2.2 基本不等式（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过A/B/C组分层设计，构建从概念理解到高考应用的完整知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|基础概念与单一应用|以选择填空为主，如对基本不等式的理解、比较大小等基础题型| |B组|综合应用与变式训练|增加多选与中档解答题，如条件等式求最值、实际应用问题| |C组|创新题型与深度探究|引入新定义（权方和不等式）、开放题，培养推理与创新意识| |拓展|高考真题与考点对接|直接选用高考真题，如2026天津卷最小值问题，衔接升学需求|

分层作业 2.1 等式性质与不等式性质 参考答案 对基本不等式的理解题型01 1．D 2．ACD 利用基本不等式比较大小题型02 3．A 4.C 5．A 6. A 利用基本不等式求和的最小值题型03 7． A 8．C 9.BCD 10.ABD 11. 12. 21 利用基本不等式求积的最大值题型04 13．B 14.B 二次或二次（或一次）商式的最值题型05 15． 16. 17. 4 利基本不等式“1”的妙用求最值题型06 18.C 19．D 20. B 21.B 22.C 23.A 24. 条件等式求最值题型07 25. A 26.A 27.AC 28. 基本不等式恒成立问题题型08 29.C 30．C 31. 32. 33. 利用基本不等式证明不等式题型09 34.AC 35．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 36.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 37. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为， 当且仅当时取等号，所以； （2）由，，所以． 所以， 当且仅当即，结合可得时取等号，即． 基本不等式的实际应用题型10 38.C 39.C 40.； 41.【答案】(1)；(2)216000元. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 42.【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小；(2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大；(3)． 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 1． D 2．A 3．ACD 4．D 5．C 6．D 7．A 8.C 9.B 10.ACD 11.ACD 12.ABD 13.ABD 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.【答案】(1)，；(2)，59000元 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 22.【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 23.【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低；(2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. ． 1． C 2．ABD 3． ACD 4. 【答案】(1)证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立. (2) ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. (3)这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是. 5.【答案】(1)4；(2)；(3)，，证明见解析 【详解】（1）当，时， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. （2）当时，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （3）判断 证明：当时，成立. 当时， 所以 因为（），所以等号不成立，所以 综上所述，. 6.【答案】(1)9；(2)证明见解析；(3)时，M取得最小值 【详解】（1）∵， ∴. 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为9； （2）， 又， 当且仅当时等号成立 所以， 所以， 当且仅当且时，等号成立； （3）记，， 构造， 由，解得， 因为，所以，，， 所以. 取等号时，，解得，即， 所以时，M取得最小值. 7.【答案】(1)（答案不唯一，满足均可）；(2)见解析；（3）见解析 【详解】（1）因为， 所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）． (2)设2元“完美集”为，其中，则， 由得，， 因为，所以． (3)若为2元“完美集”，x，，且， 则， 由x，得，或， 即或这与矛盾， 故不存在满足题意的2元“完美集”． 1.B 2．C 3. BC 4.ABD 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 基本不等式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 对基本不等式的理解 题型02 利用基本不等式比较大小 题型03 利用基本不等式求和的最小值（重点） 题型04 利用基本不等式求积的最大值（重点） 题型05 二次或二次（或一次）商式的最值 题型06 基本不等式“1”的妙用求最值（易错） 题型07 条件等式求最值（重点） 题型08 基本不等式恒成立问题（难点） 题型09 利用基本不等式证明不等式 题型10 基本不等式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对基本不等式的理解题型01 1．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 2．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 利用基本不等式比较大小题型02 3．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 4．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 利用基本不等式求和的最小值题型03 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 10．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 11．（25-26高一上·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 12．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 利用基本不等式求积的最大值题型04 13．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二次或二次（或一次）商式的最值题型05 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是________. 16．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 17．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 利基本不等式“1”的妙用求最值题型06 18．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 19．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 21．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 22．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 23.（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 24．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 条件等式求最值题型07 25．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 26．（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（多选）（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 28．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 基本不等式恒成立问题题型08 29．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 31．（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 32．（25-26高一上·广西南宁·期中）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 33．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 利用基本不等式证明不等式题型09 34．（多选）（25-26高一上·安徽·阶段检测）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 36．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 37．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）（1）已知.求证：； （2）已知，若.求证：. (请注意要呈现对等号是否成立的证明.) 基本不等式的实际应用题型10 38．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 39．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 40．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 41．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 42．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 3．（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 5．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 6．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 7．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/．设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 12．（25-26高一下·四川成都·期中）已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 13．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为5 14．已知，，，则的最小值为____． 15．已知，且，则的最小值为_____________． 16．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 17．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 18．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 19．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 20．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 21．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 22．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 23．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 1．【新定义问题】（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 2．【直观想象】（多选）（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 3．【新定义问题】（多选）（25-26高一上·湖北·期末）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 4．【数学运算】（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 5．【新定义问题】（25-26高一上·重庆·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，，求的最小值； (2)若，求的最大值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 6．【开放题】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）下列三个题，你能举一反三，灵活应用吗？ (1)正数a，b满足，求的最小值； (2)若正数a，b，x，y满足，求证： (3)求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 7．【新定义问题】（24-25高一上·福建福州·期中）若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 6．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 7．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 8．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 9．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 10．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 基本不等式 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 对基本不等式的理解 题型02 利用基本不等式比较大小 题型03 利用基本不等式求和的最小值（重点） 题型04 利用基本不等式求积的最大值（重点） 题型05 二次或二次（或一次）商式的最值 题型06 基本不等式“1”的妙用求最值（易错） 题型07 条件等式求最值（重点） 题型08 基本不等式恒成立问题（难点） 题型09 利用基本不等式证明不等式 题型10 基本不等式的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对基本不等式的理解题型01 1．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【详解】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 2．（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 利用基本不等式比较大小题型02 3．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 4．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则. 故选：C. 5．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A 6．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 利用基本不等式求和的最小值题型03 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 8．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 9．（多选）（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 【答案】BCD 【详解】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 10．（多选）（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 11．（25-26高一上·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为实数、满足， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是. 12．（25-26高一上·浙江温州·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】21 【详解】因为正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得， 所以的最小值为21. 利用基本不等式求积的最大值题型04 13．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 14．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 二次或二次（或一次）商式的最值题型05 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是________. 【答案】 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 16．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】 【详解】，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 17．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 利基本不等式“1”的妙用求最值题型06 18．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】，且， 则， 当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 19．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 20．（25-26高一上·贵州毕节·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由正数，且，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 故选：B 21．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 22．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时联立可得， 故选：C. 23.（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 24．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 条件等式求最值题型07 25．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 26．（25-26高一下·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：由已知等式得出，结合基本不等式可得出的最小值； 解法二：由已知等式得出，可得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 27．（多选）（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 【答案】AC 【详解】选项A：由基本不等式得，代入已知， 可得，移项得，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：由，结合得； 当趋近于0时，趋近于，趋近于2，小于4，故不成立，B错误； 选项C：，结合得， 又，故，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，取代入已知等式得， 解得，此时，故D错误. 28．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 基本不等式恒成立问题题型08 29．（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 30．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式恒成立， 即， 因，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故． 故选：C． 31．（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 32．（25-26高一上·广西南宁·期中）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【详解】当时，表达式，当且仅当时取等号． 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是． 33．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围________． 【答案】 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 利用基本不等式证明不等式题型09 34．（多选）（25-26高一上·安徽·阶段检测）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. 35．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 36．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 37．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）（1）已知.求证：； （2）已知，若.求证：. (请注意要呈现对等号是否成立的证明.) 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为， 当且仅当时取等号，所以； （2）由，，所以． 所以， 当且仅当即，结合可得时取等号，即． 基本不等式的实际应用题型10 38．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 39．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】C 【详解】由题意设，仓库到车站的距离x＞0， 当x＝2，，由于，即， 所以两项费用之和为， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km. 40．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 ； 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 41．（25-26高一上·陕西延安·期中）某企业建造一间长方体库房（如图所示），地面面积为，库房墙高为6m，库房四面墙每平方米的造价均为600元，库房屋顶的造价为72000元.若不计库房地面的费用，该库房的门忽略不计，设库房地面的一条边的长度为，库房总造价为元. (1)试写出与的等量关系式； (2)求该库房的最低总造价. 【答案】(1)；(2)216000元. 【详解】（1）根据题意可得库房左侧面和右侧面的墙面面积之和为， 库房前面和后面的墙面面积之和为， 所以. （2）由（1）得， 当且仅当，即时，等号成立. 故该库房的最低总造价为216000元. 42．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小；(2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大；(3)． 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 2．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 3．（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：，所以，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：，当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 4．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 5．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 6．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 7．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/．设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 因为两个相同的矩形和构成的面积为， 可得，解得， 又因为，可得， 则 元， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，S取得最小值，且元． 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 9．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 10．（多选）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 11．（多选）（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 12．（25-26高一下·四川成都·期中）已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】ABD 【详解】选项A：由，根据均值不等式，得，平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A错误. 选项B：由，且，得. ，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C：由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D：由，得， 则， 因此最小值不可能为，D错误. 13．（多选）（25-26高一下·山东德州·阶段检测）设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为5 【答案】ABD 【详解】对于A：， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于B：， 由A知的最大值为， 因此的最小值为， 当且仅当时等号成立， 即最小值为，故B正确； 对于C：设，平方得： ， 因为，因此，即， 但等号成立条件为，结合解得， 不满足是正实数，等号取不到，因此不存在最大值，故C错误； 对于D：将代入，可得， 因， 故， 当且仅当，即时等号成立，此时有最小值为，故D正确. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，核心是掌握基本不等式及其推论，常用配凑变形、平方转化、1的代换技巧，使用时必须验证等号成立条件是否满足给定范围. 14．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 15．已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 16．（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【详解】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 17．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为，所以. 因为为正实数，所以， 所以. 所以 当且仅当即时等号成立. 18．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：， 即， 故，当且仅当时等号成立， 此时， 当，即时，取得最小值． 19．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 20．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 21．（25-26高一下·河南濮阳·开学考试）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形和构成的十字形区域总面积为.中心正方形区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100元；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为105元；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40元.设总造价为（单位：元），（单位：m）. (1)设长为（单位：m），用表示，并求出的取值范围； (2)取何值时可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)，；(2)，59000元 【详解】（1）因为十字形区域总面积为，所以，解得. 因为，，所以，解得. 所以，. （2）中心正方形面积为，造价为； 四个矩形的总面积为， 造价为； 四个三角形的总面积为， 造价为； 总造价为 ， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号. 故当的长为时，总造价最低，为59000元. 22．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 23．（24-25高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低；(2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 1．【新定义问题】（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 2．【直观想象】（多选）（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 3．【新定义问题】（多选）（25-26高一上·湖北·期末）定义运算（其中），则下列结论正确的是（    ） A． B．对任意 C．对任意，，都有 D．对任意，都有 【答案】ACD 【详解】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 4．【数学运算】（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 【答案】(1)证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立. (2) ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. (3)这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是. 5．【新定义问题】（25-26高一上·重庆·阶段检测）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，，求的最小值； (2)若，求的最大值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】(1)4；(2)；(3)，，证明见解析 【详解】（1）当，时， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. （2）当时，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （3）判断 证明：当时，成立. 当时， 所以 因为（），所以等号不成立，所以 综上所述，. 6．【开放题】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）下列三个题，你能举一反三，灵活应用吗？ (1)正数a，b满足，求的最小值； (2)若正数a，b，x，y满足，求证： (3)求的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【答案】(1)9；(2)证明见解析；(3)时，M取得最小值 【详解】（1）∵， ∴. 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为9； （2）， 又， 当且仅当时等号成立 所以， 所以， 当且仅当且时，等号成立； （3）记，， 构造， 由，解得， 因为，所以，，， 所以. 取等号时，，解得，即， 所以时，M取得最小值. 7．【新定义问题】（24-25高一上·福建福州·期中）若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为. (1)请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一，满足均可）；(2)见解析；（3）见解析 【详解】（1）因为， 所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）． (2)设2元“完美集”为，其中，则， 由得，， 因为，所以． (3)若为2元“完美集”，x，，且， 则， 由x，得，或， 即或这与矛盾， 故不存在满足题意的2元“完美集”． 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 4．（多选）（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 5．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 6．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 7．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 8．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 9．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 10．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $