第2单元 06 增分微练2 破解抽象函数的方法（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦抽象函数性质与方程求解，通过14道梯度题构建从基础到综合的训练体系，强化抽象思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|1-4题|函数方程识别、赋值法求函数值、奇偶性判断|从具体函数模型（如指数函数）到抽象性质推导，形成概念生成链| |综合应用|5-12题|复杂函数方程、递推关系、数论结合|整合奇偶性、周期性、对称性，构建性质应用逻辑网络| |模型证明|13-14题|函数最值、三角函数模型证明|从方程到具体模型，体现“抽象-具象-抽象”的思维闭环|

增分微练2　破解抽象函数的方法 1.下列函数中,满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)= B.f(x)=ln x C.f(x)=2x2 D.f(x)=-x3 2.已知函数f(x)满足f(x)+f=1+x,则f(2)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B. C. D. 3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法错误的是 (　 ) A.f(x)的图象关于点(1,0)对称 B.f(x+2)=f(x) C.f(2-x)=f(x-1) D.f(x-2)=f(x) 4.若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+a(a为非零常数),则下列说法正确的是 (　 ) A.y=f(x)为偶函数 B.y=f(x)为奇函数 C.y=f(x)+a为偶函数 D.y=f(x)+a为奇函数 5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=x3f(x∈(-∞,0)∪(0,+∞)),f(x)+f(y)+2xy=f(x+y),则f(3)的值是 (　 ) A.9 B.10 C.11 D.12 6.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2,f(0)<2,f(0)≠f(1),且f(x)>0,则 (　 ) A.f(0)=1 B.f(-1)=2 C.f(-x)=2f(x) D.f(-x)=f(x) 7.设函数f(t)在[0,1]上有定义,且满足以下条件:①f(t)+f(1-t)=1;②f(t)=2f.则f=　　　　.  8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),值域为R,且f(xy)+f=2f(x),f(2)=,f(1)=0,则f(2k)= (　 ) A.n+1 B.(n+1) C.n(n+1) D.n(n+1) 9.[2026·浙江Z20联盟一联] 已知函数f(x)的定义域为R,4f(x-1)-3f(x-2)≥f(x)≥3f(x-1)-2f(x-2),且f(1)=1,f(2)=2,则下列结论一定正确的是 (　 ) A.f(5)<10 B.f(5)>50 C.f(10)<100 D.f(10)>500 10.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,若f[f(x)+yz]=x+f(y)f(z),则 (　 ) A.f(1)=0 B.f[f(x)]=x C.f(xy)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)f(y) 11.(多选题)[2026·杭州一模] 已知函数y=f(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数,例如f(1)=1,f(4)=3,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(6)=4 B.f(2025)=20 C.<1 D.设bn=()n,则< 12.(多选题)[2025·烟台三模] 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意x,y∈R,都有f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),且f(1)=1,则 (　 ) A.f(x)为偶函数 B.f'(0)+f'(2)=0 C.f'(x)是周期为4的周期函数 D.[f(x)]2+[f(1-x)]2=1 13.函数f(x)满足对任意n∈N*,都有f(n)≥5n,若f(x+y)=f(x)+f(y)+10xy,则f(i)的最小值是　　　　.  14.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1. (1)若f(x)=Acos ωx(0<ω<π),求A与ω; (2)证明:函数f(x)是偶函数; (3)证明:函数f(x)是周期函数. 学科网（北京）股份有限公司 $草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 增分微练2破解抽象函数的方法 1A[解n]对于A若x则尤x)九)X( xx)式x),A正确；对于B,若fx=lnx,则xx)=Hn(xx=lnx+n x片x),B不正确，对于C,若)2x2,则x)2Xx#x4xx,C不正 确：对于D,若)一x,则r)-xxx1x)=xix2,D不正确故选A. 2D懈折因为对才11-x所以令2可得2-3，令号可得份 1-X 02两式相加可得/22号令=1，可得0则2号即 号放选D 3.C[解析]对于A,由x)十2x)=0,得2-x)二x),则函数x)的图象关于点(1,0) 对称，排除A;对于B,由于x)是定义在R上的奇函数，因此孔x)=x),又x十2- x)0,所以2-x)=x)式-x),用-x替换x可得x+2)=x),排除B,对于D,在 +2)孔w中，用x-2替换x可得x-2)=f孔x,排除D.故选C. 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.D[解析].对任意1,3∈R都有x1+x)孔)十x2)十a,∴.令x1x0,得 0)式0)+0)+a,∴0)=-a,令x1x,x二x,得0)=x廾-x)+a,∴.x)+F-x)-=[-x) +,则y=x)十a为奇函数.故选D. 5.D[解析]在x)+y)+2+)中，令-0，可得0)=0，令x=1,y=1,则 如200，在中，令1.可得-0，所以0户在90 +29=x+y中，令x==1,则2)=21)十2=6，令x=1y=2,则 3)式1)+2)+4=2+6+4=12.故选D. 6.ABD[解析]定义在R上的函数x)满足x=x)w))汁2，令x==0,得 0)[0)]P-20)+2,又0)2，所以0)=1，A正确，令x=1,得1)=[1)]P-21)+2,又 0)1),所以1)=2，令xy=1,得1)=[-1)]2-2-1)2，即[-1)]=2-1)，又x)0,所 以尺-1)>0，则-1)=2，B正确，令=1，得-x)=-1x)-1)x)+2,即-x)=2x)-2- w)十2，因此-x)孔)，C错误，D正确.故选ABD 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.7[解析]在02才t中，令0，得0)-20)，所以0)-0，在计1-)-1中，令 8 3 ®得001所以01：在05中，令1得03兮}所以兮号在 3 3 02所中，令1，得121，所以j1=1:在0-2中，令卡1，得有1=21 333994399 1,所以升1=1在0t1-01中，令=1，得1+f26=1,所以f26=7 27 278 272727 278 8.D[解析]因为汁力x-2,所以)x)xfx,所以292*)与2*) y y f2*2)1202k∈N),所以222*H2*)f2*+t2)- eN,所以宫f(2)=号+1++…+号×n=nn+1)故选 k=1 22 24 D. 9.D[解析]设d=n)fn-1),22,n∈N,因为f2)1)=1,所以d=1.由x)≥3fx-1) 2x-2)得x)fx1)≥2[fx1)fx-2)],则d≥2d.1,≥3，因此数列{d}从第二项起，后一 项不小于前一项的2倍，故d≥d2m2,22,所以10)=1)十d+d+..+d≥1+2+2+. +28=512>500,5)=1)+d+d+d4+d521+2+21+2+2=16.由x4x-1)-3x-2)得 w)x1)上3[x-1)x-2)],则d≤3d1,心3，因此数列{d}从第二项起，后一项不大于 享学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 前一项的3倍，故d4≤d3m2,心2，所以5)=1)十d+d+d4+d≤1+3+3+32+33=41<50， 即16≤5)上41，故A,B,C错误，D正确.故选D. 10.BC[解析]令x=y-0,=1,则0)]0)1)，令xy=20,则 几0)]=00)，∴0)0)0)1)，∴0)=0或1)=求0).令x=1,=0,则 几1)]=1+0)术0)，若1)0)，则0)]=1+0)0)≠0)0)，矛盾，.0)=0，则 1)0)=0,A选项错误.令y=2-0,则)]=x+0)0)x,B选项正确.令x=0,则 几0)+z]0+y)术)，即z广孔y),∴xy)x),C选项正确.在xy)x)中， 令x=1,则1)1)1)，得1)=1，令2=1，则几x)+=+y1)=+)=] +y),∴+y)x)汁)，D选项错误.故选BC. 11.ACD[解析]对于A,6的正因数为1,2,3,6，共4个，所以6)=4，故A正确；对于 B,2025=34×52,它的正因数形如3×5，其中i∈{0,1,2,3,4}/∈{0,1,2}，所以不同的正 因数有5×3=15（个），即2025)=15，故B不正确；对于C,因为6-(2×3)-2×3*，所以 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6(+1)2,所以 三立高中…应1. 20251 12.BCD[解析]令x0,则)-)=21)y)=2y),即y十-)=0，所以x)是奇函 数，故A错误，由x)为R上的奇函数可得0)=0，令x=1,则1+)1-y)=20)y)=0, 则2-x)x)=0,故f2-x)f(x)-0,即f2-x计fx)=0,因此f(2)十f(0)0,故B正确；由 x十-x)=0,得fx)f(-x)0,又f(2-x)+f(x)=0,所以f2+x)=-f(-x)=-fx),故fx+4)=- fx+2)=fx),故fx)是周期为4的周期函数，故C正确，令x=1-y,则1)1- 2y=2[y)]2,即1)1-2x)2[x]2,令=1-x,则1)2x-1)=2[1-x)]2,则 2[]+2[1-x]=21)1-2x)2x-1)=21)=2,故[]+[1-x】'-1,故D正确.故选 BCD. 13.1925[解析]因为x+)x升f汁10y,所以+)-5(+)'=x)-5x2+f0y)-5y 设gxx)-5x,那么gx+y)gx十gy),因此 g1m)=g(-1)+g(1)斤g0-2)+g(1)+g(1)广g(1n-2)+2g(1)=..=g(1)+(1n-1)g(1)=7g(1)=[1)片 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5],因此m)=5n2+[1)-5]心5n,取=1，则1)≥5，所以 10 10 10 f()=5名+[f(1)小51i25Σ产=1925. 14.证明(1)方法一：由题知x+汁x-y)x),令x=1,0,可得21)=10)， 因为1)=1，所以0)-2. 由0)=2，得A=2 由-1，得2cos0=1,则os0号因为00元所以w号 33 y70所以)2cm学满足题意，故42a号 方法二：因为人x)=Acos0x(0<0<),所以x+)十x-y)=Acos w(x+y)+Acos w(x y)4(cos oxcos oy-sin oxsin oy)+A(cos oxcos oytsin oxsin oy)-24cos @xcos ov,fxAy Acos0 xcos @y,.又+y汁x-y)xy),所以2A=A2,解得A-0或A=2.当A-0时， 1)=0,与1)=1矛盾，不符合题意，所以A=2. 由)2co3w1,且00元得0号所以九-2co号x即420号 (2)证明：令x=1,=0,则1)十1)=贰1)0)，即1+1=0)，所以0)=2，令x-0,可得y)+- )=2y), 即)， 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又x的定义域为R,关于原点对称，所以函数)为偶函数 (3)证明：令y=1,得+1)十x-1)=x1)式x, 则+2)十fx)=+1),两式相加得+2)=x-1),所以x1)=-x-4),可得 +2)=x4),则x)=x+6), 所以函数x)是周期为6的周期函数：