因式是整式的要求，∴D不是因式分解． 3. 在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平．如图，初始时，左盘放质量为的铜砝码，右盘放质量为的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高．这一现象所体现的数学原理是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据天平左低右高可知左边质量大于右边质量，即；向两盘同时加入质量为的砝码后，天平状态不变，说明两边同时加上后不等关系依然成立，据此判断即可； 【详解】解：初始时天平左低右高，左盘质量为，右盘质量为， ， 向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高， 左盘总质量大于右盘总质量，即， 这一现象体现的数学原理是：不等式两边加同一个数，不等号的方向不变，即若，则． 4. 在“几何定理溯源与应用”的数学项目式学习中，同学们围绕“命题与逆命题的真假性”展开探究，通过梳理课本定理，判断其逆命题是否依然成立．下列命题中，逆命题为假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】交换原命题的条件与结论得到逆命题，再根据初中几何知识判断逆命题的真假，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：两底角相等的三角形是等腰三角形，这是真命题，不符合要求； B、原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是真命题，不符合要求； C、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，这是真命题，不符合要求； D、原命题的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，∵对应角相等的三角形不一定全等，例如两个边长不同的等边三角形，对应角相等但不全等，∴该逆命题是假命题，符合要求． 5. 校园实践活动中，同学们利用平面直角坐标系绘制校园点位图，若将表示点位的位置向右平移2个单位得到点位，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的平移规律“横坐标右加左减，纵坐标不变”即可得到结果； 【详解】解：∵点向右平移2个单位得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标保持不变， ∴点的坐标为． 6. 在校园“手工数学”社团活动中，小红用一张长方形彩纸制作平行四边形书签．她按照设计图，沿两条斜线，折叠后，剪下多余部分，得到了．若量得，则书签边缘的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求解 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ． 7. 在“数智赋能课堂”的项目式学习中，同学们用一次函数模型模拟两种数据采集方案的成本变化．已知方案的成本函数为，方案的成本函数为（、为常数，），如图，两方案的成本变化图象交于点．请判断：当方案的成本低于方案时，的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，方案的成本低于方案即函数 的图象在函数的图象下方，结合交点坐标观察图象即可得出的取值范围，进而判断数轴表示； 【详解】解：∵两方案的成本变化图象交于点 ， ∴当时，两方案成本相等， 由图象可知，直线呈下降趋势，直线呈上升趋势， 当时，直线的图象位于直线的图象下方， ∴当方案的成本低于方案时，的取值范围是， 在数轴上表示该不等式的解集，如图 观察选项，A 选项符合． 8. 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图可知是的平分线，根据含角的直角三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理列方程求出的值，即为点到的距离． 【详解】解：由作图可知是的平分线， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 角平分线上的点到角两边的距离相等， 点到的距离为． 9. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 10. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案） 11. ，括号内应填_________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式的分母因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到括号内的结果； 【详解】解：． 12. 美术社团用木条拼接正多边形装饰展板，已知该多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】明确任意多边形的外角和为，利用多边形内角和公式，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系列方程求解，即可得到多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理，边形的内角和为，任意多边形的外角和为， 由题意列方程得：， 解得：． 13. 在校园科技节的手工制作活动中，小明用四根木条钉成了一个可变形的平行四边形框架，并将它改造成活动展示架．推动边后，框架变形为新的平行四边形．若测得变形前后木条夹角，新框架中，则原框架中的度数为________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 在校园模型制作活动中，同学们制作等腰三角形框架，已知，．为了加固框架，沿线段的垂直平分线安装支撑杆，该线交于点E，交于点D．则部分框架的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【详解】解：所在直线垂直平分线段， ， ， ． 15. 如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为；④直线与直线相交所形成的锐角是；⑤．其中正确的是________（只填序号）． 【答案】 ①③④⑤ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， 可以由绕点逆时针旋转得到， 故①正确； 如下图所示，连接， ， ， 由旋转可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 是直角三角形，， ， ， 故②错误； 是直角三角形，， 点到的距离为， 故③正确； 如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 故④正确； 是等边三角形，， ， ，，， ， ， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的有①③④⑤． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解答下列各题： （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上． （2）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1）， （2）化简结果：；，值为 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，再用数轴表示出来即可． （2）根据分式的乘除混合运算进行先化简，后代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，数轴表示略； 【小问2详解】 解：原式 ； ∵分式有意义， ∴， ， 故从，，，中只能选择， ∴原式． 17. 如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③， 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移3单位长度，据此作图即可，再根据平移的方式，结合勾股定理即可求出平移的距离； （2）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可； （3）画出的垂直平分线，其交点即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， ∵点的对应点的坐标为， ∴线段先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到线段， ∴线段平移的距离为． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 20. 如图，是的中位线，过点E作的平行线，交于点F，过点A作的平行线，交直线于点G．请利用这个图形证明三角形的中位线定理． 【答案】解：由题意，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 综上：. 【解析】 【分析】先证明四边形为平行四边形，进而证明四边形为平行四边形，得到，证明，得到，进而推出，即可得证. 【详解】略 21. 某校组织线下教研交流会，后勤工作人员统一采购会议专用铅笔．附近一家文具店有如下规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．如果给每位参会人员配发1支铅笔，只能按零售价结算，一共花费120元；如果再多采购60支，便可享受批发价结算，总费用依旧为120元． （1）本次教研交流会的参会人员总数在什么范围内？ （2）已知按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支铅笔的花费相等，求本次交流会的参会人员有多少人？ 【答案】（1）本次教研交流会的参会人员总数满足，即大于240人且不超过300人； （2）本次交流会的参会人员有人． 【解析】 【分析】（1）根据文具店的批发零售规则，列出关于参会人数的不等关系，求解得到人数范围； （2）设参会人数为未知数，分别表示出铅笔的零售价和批发价，根据给定等量关系列分式方程求解，检验后得到符合范围的结果． 【小问1详解】 解：设本次教研交流会的参会人员总数为人． 由题意，给每位参会人员买1支铅笔只能按零售价付款， 因此； 多购买60支可按批发价付款， 因此， 解得； 因此本次参会人员总数的范围是； 【小问2详解】 解：设本次交流会的参会人员有人，则铅笔的零售价为每支元，批发价为每支元， 根据题意列方程得： 解得， 检验：当时，，且满足，符合题意． 答：本次交流会的参会人员有300人． 22. 【阅读与探究】 在“因式分解方法拓展”的数学探究课上，老师介绍了除提公因式法、公式法之外的新方法——配方法． 例如，对多项式因式分解时，我们可以先配方，再用平方差公式继续分解： ． （1）上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； （2）【实践操作】 请用配方法对多项式进行因式分解； （3）【拓展创新】 在“多项式最值问题”的拓展任务中，需要分析多项式的取值情况，请回答：当x，y为何值时，该多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1） ； （2）解： ； （3）当，时，多项式有最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）在已有配方结果基础上，利用平方差公式继续分解即可； （2）按照示例方法，先配方再用平方差公式完成因式分解．； （3）对多项式分组配方后，利用平方数的非负性即可求出最值及对应x，y的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解： ； ，， 当且时，多项式取得最小值， 解得，， 此时多项式的最小值为． 23. 【情景背景】 劳动实践课上，同学们开展手工教具制作活动，利用硬质塑料板材加工等腰直角三角支架．如图①，现有等腰直角三角形板材，，点、分别为、的中点，取中位线作为支架活动滑轨；滑块在线段上运动（不与端点、重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．请结合动手操作与几何知识，完成下列探究： （1）【操作探究】 求证：． （2）【综合探究】 如图②，连接、，交于点．判断点在滑轨上滑动的过程中，的度数是否发生变化；若不变，请证明并求出该角度数；若变化，请说明理由． （3）【深入探究】 在（2）的条件下，若，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． （4）【拓展提升】 结合上述探究得到的图形变化规律，在动点滑动的全过程中，直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：的度数不发生变化，且；理由如下： ∵是等腰直角三角形，，，点、分别为、的中点， ∴，， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴； （3）1或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到，再证明，根据等腰直角三角形的性质，即可证明． （2）证明，得到，继而得到，解答即可． （3）分，，，三种情况，利用等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，求解即可； （4）根据题意，得，当最小时，取得最小值，利用垂线段最短，求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， 当时， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， ， 解得，（负的舍去，线段长不能为负） 当时， ， 根据前面的证明，得，， ， ， ， ， ， 当时，则， ， 故点F与点E重合，与滑块在线段上运动时，不与端点、重合的要求矛盾， 此时不成立， 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为1或； 【小问4详解】 解：根据题意，得，当最小时，取得最小值，根据垂线段最短，得时，最小，根据前面的证明，得到此时， 故即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国古代算学与诗词、工程的交融，藏着古人的智慧巧思．《九章算术》中记载了“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”等经典算题，它们的几何图形在建筑营造、器物设计中被广泛应用．下列分别是这四道古算题所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平．如图，初始时，左盘放质量为的铜砝码，右盘放质量为的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高．这一现象所体现的数学原理是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 在“几何定理溯源与应用”的数学项目式学习中，同学们围绕“命题与逆命题的真假性”展开探究，通过梳理课本定理，判断其逆命题是否依然成立．下列命题中，逆命题为假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 全等三角形的对应角相等 5. 校园实践活动中，同学们利用平面直角坐标系绘制校园点位图，若将表示点位的位置向右平移2个单位得到点位，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在校园“手工数学”社团活动中，小红用一张长方形彩纸制作平行四边形书签．她按照设计图，沿两条斜线，折叠后，剪下多余部分，得到了．若量得，则书签边缘的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在“数智赋能课堂”的项目式学习中，同学们用一次函数模型模拟两种数据采集方案的成本变化．已知方案的成本函数为，方案的成本函数为（、为常数，），如图，两方案的成本变化图象交于点．请判断：当方案的成本低于方案时，的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. B. C. 或 D. 且 10. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案） 11. ，括号内应填_________． 12. 美术社团用木条拼接正多边形装饰展板，已知该多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数为________． 13. 在校园科技节的手工制作活动中，小明用四根木条钉成了一个可变形的平行四边形框架，并将它改造成活动展示架．推动边后，框架变形为新的平行四边形．若测得变形前后木条夹角，新框架中，则原框架中的度数为________． 14. 在校园模型制作活动中，同学们制作等腰三角形框架，已知，．为了加固框架，沿线段的垂直平分线安装支撑杆，该线交于点E，交于点D．则部分框架的周长为________． 15. 如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为；④直线与直线相交所形成的锐角是；⑤．其中正确的是________（只填序号）． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解答下列各题： （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上． （2）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 17. 如图，在中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为E，F．求证：． 18. 如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； （3）若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 20. 如图，是的中位线，过点E作的平行线，交于点F，过点A作的平行线，交直线于点G．请利用这个图形证明三角形的中位线定理． 21. 某校组织线下教研交流会，后勤工作人员统一采购会议专用铅笔．附近一家文具店有如下规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．如果给每位参会人员配发1支铅笔，只能按零售价结算，一共花费120元；如果再多采购60支，便可享受批发价结算，总费用依旧为120元． （1）本次教研交流会的参会人员总数在什么范围内？ （2）已知按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支铅笔的花费相等，求本次交流会的参会人员有多少人？ 22. 【阅读与探究】 在“因式分解方法拓展”的数学探究课上，老师介绍了除提公因式法、公式法之外的新方法——配方法． 例如，对多项式因式分解时，我们可以先配方，再用平方差公式继续分解： ． （1）上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； （2）【实践操作】 请用配方法对多项式进行因式分解； （3）【拓展创新】 在“多项式最值问题”的拓展任务中，需要分析多项式的取值情况，请回答：当x，y为何值时，该多项式有最小值？并求出这个最小值． 23. 【情景背景】 劳动实践课上，同学们开展手工教具制作活动，利用硬质塑料板材加工等腰直角三角支架．如图①，现有等腰直角三角形板材，，点、分别为、的中点，取中位线作为支架活动滑轨；滑块在线段上运动（不与端点、重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．请结合动手操作与几何知识，完成下列探究： （1）【操作探究】 求证：． （2）【综合探究】 如图②，连接、，交于点．判断点在滑轨上滑动的过程中，的度数是否发生变化；若不变，请证明并求出该角度数；若变化，请说明理由． （3）【深入探究】 在（2）的条件下，若，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． （4）【拓展提升】 结合上述探究得到的图形变化规律，在动点滑动的全过程中，直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $