精品解析：湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

青竹湖湘一2026年八下期末考试数学卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个是正确选项） 1. 世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 B. 在一次函数中，随着的增大而增大 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 5. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（ ） A. 当时，函数有最大值是4 B. 图象与轴的交点为和 C. 当或时，函数值随值的增大而减小 D. 若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___________． 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 13. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 __________ ． 14. 将直线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的直线为___________． 15. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________． 16. 如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，若的面积为5，则k的值为______． 三、计算题：（本大题共2题，17、18题各6分，共12分） 17. 计算：． 18. 化简与解方程： （1）化简：； （2）解方程： 四、解答题：（本题共6小题，19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 2026年3月25日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，72，74，75，76，76，76，78，78，79，79． ：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）C组数据的中位数___________，众数是___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 21. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 22. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； （3）若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 24. 综合与探究 问题情境：如图，正方形与等腰直角三角形，其中点在上，且，分别交于点，且交于点． 推理证明： （1）连接，如图1，求证：； 拓展延伸： 点在上移动的过程中，探究下列问题： （2）如图1，当时，求正方形的边长； （3）如图2，连接，求、、三边的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青竹湖湘一2026年八下期末考试数学卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个是正确选项） 1. 世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：52000000000用科学记数法表示为． 故选：D． 2. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是，，，，你认为派谁去参赛更合适（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定. 【详解】∵，，，， ∴， ∵平均数一样， ∴派甲去参赛更合适， 故选A. 【点睛】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 B. 在一次函数中，随着的增大而增大 C. 两直线平行，同旁内角相等 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点坐标的意义、一次函数的性质、平行线的性质及平行公理．逐一判断各选项的真假，A中点到轴的距离应为纵坐标的绝对值，B中一次函数斜率负则随着增大而减小，C中平行线同旁内角互补而非相等，D为平行公理的推论． 【详解】解：A、点到轴的距离是，故A为假命题； B、一次函数的，则随着的增大而减小，故B为假命题； C、两直线平行，同旁内角互补，而非相等，故C为假命题； D、平行于同一条直线的两条直线平行，故D为真命题； 故选：D． 5. 已知，，是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由抛物线为，则抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，，是抛物线上的点，可得，，，，进而可以得解． 【详解】解：∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， 又∵，，是抛物线上的点， ∴，，，， ∴． 故选：C． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 7. 2026苏超是江苏足球的“超”级盛宴，它已不只是赛事，而是江苏体育新IP，城市文化新载体，消费升级新引擎，让足球回归大众，在这个足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了78场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵共有x个队参赛，每个队需要和除自身外的个队各赛一场，总比赛场次为78场， ∴可得方程． 8. 如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，利用转化思想是解题的关键． 勾股定理可求，由面积法求得，证明四边形是矩形，根据对角线相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：A． 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程中，二次项系数，一次项系数，，是方程的两个实数根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系得， ∵， ∴， 解得． 10. 已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（ ） A. 当时，函数有最大值是4 B. 图象与轴的交点为和 C. 当或时，函数值随值的增大而减小 D. 若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：，   函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，，   图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 13. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理、三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据四边形为菱形得，，，由勾股定理求出，根据为的中位线，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∵点O为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 14. 将直线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的直线为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”，计算得到平移后的直线表达式即可 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的直线为． 15. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形，“等边对等角”求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可． 【详解】解：, , 垂直平分 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键． 16. 如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数的图象上，过点P作轴于点A，若的面积为5，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，根据反比例函数k的几何意义，可得，进而求出k的值，检验得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得， 又， ， 故答案为：． 三、计算题：（本大题共2题，17、18题各6分，共12分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂的运算. 解题思路是先根据对应运算法则分别计算每一项，再合并化简得到最终结果. 【详解】解：原式 18. 化简与解方程： （1）化简：； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，再合并同类项即可得到结果； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 因式分解得 即或 解得 四、解答题：（本题共6小题，19、20题每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 2026年3月25日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，72，74，75，76，76，76，78，78，79，79． ：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）C组数据的中位数___________，众数是___________； （2）请补全频数分布直方图； （3）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1），72； （2） （3）人． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用A组人数除以所占的比例求出抽取的学生人数，再求出D组人数，补全直方图即可； （3）用八年级总人数乘以80分及以上的学生占比求解即可． 【小问1详解】 解：C组的数据有16个， 中位数为第8、9个数据的平均数， 第8个、第9个数据分别为74、75， 中位数为； C组的16个数据中，出现了4次，次数最多， 众数为72； 【小问2详解】 解：抽取的总人数为（人）， 则D组人数为（人）， 补全频数分布直方图如答图； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）将交点坐标代入反比例函数求，得到点坐标，再把两个交点代入一次函数，解二元一次方程组求参数，写出解析式； （2）先求一次函数和轴交点坐标，沿轴把大三角形拆成两个小三角形，套用三角形面积公式求和． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点，点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点为直线与轴的交点，如图： 令，解得， ∴点的坐标为， 由（1）知：，， ∴． 21. 2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 （2）；W的最大值为4500元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 22. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，则，即可得证； （2）利用菱形的性质和勾股定理，得出，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 23. 喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； （3）若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； 【小问3详解】 解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 24. 综合与探究 问题情境：如图，正方形与等腰直角三角形，其中点在上，且，分别交于点，且交于点． 推理证明： （1）连接，如图1，求证：； 拓展延伸： 点在上移动的过程中，探究下列问题： （2）如图1，当时，求正方形的边长； （3）如图2，连接，求、、三边的数量关系． 【答案】（1）证明：正方形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转，得到， ，，， ，即、、三点共线， 等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，得到，证明出，即可得证； （2）设正方形的边长为，则，，结合（1）结论可知，，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）过点作的延长线于点，于点，交于点，连接，证明，进而证明四边形是正方形，则，再证明四边形是平行四边形，从而推出，易证和是等腰直角三角形，则，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设正方形的边长为， ，， ， ，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 解得：，即正方形的边长为， 【小问3详解】 解：如图，过点作的延长线于点，于点，交于点，连接， ， ， 等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形和四边形是正方形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $