第3单元 03 第18讲 导数与函数的极值、最值（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的极值、最值”专题，依据课标要求覆盖极值判定条件、导数求最值方法及多项式函数闭区间最值等核心考点，结合2025全国二卷、2026河南开封期中真题，梳理知识体系并归纳极值点判断、参数范围求解、实际优化问题等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题训练+素养导向”的复习策略，通过分类讨论（数学思维）分析含参函数极值，数形结合（数学眼光）解决最值问题，如已知极值求参数时利用导数符号变化表判断，实际问题中构建函数模型（数学语言）。特设易错点警示（如混淆极值与极值点），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准规划复习，提升备考效率。

第18讲 导数与函数的极值、最值 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大（小）值、最大（小）值. 3.对于多项式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最 大（小）值. 4.体会导数在研究单调性、极大（小）值、最大（小）值的作用. 课 标 要 求 3 知识聚焦 1.函数的极值 （1）函数极值的定义: 一般地，设函数的定义域为,设,如果对于 附近的 任意不同于的 ,都有 ①,则称为函数的一个__________，且在 处取________； 极大值点 极大值 课 前 基 础 巩 固 4 ②,则称为函数的一个__________，且在 处取________. 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显 然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. 极小值点 极小值 课 前 基 础 巩 固 5 （2）一般地，如果是的极值点，且在 处可导，则 必有__________. （3）求可导函数 的极值的步骤 ①确定函数的定义域，求导数 ; ②求方程 的根； ③列表； ④利用与随 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的 变化情况求极值. 课 前 基 础 巩 固 6 2.函数的最大（小）值 （1）函数在区间 上有最值的条件：一般地，如果函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函 数在 上一定能够取得最大值和最小值. （2）求函数在区间 上的最大（小）值的步骤： ①求函数在区间 内的______; ②将函数 的各极值与区间________________________比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 极值 端点处的函数值, 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 对于可导函数,“”是“函数在 处有极值”的必 要不充分条件. 课 前 基 础 巩 固 8 对点演练 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的极小值为____. [解析] ，令，得 或 . 当时，；当时， ； 当时，. 故在 处取得极小值 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］函数在区间 上的最大值是______. [解析] ，令，得. 当 时，；当时，. 故函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以在区间 上的最大值是 , . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］将一段长为 的铁丝截成两段，一段弯成正方 形，另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小，则弯成圆的 铁丝的长是_____ . 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 设弯成圆的铁丝的长为 ,则弯成正方形的铁丝的长为 ,记正方形与圆的面积之和为 ，则 ， . 令，得 ，当时，， 单调递减，当 时，，单调递增，故当时 取得最小 值，即当弯成圆的铁丝的长为 时，正方形与圆的面积之和最小. 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 4.［混淆极值与极值点的概念］函数 的极值点为 ______；函数 的极值点________（填“存在”或“不存 在”）. 不存在 [解析] 因为，所以当 时， ，单调递增，当时，， 单调递 减，所以是函数的极小值点. 因为 ,即无变号零点, 所以函数 不存在极值点. 课 前 基 础 巩 固 13 5.［忽视连续函数在区间 上不一定存在最值］已知函数 ，则在上的最小值和最大值分别是______； 在 上的最小值和最大值均________（填“存在”或“不存在”）. 1，4 不存在 [解析] 易知在上单调递增，故在 上的最小值为 ，最大值为. 根据最值的定义,可得在 上的最小值和最大值均不存在. 课 前 基 础 巩 固 14 6.［混淆恒成立与能成立问题］对任意实数，若不等式 恒 成立，则实数的取值范围是________；若存在实数 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是__________. [解析] 对任意实数，不等式恒成立，则 ， 即. 存在实数，使不等式成立，则 ，即 . 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 利用导数解决函数的极值问题 微点1 由图象判断函数极值 例1 （多选题）设函数在 上可导，其导函数为 ，若函数 的图象如图所示，则 下列说法中正确的是( ) A.函数有极大值 B.函数有极大值 C.函数有极小值 D.函数有极小值 √ √ 课 堂 考 点 探 究 16 ［思路点拨］由的图象可以得出 在各区间上的正 负情况,从而可得 在各区间上的单调性,进而可得极值. 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 由图可知，当时， ， 且，则， 在区间 上单调递增； 当 时，，且， 则 ，在区间上单调递减； 当 时, ,且,则,在区间 上单调递减； 当时，，且 ，则，在 区间上单调递增. 所以函数 的极大值为，极小值为 . 课 堂 考 点 探 究 18 总结反思 可导函数在极值点处的导数一定为零，是极大值点还是极小值点要 看在极值点左、右两侧导数的符号. 课 堂 考 点 探 究 19 微点2 已知函数求极值 例2 已知函数,，讨论函数 的极值点情况. ［思路点拨］根据题意可得,分 ， ，三种情况分析的符号，从而可得 的单 调性，进而可得极值点. 课 堂 考 点 探 究 20 解：函数的定义域为 ， , 因为,所以 . 当,即时，,所以在 上单 调递增，无极值点. 当，即 时，当时，， 则在， 上单调递增； 当时，，则在 上单调递减. 所以是极大值点， 是极小值点. 课 堂 考 点 探 究 21 当，即时，当时， ， 则在， 上单调递增； 当时， ， 则在 上单调递减. 所以是极大值点，是极小值点. 综上，当 时，无极值点； 当时，是极大值点， 是极小值点； 当时，是极大值点， 是极小值点. 课 堂 考 点 探 究 总结反思 求函数极值的一般步骤:①先求函数的定义域,再求函数 的导 函数;②求的根;③判断在的根的左、右两侧 的符号,确定极值点;④求出具体极值. 课 堂 考 点 探 究 23 微点3 已知极值求参数 例3（1）[2025· 全国二卷] 若 是函数 的极值点，则 ____. ［思路点拨］求出函数的导数，利用给定极值点求出 并验证即得. 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 因为 ，所以 ，由题意知 ，即 ，所以，所以 , . 当 变化时，， 的变化情况如下表： 2 0 - 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故当时，为的极值点，满足题意，所以 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）已知函数有两个极值点，则实数 的取值范围 是_________. ［思路点拨］将函数有两个极值点转化为 有两个不同 的实数根,令,则问题等价于函数与 的图象 有两个不同的交点,数形结合求得 的取值范围即可. 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 由 ，得， 因为函数 有两个极值点，所以 有两个不同的实数根， 即关于的方程有两个不同的实数根. 令，则函数 与的图象有两个不同的交点. 因为，所以当 时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以当时，取得最大值. 课 堂 考 点 探 究 27 作出函数 的图象如图所示， 由图可知，，解得 ， 所以实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 根据函数的极值情况求参数的两个要领： ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待 定系数法求解. ②验证:求解后验证根的合理性. 课 堂 考 点 探 究 29 应用演练 1.[2026·河南开封期中]函数 的极小值为( ) A. B. C. D.7 [解析] 函数 ，求导得 ,,令 ,解得或1， 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 所以的极小值为 ．故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 30 2.[2025·常州期末]若函数在 处取得极小值，则实数 ( ) A. B.2 C.2或0 D.0 [解析] 由题可得 ，则 ，解得或. 当 时，，在 上单调递增， 不满足题意； 当时，，当 时， ，当时，，所以在 , 上单调递增，在上单调递减，满足题意. 综上， .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 3.已知函数恰有2个极值点，则实数 的取值 范围为_ _____. [解析] 函数 的定义域为， 由 ，可得 ， 要使函数有两个极值点，只需 有两个 不同正根,， 并且在,的两侧的单调性相反. 由 ，得 ，所以 ， 由题意可知与 的图象有两个不同的交点， 课 堂 考 点 探 究 32 令 ，则， 所以当 时，， 函数在 上单调递增， 当时，，函数 在 上单调递减， 所以 ，当 时，，作出 的图 象如图所示（横、纵坐标轴的单位长度不同）， 由图可得，实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 利用导数解决函数的最值问题 例4 已知函数, . （1）若函数在上的最小值是，求 的值； ［思路点拨］求导后，分，， 讨论求得最小值， 从而可求得 的值； 课 堂 考 点 探 究 34 解：,.若，则在 上恒成 立，所以在上单调递增，所以在 上的最小值为 ，不满足题意； 若，则当时，令，解得 ，令 ，解得，所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，所以在 上的最小值为 ，解得 ，满足题意； 课 堂 考 点 探 究 35 若，则在上恒成立，所以在 上单调递减， 所以在上的最小值为，解得 ，不满足 题意. 综上所述， . 课 堂 考 点 探 究 （2）讨论在 上的最大值. ［思路点拨］分，，， 讨论求得 在 上的最大值. 解：由（1）可知，若，则在上单调递增，所以 在上的最大值为 ； 若，则在上单调递减，在 上单调递增，当 ，即时，在 上的最大值为 , 当，即时，在 上的最大值为 ； 课 堂 考 点 探 究 37 若，则在上单调递减，所以在 上的最大值为 . 综上，当时，在上的最大值为 ;当 时，在上的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 （1）连续函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得, 上述值中最小（大）的即为最小（大）值.若连续函数在一个区间上 （不论区间的类型）有唯一的极值点,则该点也是最值点.（2）由函 数的最值确定参数的值（或范围）,一般是利用最值或最值点列出含 参数的方程（或不等式）,解方程（或不等式）即可.（3）注意把不 等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 课 堂 考 点 探 究 39 变式题（1）函数在区间 上的最大值为 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 由题可得 ，当 时，，，所以在区间 上单调 递减，故函数在上的最大值为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 40 （2）已知函数，存在最小值，则实数 的取值范围为_______. 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] ， ，令 ，得. 当 时,,当时,， 当 时,,在 上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. , ，令，解得或， 的图象如图所示. 由图可知，若当时 存在最小值， 则，解得，即实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 利用导数解决实际问题 例5 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量 是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额 的单位：万元；是常数 ，若种植2万斤莲藕，利润是2.5万元，则要 使利润最大，每年需种植莲藕( ) A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤 ［思路点拨］根据题意得利润为 ,根据 得 ，再利用导数研究其单调性即可得答案. √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 设利润为 万元，则 ， ， 由题意得 ，解得 ， ， . 易知函数在上单调递增，在上单调递减, 当 时， 函数 取得极大值，也是最大值，故选A. 课 堂 考 点 探 究 44 总结反思 （1）利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取 合适的自变量建立函数模型. （2）注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果 “翻译”为实际问题的答案. 课 堂 考 点 探 究 45 变式题 [2026· 东北八校一模]用半径为3的圆形铁皮剪出一个圆心角 为 的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值 是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 46 [解析] 设圆形铁皮的半径为，则，设圆锥的底面半径为 ， 则扇形的弧长 ，圆锥的底面周长为，则 ， 即 ，则圆锥的高 ，则圆锥的体积 . 设，其中 ，则 ， 由得 ，由得，所以在上单 调递增，在 上单调递减，故当时，取得最大值， 即当 时，圆锥的体积取得最大值， 且 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 47 课时作业 48 基础热身 1.函数在区间 上的最大值为( ) A. B. C. D.0 [解析] 由题可得，令，得 ，当 时，，当时，，所以 在区 间上的最大值为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 2.已知函数，那么 的极大值是( ) A. B. C. D. [解析] ，， 令 可得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在 上单调递减， . 故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 3.函数在 上的最大值为( ) A.0 B. C. D. [解析] 由 得 ，当 时， ，单调递增，当时，， 单调递 减，所以在上的最大值为 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 4.下列函数中，存在极小值的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，C，因为函数和 都是增函数，所以它 们都不存在极小值，故A,C错误； 对于B,,求导得 ， 由，得或 ，由 ，得 ， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 所以在, 上单调递增，在 上单调递减，所以在 处取得极小值，故B正确； 对于D,对 求导得,且 不恒成立，所以是增函数,即 不存在极小值， 故D错误. 故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.当时，函数取得最大值,则 ( ) A. B. C. D.1 [解析] 由题意可知，，， ，所以 ,,即, ，所以. 令，得，所以函数 在上单调递增， 在上单调递减，所以在 处取得最大值，满足题意， 所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 6.（多选题）[2025·全国二卷]已知是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则( ) A. B.当时， C.，当且仅当 D.是 的极大值点 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] 对于A,因为是定义在上的奇函数,所以 ,故A正确； 对于B，当时， ，则 ,故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，当时， ，则 ，令 ， 解得或（舍去），当时，， 单调递增，当时，， 单调递减，所以 是的极大值点，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 7.已知定义域为的函数的导函数为 ，若 的图象如图所示，则 的极小值点为___. 3 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 的定义域为 ,由图可得当 时，,则, 单调 递增，当时，,则 , 单调递减，故为函数 的极大值点. 当时，,则, 单调递增，故 为函 数的极小值点. 当时，,则, 单调递减，故为 函数的极大值点. 所以 的极小值点为3. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 8.[2026·湖北部分学校9月模拟] 若函数 在处有极小值，则实数 的值为____. [解析] 由，得 ， 因为函数在 处有极小值，所以 ，解得或. 当 时，，当时， ，所以在上单调递减，当时，， 所以 在上单调递增，所以是的极小值，符合题意. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 当 时，，当 时， ，所以在上单调递增，当 时， ，所以在上单调递减，所以是 的极大值， 不符合题意. 综上所述，实数的值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.[2025·唐山二模] 已知， 是函数 的两个极值点. （1）求， 的值； 解：由题可得， ，依题意， ，为的根，即， 为方程 的根， 所以，，所以， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 （2）若曲线在点处的切线为，设直线在 轴上的 截距为，求 的最大值. 解：由（1）得， ，所以直 线的方程为 . 则，，所以. 令 ，得.当时，，单调递增， 当 时，，单调递减，所以当时， 取得 最大值，最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 综合提升 10.[2025·湘潭三模]设函数的两个极值点分别为， ， 则过， 两点的直线斜率为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 由题设知，故 ， ，即， . 而，同理 ，故过 ，两点的直线斜率 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2025·宁波二模]已知函数，其中 ，5 为的极小值点.若在内有最大值，则 的取值范围 是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 由题可知 ，因为 ，所以， 故当或时，，即 在，上 单调递增,当时, ,即在上单调递减， 则的极小值点为 ，极大值点为. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 因为 ， 且 ，所以只需 ，即 ，所以 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）若函数 ，则( ) A. 的极大值点为2 B. 有且仅有2个零点 C.的图象关于点 对称 D. [解析] 对于A，由题意知，令 ，解得 或，所以在上单调递增，在 上单调递 增；令，解得，所以在 上单调递减. 所以 在处取得极大值，所以 的极大值点为0,故A错误. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 对于B，因为的极小值为，极大值为 ，所 以 有且仅有2个零点，故B正确. 对于C,因为， 所以 的图象关于点 对称，故C正确. 对于D，由C可知， ，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知的斜边的长为2，若以直角边 所在直线为旋转 轴，将 旋转一周形成一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为 _ ______. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 [解析] 由题意，设的内角,,所对的边分别为,, ，则有 ，该圆锥的体积 . 设 ，则 ，当 时， ，当时，，所以在 上单调 递增，在上单调递减，所以 ,所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 14.[2025·广州二模] 已知函数 在 上的所有极值点从小到大依次记为,, , ，则 _____. [解析] 令 ， 得 或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 如图，画出的图象， 画出直线 ， , 结合图象可知，在的 两侧附近 的正负相反，可得极值点有8个，并且 与，与，与，与 互为相反数. 因为 ，所以 ，又，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.[2025·鞍山二模] 已知函数 . （1）当时，证明： ； 证明：当时， ，则 ， 当时，，当时，，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 （2）若存在极大值，且极大值大于0，求 的取值范围. 解：由题可得 . 当时，，在上单调递增，此时 无极 值；当时，若，则，若 ，则 ，所以在上单调递增，在 上单调递减， 此时的极大值为 . 令，则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 所以在上单调递增，又，所以由 ， 得，解得 . 综上，的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 能力拓展 16.[2025·北京西城区二模] 已知函数 ， 其中 . （1）若在处取得极小值，求 的值； 解：由题可得，因为在 处取 得极小值,所以，即 ，解 得 . 当时，，由二次函数的性质可得在 上单 调递减，在上单调递增，满足题意，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 （2）当时，求在区间 上的最大值； 解：当时， ，则 . 令 ，则 ， 因为 ，所以，所以 在区间 上单调递增， 又，所以，所以 在区间 上单调递增，所以在区间 上的最大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 （3）证明： 有且只有一个极值点. 证明：由题可得 . 当时，，由二次函数的单调性可得在 上 单调递减，在 上单调递增， 所以 恰有一个极值点. 当时，设 ，则 . 因为，且 ， 所以，即在 上单调递增. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 因为， ，所以存在 ，使得 . 根据在上单调递增，可知当 时， ，所以在上单调递减，当 时， ，所以在上单调递增，所以 恰有 一个极值点. 综上所述，当时， 有且只有一个极值点. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $