2.2基本不等式 （第2课时）（题型专练）数学人教A版2019必修第一册

2.2.1基本不等式 （第2课时） 题型一：条件等式求最值 1.若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】条件等式求最值 【分析】由可得，由基本不等式可得，即，解不等式即可求解. 【详解】由可得， 因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，解得：， 所以， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为. 故选：D. 2.已知，则的最小值是（    ） A．14 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】根据给定条件，用含x的式子表示，再运用基本不等式求解作答. 【详解】因为，则， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以当时，取最小值14. 故选：A 3.（多选题）已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则 a+b的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BC 【知识点】条件等式求最值 【分析】利用基本不等式构造关于的一元二次不等式，即可求解. 【详解】解：（当且仅当时，取等号）， 即，解得：，又a+b=2时，ab=0，不合题意， 故选：BC 4.（多选题）若，，且，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式分别求最值即可. 【详解】，，， 当且仅当时，等号成立，A正确，C错误； 又，当且仅当时，等号成立，B正确，D错误． 故选：AB． 题型二：由基本不等式证明不等关系 1.已知实数,，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充分条件、由基本不等式证明不等关系 【解析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】 且 ， ， 等号成立的条件是， 又 ， ， 等号成立的条件是, ， 反过来，当时，此时，但 ，不成立， “”是“”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型. 2.（多选题）若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】利用判断A；利用判断B；利用判断C；利用判断D； 【详解】因为，，， 对于A，，则，即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，所以，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，结合，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查基本不等式的应用，完全平方差公式及三次公式的应用是解题的关键，考查了学生的转化求解问题的能力，属于中档题. 3.（多选题）若，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【解析】利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】解：对于A，，所以A正确； 对于B、C，虽然，只能说明同号，若都小于0时，则不等式不成立，所以B，C错误； 对于D，，； 故选：AD. 【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，利用不等式求最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等. 4.（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】因为正实数,满足,可用“乘1法则”再根据基本不等式判断判断每个选项的正误. 【详解】解:,,且,,,A错误; , ,B错误;, ,C正确;, ,D正确. 故选CD 【点睛】利用基本不等式的性质判断即可.需要注意“一正二定三相等”. 题型三 基本不等式求和的最小值 1.的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立. 所以当时，函数有最小值4. 故选：C. 2.已知，则当取得最小值时，的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【解析】根据基本不等式的取等条件可求得结果. 【详解】（当且仅当，即时取等号） 当取得最小值时， 故选： 【点睛】本题考查基本不等式取等条件的确定问题，关键是明确可利用基本不等式求解函数最值. 3.已知，，，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用代换1法求最值即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 4.已知，均为正实数，且，则使得取得最小值的，的值分别是（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，均为正实数，且，结合“1”的应用，原式可变形为，再利用均值不等式求最小值即可. 【详解】解：因为，均为正实数，且，所以，当且仅当时，等号成立，解得，. 即使得取得最小值的，的值分别是，. 故选B. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最小值，重点考查了对数据的分析、处理能力，属中档题. 题型四：由基本不等式比较大小 1.已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 【答案】A 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ，当且仅当取等号， 而， 故选：A． 2.（多选题）若，为正数，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BCD 【知识点】由基本不等式比较大小、由基本不等式证明不等关系 【解析】利用基本不等式，逐一检验即可得解. 【详解】解：对A，因为，所以，当时取等号，A错误； 对B，，当时取等号，B正确； 对C，，则，，当时取等号，C正确； 对D，， 当时取等号，即，D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题. 3.（多选题）下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】对式子的结构适当变形，结合“正”、“定”、“等”即可作出判断. 【详解】A项，当x<0时，，∴A错误； B项，，∴B正确； C项，，其中，满足基本不等式的要求，∴C正确； D项，变形为，当x取正数时，不成立，∴D错误. 故选：AD 4.（多选题）若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】，当且仅当时等号成立， 则或， 则， 即AB错误，D正确. 对于C选项，，C选项正确. 故选：CD 题型一：基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 1.已知，求函数的最小值； 【答案】9 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】依题意将表达式变形整理，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得， 当且仅当时，即时等号成立， 故的最小值为9. 2.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（    ） A．20 B．25 C．28 D．30 【答案】D 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据题意得到总运费与总存储费用之和的表达式，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然， 则，当且仅当时取等号， 即时取等号， 故选：D 3.小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．无法判断 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设此种商品的价格分别为，第一种方案每次购买这种物品数量为；第二种方案每次购买这种物品的钱数为．则第一种方案的平均价格为；第二种方案的平均价格为，利用基本不等式的性质即可得到答案. 【详解】设两次购买的单价分别为，方案一平均单价为， 方案二平均单价为， 由均值不等式得. 故第二种购物方式比较经济. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 4.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【解析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长. 【详解】设，则，所以 ， 当且仅当，即时，取“”号， 所以当时，最小． 故选:B． 【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 题型二： 基本不等式的内容及辨析 1.给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使成立的条件有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ACD 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【解析】由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”，能使成立，则需，同号，再逐一判断即可得解. 【详解】解由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”， 即当，均为正数时， 可得， 此时只需，同号即可， 所以①③④均满足要求. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2.若，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质证明不等式、基本不等式的内容及辨析 【分析】利用不等式的性质判断选项ABD；根据均值不等式判断选项C； 【详解】因为，利用不等式的性质知，，，故ABD正确； 因为，利用基本不等式知，故C错误. 故选：C 3.（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式的内容及辨析 【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确. 【详解】，， 根据图形，在中，由射影定理得，所以， 由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确； 在中，同理得，所以， 又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确； 故选：AC. 4.（多选题）给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使成立的条件有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ACD 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【解析】由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”，能使成立，则需，同号，再逐一判断即可得解. 【详解】解由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”， 即当，均为正数时， 可得， 此时只需，同号即可， 所以①③④均满足要求. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 题型三 基本（均值）不等式的应用 1.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金. 故选：A. 2.某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设米，则可表示出种植花卉区域的面积，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】设米,， 则种植花卉区域的面积． 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则，即当米，米时， 种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米, 故选：C 3.设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为（    ） A．P<Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】由P＝m＋＝m－1＋＋1，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为m>1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥， 当且仅当m－1＝，即m＝3时等号成立， 故选：C. 【点睛】本题考查了基本不等式比较两式的大小，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 4.（多选题）某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取得最小值 B．当时，取得最小值 C． D． 【答案】AC 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据题意列出总存储费用之和的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项 【详解】一年购买某种货物吨，每次购买吨，则需要购买次，又运费是万元/次，一年的总存储费用为万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和万元. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值，. 故选：AC. 1. 小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．无法判断 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设此种商品的价格分别为，第一种方案每次购买这种物品数量为；第二种方案每次购买这种物品的钱数为．则第一种方案的平均价格为；第二种方案的平均价格为，利用基本不等式的性质即可得到答案. 【详解】设两次购买的单价分别为，方案一平均单价为， 方案二平均单价为， 由均值不等式得. 故第二种购物方式比较经济. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用基本不等式的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 2.（2008·浙江·高考真题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【解析】范围可直接由基本不等式得到，可先将平方再利用基本不等式关系． 【详解】由，，且， ，当且仅当时取等号 而，当且仅当时取等号 . 故选：C． 【点睛】该题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题目，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方． 3.（多选题）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用乘“1”法即可求出的最小值，利用基本不等式构造一元二次不等式不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时取等号，故B正确，A错误； ，所以，即， 当且仅当，即时取等号，故C错误，D正确； 故选：BD. 4.已知正数满足，则的最大值是 【答案】 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】把变形，再借助“1的妙用”进行推理计算即可作答. 【详解】， 由，得， 因此 ， 当且仅当时取等号，即，亦即时取等号， 于是得， 所以当时，取得最大值为. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.1基本不等式 （第2课时） 题型一：条件等式求最值 1.若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.已知，则的最小值是（    ） A．14 B． C．8 D． 3.（多选题）已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则 a+b的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.（多选题）若，，且，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型二：由基本不等式证明不等关系 1.已知实数,，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（多选题）若，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）若，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）若正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 基本不等式求和的最小值 1.的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知，则当取得最小值时，的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知，，，则的最小值为（    ） A． B．12 C． D．6 4.已知，均为正实数，且，则使得取得最小值的，的值分别是（    ）. A．， B．， C．， D．， 题型四：由基本不等式比较大小 1.已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（    ） A．M>N B．M＝N C．M<N D．不确定 2.（多选题）若，为正数，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 3.（多选题）下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型一：基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 1.已知，求函数的最小值； 2.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（    ） A．20 B．25 C．28 D．30 3.小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．无法判断 4.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（    ） A． B． C． D． 题型二： 基本不等式的内容及辨析 1.给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使成立的条件有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2.若，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使成立的条件有（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型三 基本（均值）不等式的应用 1.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 2.某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（    ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 3.设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为（    ） A．P<Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q 4.（多选题）某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（    ） A．当时，取得最小值 B．当时，取得最小值 C． D． 1. 小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（    ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．无法判断 2.（2008·浙江·高考真题）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 4.已知正数满足，则的最大值是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$