精品解析：湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

青竹湖湘—外国语学校2024-2025学年第二学期期末试卷 初二数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 据教育部教育考试院官方微信消息，2025年全国高考报名人数达到1335万人，1335万这个数用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如右表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8.8 8.8 9 0.6 0.8 0.6 1.8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 ( ) A. B. C. D. 6. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 9. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（ ） ①；②； ③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使函数有意义的的取值范围是______． 12. 因式分解：________． 13. 如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为__． 14. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为______． 15. 为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程______． 16. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分．） 17. 计算：． 18 （1）解不等式：； （2）解方程：． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求m的值． 20. 学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题： （1）抽取了______名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为______分，众数是______分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？ 21. 如图，菱形对角线，相交于点O，过点C、D分别作，的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的面积． 22. 某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩． （1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； （2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价x（元） 22 24 27 销售量y（件） 200 180 150 ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； ②若要使每天销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？ 23. 如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、． （1）如图1，当时，连接，且． ①已知，，求的长； ②已知，求的值； （2）如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值． 24. 定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”不动点， （1）求直线l：的不动点坐标； （2）已知直线：与x、y轴分别交于点A、B． ①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标； ②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由． 25. 已知点、点，若满足点，则称点A、B关于点对称；若函数图象上所有点关于点对称的点均在函数的图象上，则称函数与函数关于点对称． （1）已知点，则点A关于原点、关于点的对称点的坐标分别是______，______，关于点对称的点的坐标是______（用含a、b的式子表示）； （2）已知抛物线：与抛物线：关于点R对称，抛物线的顶点为M，若将点M向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的点，恰好在抛物线上，求点R的坐标； （3）已知抛物线：关于点对称的抛物线为，当时，抛物线的最大值和最小值之差为3，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青竹湖湘—外国语学校2024-2025学年第二学期期末试卷 初二数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 据教育部教育考试院官方微信消息，2025年全国高考报名人数达到1335万人，1335万这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 1335万即， 将1335改写为（因）， 原式可表示为． 故选：D． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程”，逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质、是解题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质，依次判定即可． 【详解】A、平行四边形的对角线互相平分， 故A选项正确，符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B选项错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形， 故D选项错误，不符合题意． 故选：A 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如右表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8.8 8.8 9 0.6 0.8 0.6 1.8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的统计意义，平均数越大成绩越好，方差越小发挥越稳定．先比较平均数选出成绩好的运动员，再比较比较方差选择发挥稳定的． 【详解】∵甲和丁的平均数均为9环，高于乙（8.8环）和丙（8.8环） ∴从甲和丁中选择． ∵甲的方差为0.6，丁的方差为1.8．方差越小表明发挥越稳定， ∴甲比丁更稳定． ∴甲的平均数最高且方差最小，符合“成绩好且发挥稳定”的要求，故选甲． 故选A． 5. 已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理；先求出直线与两坐标轴的交点，再求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，，， 则的周长为． 故选：A． 6. 如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度． A. 112.5 B. 125 C. 135 D. 150 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质．解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据正方形的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将移项配方即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， A. ，符合： B. ，不符合： C. ，不符合： D. ，不符合： 故选：A． 8. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用正方形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：分别以，为边向外作正方形，面积分别为，， ，． ，， ，． ， ． 故选：B 9. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即：关于x的不等式的解集为． 故选C． 10. 已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（ ） ①；②； ③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点， ∴，， ∴，，故②正确； ∴，故①错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 使函数有意义的的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：． 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】x（y-1）2 【解析】 【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：xy2-2xy+x =x（y2-2y+1） =x（y-1）2， 故答案为：x（y-1）2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 13. 如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为__． 【答案】16. 【解析】 【分析】根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】、分别为、的中点， ， 四边形是矩形， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系． 14. 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线______． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了抛物线的图象与平移变化，牢记平移规则“左加右减、上加下减”是解答本题的关键． 根据平移的性质，向左平移1个单位，即用代替原自变量，再向上平移3个单位，即函数关系式等号右边加3，化简即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得： ， 故答案为：． 15. 为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植株麦冬草，根据“甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍”，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植株麦冬草，根据题意得： ． 故答案为： 16. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 【答案】87分 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提． 按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：小云这学期的体育综合成绩是（分）， 故答案为：87分． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分．） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】先计算负整数次幂、零次幂、分母有理化，再进行加减运算． 本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数次幂、零次幂以及二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. （1）解不等式：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次不等式的解法、一元一次不等式的解法． （1）根据不等式求解步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解； （2）利用因式分解的方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解方程： ∴， ∴， 解得：． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若两实数根分别为和，且，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可； （2）由和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得，，又由，可得方程，求解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵和是方程的两个实数根， ∵，， ∴， ∴， 解得：． 20. 学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题： （1）抽取了______名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为______分，众数是______分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）40，9，9，36 （2）见解析 （3）估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，求中位数、众数和圆心角的度数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，根据中位数、众数的定义即可求出中位数，众数；求出D级人数所占的百分比，再利用乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数； （2）用被调查总人数减去A、B、D三个等级的人数，得到C等级人数，即可补全条形图； （3）根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数． 【小问1详解】 解：一共抽取了人， 则中位数为第20位和第21位的平均数， ∵第20位和第21位的成绩都为9分， ∴中位数为分； C等级人数为：（人）， ∵40个数据中，9分出现的次数最多， ∴众数为9； ∵D级所占的百分比为：， ∴D级对应扇形的圆心角为：； 故答案为：40，9，9，36． 【小问2详解】 解：C等级人数为：（人）， 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人． 21. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C、D分别作，的平行线，两线相交于点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键． （1）由四边形对边分别平行，易证四边形为平行四边形，根据菱形的性质可得，即可证明； （2）根据矩形的性质得，由菱形的性质结合勾股定理求出，，根据三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积． 22. 某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩． （1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率； （2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 销售单价x（元） 22 24 27 销售量y（件） 200 180 150 ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； ②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？ 【答案】（1）种植黄桃亩数的年平均增长率为 （2）①与之间的函数关系式为：； ②销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、一次函数和二次函数的应用，掌握待定系数法和找到相等关系是解题的关键． （1）根据“2023年植黄桃100亩，到2025年种植了121亩”列方程求解； （2）①根据待定系数法求解； ②根据题意列出函数解析式，再根据二次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为， 根据题意得：， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：种植黄桃亩数的年平均增长率为； 小问2详解】 解：①设与之间的函数关系式为：， 则， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； ②设每天的销售利润为w， 由题意得：， ∵， ∴当时，利润最大，最大利润为1210， 答：销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元． 23. 如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、． （1）如图1，当时，连接，且． ①已知，，求的长； ②已知，求的值； （2）如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k值． 【答案】（1）①10；② （2） 【解析】 【分析】（1）①首先由得到，证明出四边形是正方形，然后利用勾股定理求解即可； ②如图所示，延长到点G使，证明出，得到，然后利用勾股定理求出，得到，进而求解即可； （2）如图所示，连接，设，，证明出，得到，，然后表示出，勾股定理得到，表示出，由得到，然后代入求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 ①∵在矩形中，已知， ∴当时， ∴ ∴四边形是正方形 ∴ ∵， ∴； ②如图所示，延长到点G使 ∵四边形是正方形，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图所示，连接 ∵ ∴设， ∵四边形是矩形 ∴，设 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴代入得， ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点， （1）求直线l：的不动点坐标； （2）已知直线：与x、y轴分别交于点A、B． ①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标； ②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标 【解析】 【分析】（1）由直线l：，令，即可解答； （2）①先求出，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为，由题意得，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，推出，由（1）知，则，进而求出，求出，得到，再利用待定系数法即可求出直线l，即可求出点Q的坐标；②设直线的解析式为，点，代入直线得到直线的解析式为，联立，求出，再根据，代入数据即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线l：， 令，则， ∴直线l：的不动点坐标为； 【小问2详解】 ①解：令，解得：； ∴， 如图1，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入直线l：，则， 解得：， ∴直线l的解析式为：， 将代入，则， ∴； ②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标， 设直线的解析式为，点， 将点代入直线得，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，两点距离公式，等腰直角形的性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 25. 已知点、点，若满足点，则称点A、B关于点对称；若函数图象上所有点关于点对称的点均在函数的图象上，则称函数与函数关于点对称． （1）已知点，则点A关于原点、关于点的对称点的坐标分别是______，______，关于点对称的点的坐标是______（用含a、b的式子表示）； （2）已知抛物线：与抛物线：关于点R对称，抛物线的顶点为M，若将点M向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的点，恰好在抛物线上，求点R的坐标； （3）已知抛物线：关于点对称的抛物线为，当时，抛物线的最大值和最小值之差为3，求m的值． 【答案】（1），， （2） （3）或2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的中心对称变换，点的平移． （1）先由新定义求出点关于对称的坐标为，然后据此求解即可； （2）由的顶点M关于R的对称点必为的顶点得到，根据平移规律求出M平移后的坐标代入即可求解； （3）先求出的关系式，然后分当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 ∵、点，若满足点，则称点A、B关于点对称， ∴， ∴点关于对称坐标为， ∴点关于原点的对称点的坐标为即， 点关于点的对称点的坐标即， 点关于点的对称点的坐标， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵抛物线：与抛物线：关于点R对称， ∴的顶点M关于R的对称点必为的顶点， 设R点坐标为 ∵：的顶点为，的坐标为， ∴， 将点向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得，代入得， ， 解得， ∴， ∴，， ∴点R的坐标为； 【小问3详解】 设上任一点为，则其关于对称点为，代入，得 ：，对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大． 当时， 时取得最大值，时取得最小值， ∵抛物线的最大值和最小值之差为3， ∴， ∴，符合题意； 当时， 时取得最大值，时取得最小值， ∵抛物线的最大值和最小值之差为3， ∴， ∴，符合题意； 当时， 时取得最大值，时取得最小值或时取得最小值， ∵抛物线的最大值和最小值之差为3， ∴或， ∴或，均不符合题意； 综上可知，m的值为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $