精品解析：湖南郴州市2025-2026学年下学期期末教学质量监测试题卷八年级数学

2026年上学期期末教学质量监测试题卷 八年级数学 注意事项： 1．试卷分试题卷和答题卡．试卷共6页，有三道大题，24道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（ ） A. 将l1向左平移2个单位 B. 将l1向右平移2个单位 C. 将l1向上平移2个单位 D. 将l1向下平移2个单位 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. y的值随x值的增大而增大 6. 某学校开展航空航天知识竞赛，从七年级随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（成绩为整数，满分100分），进行统计后，绘制出如图所示频数分布直方图，下列说法错误的是（ ） A. 抽取的总人数为40人 B. 得分在分的人数为14人 C. 得分在分之间的人数占总人数的 D. 得分不低于90分的人数为2人 7. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 8. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，折线描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系．其中正确的说法是（ ） A. 汽车共行驶了120千米 B. 汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 C. 汽车在整个行驶过程中的平均速度为40千米/时 D. 汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度在减少 10. 如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 12. 在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的上四分位数是________分． 13. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为________． 14. 如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于________． 15. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是_________． 16. 湘南传统民居的庭院多为正方形，正中央有一方天井（即对角线交点）．主人从天井中心拉两根绳子，分别系在东墙上的点和南墙上的点，且两根绳子始终保持垂直（）．根据上述庭院布局下列结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的； ④． 其中一定正确的是：________（填序号）． 三、解答题（本大题共8小题，17题每小题6分，题每小题8分，题每小题9分，题每小题10分，24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在轴上，求点的坐标． 18. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，过点D作于点E，求的度数． 19. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛的相关数据． 【信息1】 甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 36.25 乙 27 27.5 3.25 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____； （2）本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 20. 已知，在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）． （1）画出关于y轴对称的； （2）画出向下平移5个单位长度得到的； （3）若点C的坐标为，请写出点C经过两次图形变换的对应点的坐标． 21. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点作，过点作且与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求线段的长度． 22. 正值郴州文化旅游节，某特产专营店热销本地两大王牌产品：“东江湖银鱼干”与“桂阳坛子肉”．已知：购进2箱银鱼干和3箱坛子肉，共需280元；购进3箱银鱼干和2箱坛子肉，共需320元． （1）求一箱东江湖银鱼干和一箱桂阳坛子肉的进价分别是多少元？ （2）该店计划一次性购进这两种特产共100箱，其中银鱼干进货量不得低于坛子肉进货量的3倍．设购进银鱼干箱，总进货费用为元，请问该店如何进货才能使总费用最少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．直线经过点B，且与x轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是线段上的一个动点，连接、，若点P的横坐标为，求的面积？ （3）点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的平行线，交直线于点D．请问：是否存在点P，使得以O、P、D、C四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 【问题背景】 几何图形中蕴含着丰富的数量关系．从矩形中的勾股计算，到正方形中垂直线段的特殊性质，再到利用轴对称解决动点最值问题，都是重要的几何模型．让我们由浅入深进行探究． 【初步感知】 （1）如图1，在矩形中，，．点E在边上，且，连接，求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，将矩形改为正方形（即），点E、F分别在边、上，且，垂足为点G． ①此时与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； ②若正方形边长为4，，求线段的长度． 【拓展应用】 （3）如图3，在菱形中，，，点M、N在对角线上运动，且，连接，，是否存在某个位置使得的周长最小？若存在，请求出此时的周长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末教学质量监测试题卷 八年级数学 注意事项： 1．试卷分试题卷和答题卡．试卷共6页，有三道大题，24道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置． 3．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列各点中，在第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个象限内的点的横纵坐标的符号判断即可． 【详解】解：A、点在第二象限，本选项符合题意； B、点在第四象限，本选项不合题意； C、点在第三象限，本选项不合题意； D、点在第一象限，本选项不合题意． 3. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：对于函数，自变量应满足 ， 解得， 即自变量的取值范围是． 4. 在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝3x平移后得到直线l2：y＝3x＋2，则下列平移的做法正确的是（ ） A. 将l1向左平移2个单位 B. 将l1向右平移2个单位 C. 将l1向上平移2个单位 D. 将l1向下平移2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线l1：y＝3x向上平移2个单位得到直线l2：y＝3x＋2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移的规律是解题的关键． 5. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特点可得A错误；根据一次函数的性质：可判断出B错误、C错误，D正确． 【详解】解：A、因为4×1−5＝−1≠2，所以它的图象不过点（1，2），错误； B、图象经过第一、四、三象限，错误； C、当x＜时，y＜0，错误； D、∵4＞0，∴y的值随x值的增大而增大，正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 6. 某学校开展航空航天知识竞赛，从七年级随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（成绩为整数，满分100分），进行统计后，绘制出如图所示频数分布直方图，下列说法错误的是（ ） A. 抽取的总人数为40人 B. 得分在分的人数为14人 C. 得分在分之间的人数占总人数的 D. 得分不低于90分的人数为2人 【答案】C 【解析】 【分析】根据频数分布直方图读出各分数段的频数，计算总人数及各部分所占百分比，逐项进行判断即可． 【详解】解：由频数分布直方图可知，各分数段的人数分别为： 分：人； 分：人； 分：人； 分：人； 分：人． A、 抽取的总人数为（人），  选项A说法正确，不符合题意； B、得分在分的人数为人，  选项B说法正确，不符合题意； C、得分在分的人数为人，占总人数的百分比为，  选项C说法错误，符合题意； D、得分不低于分即分，人数为人，  选项D说法正确，不符合题意． 7. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形及特殊四边形的判定定理，只需逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故本选项的命题错误； 选项B：对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，选项缺少“互相平分”的条件，故本选项的命题错误； 选项C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故本选项的命题错误； 选项D：对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，故本选项的命题正确． 8. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 9. 如图，折线描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系．其中正确的说法是（ ） A. 汽车共行驶了120千米 B. 汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时 C. 汽车在整个行驶过程中的平均速度为40千米/时 D. 汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度在减少 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．直接观察图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：观察图象得：汽车共行驶了千米，故A选项错误，不符合题意； 汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为千米/时，故B选项正确，符合题意； 汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时，故C选项错误，不符合题意； 汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度为千米/时， 所以汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度不变，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 10. 如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得到，因此是的垂直平分线，得到，设，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 12. 在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的上四分位数是________分． 【答案】90 【解析】 【分析】先明确箱线图各分位数对应的位置含义，箱线图矩形右侧端点代表上四分位数，直接读取图中对应数值即可． 【详解】解：箱线图标注数值：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值． 故该班学生成绩的上四分位数是． 13. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据n边形的内角和为计算即可． 【详解】解：正十二边形的内角和为． 14. 如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离，可以在外选一点，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于________． 【答案】 36 【解析】 【分析】根据、分别是、的中点，可得是的中位线，利用中位线定理即可求解． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴． 15. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两个一次函数图象的交点坐标是对应二元一次方程组的解是解决此题的关键，根据点的坐标即可得出答案． 【详解】解：函数和的图象交于点， 关于的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 16. 湘南传统民居的庭院多为正方形，正中央有一方天井（即对角线交点）．主人从天井中心拉两根绳子，分别系在东墙上的点和南墙上的点，且两根绳子始终保持垂直（）．根据上述庭院布局下列结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的； ④． 其中一定正确的是：________（填序号）． 【答案】 ①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，，利用同角的余角相等证得，，进而利用证明和，根据全等三角形的性质可得，，结合图形面积关系及勾股定理即可判断各结论 ． 【详解】解：四边形是正方形，为对角线交点 ， ，， ， ，  ， ∴，   ， 在和中，  ， ， 故②正确 ； 同理可证：，  在和中，  ，  ， 故①正确 ； ∵， ，  ，， ，  ，  ， ， 故③正确； 在中，，  ， ， ， 故④正确； 综上所述，一定正确的是①②③④． 三、解答题（本大题共8小题，17题每小题6分，题每小题8分，题每小题9分，题每小题10分，24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知点，解答下列各题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点在轴上，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0，分别列方程求出的值, 再计算得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在轴上 ， ∴ ，解得，   ， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点在轴上， ∴ ，解得 ，  ， ∴点的坐标为． 18. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且． （1）求证：平行四边形是矩形； （2）若，过点D作于点E，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明的对角线即可得证矩形； （2）根据矩形的性质得到，因此，根据垂直的定义与直角三角形两锐角互余求出，根据角的和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛的相关数据． 【信息1】 甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 36.25 乙 27 27.5 3.25 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____； （2）本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 【答案】（1）；； （2）甲综合得分：， 乙综合得分：， ∵， ∴甲队员的表现更好； （3）从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是小于甲的得分方差，说明乙的得分更稳定； 从平均得分的角度分析，乙的平均得分分高于甲的平均得分分，说明乙的平均得分更好； ∴我认为乙队员表现更好． 【解析】 【分析】（1）观察乙的得分数据根据众数的定义可求；将甲的得分排序后，根据中位数定义可求；根据甲的篮板统计图，结合平均数的计算公式可求； （2）根据加权平均数的计算公式计算甲、乙的综合得分，再比较大小即可解答； （3）可从平均得分、方差、众数、中位数、篮板数等指标中任选两个，因为不同指标反映不同的表现维度，所以结合指标数据进行分析． 【小问1详解】 解：乙的得分中，出现次数最多（次）， ∴得分众数； 将甲的得分从小到大排序：，，，，，，，，共个数， ∴中位数为第、个数的平均数：； 由篮板统计图可得，甲的平均每场篮板； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知，在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）． （1）画出关于y轴对称的； （2）画出向下平移5个单位长度得到的； （3）若点C的坐标为，请写出点C经过两次图形变换的对应点的坐标． 【答案】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求； （3）解：点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）分别作出点，，的对应点，，即可； （3）根据所画图形，直接写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点作，过点作且与相交于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求线段的长度． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到四边形是平行四边形，由矩形的性质得到，即可得证结论； （2）由矩形的性质得到，结合，得到是等边三角形，因此，，根据勾股定理求出，证明，，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22. 正值郴州文化旅游节，某特产专营店热销本地两大王牌产品：“东江湖银鱼干”与“桂阳坛子肉”．已知：购进2箱银鱼干和3箱坛子肉，共需280元；购进3箱银鱼干和2箱坛子肉，共需320元． （1）求一箱东江湖银鱼干和一箱桂阳坛子肉的进价分别是多少元？ （2）该店计划一次性购进这两种特产共100箱，其中银鱼干进货量不得低于坛子肉进货量的3倍．设购进银鱼干箱，总进货费用为元，请问该店如何进货才能使总费用最少？ 【答案】（1） 一箱东江湖银鱼干的进价为80元，一箱桂阳坛子肉的进价为40元 （2） 购进银鱼干75箱，桂阳坛子肉25箱时，总进货费用最少 【解析】 【分析】（1）设出两种产品的进价，根据题干给出的总费用条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）根据进货量的限制条件求出自变量的取值范围，再列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的增减性即可求出总费用最少的进货方案． 【小问1详解】 解：设一箱东江湖银鱼干的进价为元，一箱桂阳坛子肉的进价为元， 根据题意得： ， 解得  ． 答：一箱东江湖银鱼干的进价为80元，一箱桂阳坛子肉的进价为40元． 【小问2详解】 解：已知购进银鱼干箱，则购进坛子肉箱， 根据题意得： ， 解得， 结合实际可知：，且为整数， 总进货费用，  化简得，  ，  随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 此时（箱） ． 答：当购进银鱼干75箱，桂阳坛子肉25箱时，总进货费用最少． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．直线经过点B，且与x轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点P是线段上的一个动点，连接、，若点P的横坐标为，求的面积？ （3）点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的平行线，交直线于点D．请问：是否存在点P，使得以O、P、D、C四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）对于直线，分别令，，求出点A，B的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式； （2）把代入直线，求出点P的坐标，根据求解即可； （3）设点P，D的纵坐标都为n，则，，因此，根据以O、P、D、C四点为顶点的四边形是平行四边形，且，得到，即可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，则，解得， 令，则， ∴，． 设直线的解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点P是线段上的一个动点，点P的横坐标为， ∴把代入直线，得， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵轴， ∴点P，D的纵坐标相同， 设点P，D的纵坐标都为n， 把代入直线，得，解得， ∴， 把代入直线，得，解得， ∴， ∴， ∵以O、P、D、C四点为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 24. 【问题背景】 几何图形中蕴含着丰富的数量关系．从矩形中的勾股计算，到正方形中垂直线段的特殊性质，再到利用轴对称解决动点最值问题，都是重要的几何模型．让我们由浅入深进行探究． 【初步感知】 （1）如图1，在矩形中，，．点E在边上，且，连接，求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，将矩形改为正方形（即），点E、F分别在边、上，且，垂足为点G． ①此时与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； ②若正方形边长为4，，求线段的长度． 【拓展应用】 （3）如图3，在菱形中，，，点M、N在对角线上运动，且，连接，，是否存在某个位置使得的周长最小？若存在，请求出此时的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2）①，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． ② （3）解：存在，理由如下： 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 过点D作的平行线，且在该平行线上取点，使得，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 连接，则， ∴， ∴当点E，N，B三点共线时，取得最小值，最小值为． 连接，交于点O， ∵在菱形中，，，， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）①由正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，从而证明，即可得出结论； ②根据勾股定理求出，再根据的面积求解即可； （3）连接，则．过点D作的平行线，且在该平行线上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形，因此，，从而的周长可转换为，连接，当点E，N，B三点共线时，的周长取得最小值．连接，证明是等边三角形，得到，证明，再根据勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴在中，． 【小问2详解】 ①略 ②解：∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $