第1单元 02 第2讲 常用逻辑用语（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语专题，覆盖全称量词与存在量词的意义及否定、充分必要条件的判定与应用等核心考点，按“概念梳理-结论总结-命题应用”逻辑架构知识体系。通过考点表格化梳理、典型例题方法指导、高考真题与变式题分层训练，帮助学生突破量词命题否定、条件关系判断等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于融合数学思维与应用意识，如通过“量词命题否定步骤”培养逻辑推理能力，借助“充分条件与集合关系”建立直观联系。设置常识题巩固基础、常错题辨析误区、真题例析提炼方法，配合即时反馈的分层练习，能在有限时间内提升学生的命题转化与条件分析能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第2讲　常用逻辑用语 【课标要求】　1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 1.全称量词与存在量词 (1)一般地,“　　　　”“　　　　”“　　　”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“　　　　”表示.   (2)“　　　　”“　　　　”“　　　　　　”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“　　　　”表示.   (3)含有一个量词的命题的否定: 含有量词的命题 p ¬p 结论 全称量词命题 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,¬p(x) 全称量词命题的否定是　　　　　　　　　　  存在量词命题 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x) 存在量词命题的否定是　　　　　　　　　　  2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件  p是q的　　　　条件  p⇒q且q⇒/p p是q的　　　　条件  p⇒/q且q⇒p p是q的　　　　条件  p⇔q p是q的　　　　　　条件  p⇒/q且q⇒/p 常用结论 1.充分、必要条件的两个结论: (1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件; (2)若p是q的充分不必要条件,则¬q是¬p的充分不必要条件. 2.充分、必要条件与集合的关系 使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 A⫋B p是q的必要不充分条件 B⫋A p是q的充要条件 A=B 题组一　常识题 1.[教材改编] “三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的　　　　　　条件.  2.[教材改编] 命题“∃x∈Q,|x|∈N”是　　　量词命题,并且是　　　命题(填“真”或“假”),它的否定是　　　　　　　.  3.[教材改编] 已知△ABC的三边的长分别为a,b,c,且a≤b≤c,那么“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的　　　　条件.   4.[教材改编] 若“∀x∈[-1,2],x2-m≤1”为真命题,则实数m的最小值为　　　　.  题组二　常错题 5.[不对命题完全否定] 命题“奇数的立方是奇数”的否定是　　　　　　　　.   6.[忽视等号取舍] 已知A=(-∞,a],B=(-∞,3]. ①若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　;  ②若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则a的取值范围是　　　　;  ③若x∈A是x∈B的充分必要条件,则a的值为　　　　.  7.[混淆条件与结论] “ln(x+1)<0”是“x<0”的　　　　　　　条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填)  8.[忽视高次项系数] 已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+3>0,若命题p为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定及真假判断 例1 (1)命题“∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2是奇函数”的否定是 (　 ) A.∀a∈R,函数f(x)=x3-ax2是偶函数 B.∀a∈R,函数f(x)=x3-ax2不是奇函数 C.∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2是偶函数 D.∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2不是奇函数 (2)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则 (　 ) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 总结反思 (1)全称量词命题与存在量词命题的否定: ①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写; ②否定结论:对原命题的结论进行否定. (2)全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法: 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 变式题 (多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有 (　 ) A.∃x∈R,x2-x+<0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R,x2+2x+2≤0 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 角度2　由含量词命题的真假求参数范围 例2 (1)若“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”为真命题,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-3]∪[1,+∞) B.(-∞,-3)∪(1,+∞) C.[-3,1] D.(-3,1) (2)已知“∀x≥1,x3--a>0”的否定为真命题,则a的取值范围为　　　　.  总结反思 根据命题的真假求参数的一般步骤: (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 变式题 [2025·西南名校联盟联考] 已知“∃x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,2] C.(-∞,1] D. 　充分条件与必要条件的判断 例3 (1)[2025·天津卷] 设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2025·深圳二模] 在四边形ABCD中,若=+,则“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 总结反思 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断.适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断.多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 变式题 (1)[2025·人大附中月考] 在△ABC中,“cos Acos B<sin Asin B”是“△ABC为锐角三角形”的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若x,y∈R,则“x>y”的一个充分不必要条件可以是 (　 ) A.|x|>|y| B.x2>y2 C.>1 D.2x-y>2 　充分条件与必要条件的应用 例4 [2025·福建泉州一模] 设A={x|1≤2x≤4},B={x|x2≤ax},若x∈A是x∈B的充分条件,则 (　 ) A.0<a<2 B.1<a<2 C.a=2 D.a≥2 总结反思 应用充分条件、必要条件求解参数范围的方法: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解; (2)检验区间的端点值,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象. 变式题 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). (1)若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　;  (2)若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　常用逻辑用语 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)任意　所有　每一个　∀ (2)存在　有　至少有一个　∃ (3)存在量词命题　全称量词命题 3.充分　必要　充分不必要 必要不充分　充要 既不充分也不必要 【对点演练】 1.充分不必要　[解析] 由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形,但反之不成立,所以“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 2.存在　真　∀x∈Q,|x|∉N [解析] 命题“∃x∈Q,|x|∈N”含有存在量词,所以是存在量词命题,因为1∈Q,|1|∈N成立,所以该命题是真命题.存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词,并否定结论,所以“∃x∈Q,|x|∈N”的否定是“∀x∈Q,|x|∉N”. 3.充要　[解析] 当a2+b2=c2时, △ABC为直角三角形,充分性成立;当△ABC为直角三角形时,因为a≤b≤c,所以a2+b2=c2,必要性也成立.故“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件. 4.3　[解析] 因为“∀x∈[-1,2],x2-m≤1”为真命题,所以m≥x2-1对x∈[-1,2]恒成立,所以m≥3,故m的最小值为3. 5.存在一个奇数,它的立方不是奇数 [解析] 命题“奇数的立方是奇数”是省略了全称量词 “所有的”的全称量词命题,由全称量词命题的否定是存在量词命题,可得命题“奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数,它的立方不是奇数”. 6.①a<3　②a>3　③a=3 [解析] ①因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,则a<3;②因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B⫋A,则a>3;③因为x∈A是x∈B的充分必要条件,所以A=B,则a=3. 7.充分不必要　[解析] ln(x+1)<0等价于0<x+1<1,即-1<x<0.显然由-1<x<0可以推出x<0,但由x<0不能推出-1<x<0,所以“ln(x+1)<0”是“x<0”的充分不必要条件. 8.　[解析] 由已知得∃x∈R,ax2+2x+3≤0为真命题.①若a=0,则不等式为2x+3≤0,该不等式有解,满足题意;②若a<0,则显然满足题意;③若a>0,则需满足Δ=4-12a≥0,解得0<a≤.综上可知,a的取值范围是. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据含有一个量词的命题的否定的定义,可得结果;(2)利用特殊值代入,进而判断即可. (1)B　(2)B　[解析] (1)“∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2是奇函数”的否定是“∀a∈R,函数f(x)=x3-ax2不是奇函数”.故选B. (2)当x=-时,=<1,故p是假命题,则􀱑p是真命题;当x=1时,13=1,故q是真命题,则􀱑q是假命题.故选B. 变式题　AC　[解析] 对于A,该命题的否定为“∀x∈R,x2-x+≥0”,是全称量词命题,又x2-x+=≥0,故原命题的否定为真命题,故A符合要求;对于B,该命题为全称量词命题,故其否定为存在量词命题,故B不符合要求;对于C,该命题的否定为“∀x∈R,x2+2x+2>0”,是全称量词命题,又x2+2x+2=(x+1)2+1>0,故原命题的否定为真命题,故C符合要求;对于D,存在实数x=-1,使x3+1=0,故原命题为真命题,则其否定为假命题,故D不符合要求.故选AC. 例2　[思路点拨] (1)根据“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”为真命题可知,一元二次不等式对应的二次函数的图象开口向上,且与x轴有两个不同交点,利用判别式构造不等式求解即可; (2)写出命题的否定,依题意可得a≥x3-对x∈[1,+∞)有解,根据函数的单调性求出 ,x∈[1,+∞),即可得解. (1)B　(2)[-1,+∞) [解析] (1)由已知可得,“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”是真命题,令f(x)=x2+(a+1)x+1,x∈R,则存在x∈R,f(x)<0,所以只需Δ=(a+1)2-4>0,解得a<-3或a>1,故选B. (2)由题意得“∃x≥1,x3--a≤0”为真命题,所以a≥x3- 对x∈[1,+∞)有解.因为y=x3-在区间[1,+∞)上单调递增,所以a≥=-1,故a的取值范围为[-1,+∞). 变式题　A　[解析] 因为“∃x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,所以“∀x∈(0,+∞),2x2-ax+1≥0”为真命题.由2x2-ax+1≥0,x∈(0,+∞),可得ax≤2x2+1,因为x>0,所以不等式两边同时除以x,可得a≤2x+对x∈(0,+∞)恒成立.因为x>0,所以2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时等号成立.因为a≤2x+对x∈(0,+∞)恒成立,所以a≤2,所以实数a的取值范围是(-∞,2].故选A. 例3　[思路点拨] (1)通过判断是否能相互推出,结合充分条件与必要条件的定义可得结果;(2)根据=+判断出四边形ABCD的形状,结合充分条件、必要条件的定义判断即可. (1)A　(2)B　[解析] (1)x=0⇒sin 2x=sin 0=0,故“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;当x=π时, sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0⇒/ x=0,故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A. (2)在四边形ABCD中,由=+,得四边形ABCD为平行四边形.若⊥,则平行四边形ABCD为菱形,但不一定为正方形;若四边形ABCD是正方形,则必有AC⊥BD,即⊥.故“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的必要不充分条件.故选B. 变式题　(1)B　(2)D　[解析] (1)在△ABC中,由cos Acos B<sin Asin B,可得cos Acos B- sin Asin B<0,即cos(A+B)<0,因此A+B是钝角,C是锐角,没有条件可判断A,B都是锐角,故不能确定△ABC为锐角三角形;若△ABC为锐角三角形,则C是锐角,A+B是钝角,所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B<0,即cos Acos B<sin Asin B成立.所以“cos Acos B< sin Asin B”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.故选B. (2)|x|>|y|等价于x2>y2,推不出x>y,排除A,B;由>1,可得>0,解得x>y>0或x<y<0,所以>1是x>y的既不充分也不必要条件,排除C;由2x-y>2,得x-y>1,即x>y+1,x>y+1可以推出x>y,反之推不出,故D正确.故选D. 例4　[思路点拨] 根据充分条件判断集合A,B的包含关系即可. D　[解析] 由题意得A=[0,2],因为x∈A是x∈B的充分条件,所以A⊆B,即“∀x∈[0,2],x2-ax≤0”是真命题,易知二次函数y=x2-ax=x(x-a)的图象开口向上,与x轴交于点(0,0),(a,0),所以a≥2.故选D. 变式题　(1)(0,3]　(2)[9,+∞) [解析] (1)因为p是q的必要不充分条件,所以或解得m≤3,又m>0,所以实数m的取值范围为(0,3]. (2)因为p是q的充分不必要条件,所以或解得m≥9,故实数m的取值范围为[9,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $