第七课时 基本不等式 同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修一 · 课时同步训练

第七课时  基本不等式

 

姓名：______________   班级：______________   得分：______________   用时：______ 分钟

【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。

核心考点清单

考点一  重要不等式

对于任意实数 a, b，有 a² ＋ b² ≥ 2ab，当且仅当 a ＝ b 时等号成立。这个不等式称为重要不等式。证明：a² ＋ b² － 2ab ＝ (a － b)² ≥ 0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立。重要不等式是基本不等式的基础，对任意实数 a, b 都成立，不需要正数条件。它表明两个实数的平方和大于或等于它们乘积的两倍，是数学中最基本的不等式之一。

考点二  基本不等式

当 a ＞ 0, b ＞ 0 时，√(ab) ≤ (a ＋ b)/2，当且仅当 a ＝ b 时等号成立。这个不等式称为基本不等式，又称均值不等式。其中 (a ＋ b)/2 称为 a, b 的算术平均数，√(ab) 称为 a, b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。基本不等式的常用变形形式有：① a ＋ b ≥ 2√(ab)；② ab ≤ [(a ＋ b)/2]²；③ (a ＋ b)² ≥ 4ab。使用基本不等式时必须注意 a, b 均为正数这一前提条件。

考点三  利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值是基本不等式的核心应用，主要包括两种类型：①积定和最小——若两个正数 a, b 的积 ab 为定值 P，则 a ＋ b ≥ 2√P，当且仅当 a ＝ b 时，(a ＋ b)min ＝ 2√P；②和定积最大——若两个正数 a, b 的和 a ＋ b 为定值 S，则 ab ≤ S²/4，当且仅当 a ＝ b 时，(ab)max ＝ S²/4。使用基本不等式求最值必须满足三个条件（简称"一正、二定、三等"）：①正——各项均为正数；②定——求积的最大值时和必须为定值，求和的最小值时积必须为定值；③等——等号要能取到，即 a ＝ b 有解。

考点四  基本不等式的使用技巧

当题目不直接满足"一正、二定、三等"条件时，需要通过变形构造条件。常用技巧有：①配凑法——通过加减项或乘除项配凑出定值，如求 y ＝ x ＋ 1/x (x ＞ 0) 的最小值，直接使用基本不等式得 y ≥ 2；②乘1法——利用"1"的代换构造定值，如已知 a ＋ b ＝ 1，求 1/a ＋ 1/b 的最小值，可化

为 (a ＋ b)(1/a ＋ 1/b) ＝ 2 ＋ b/a ＋ a/b ≥ 4；③分离常数法——将分式分离出常数部分，再对剩余部分使用基本不等式。使用技巧的关键是灵活变形，构造出满足基本不等式使用条件的结构。

考点五  基本不等式的实际应用

基本不等式在实际问题中有广泛应用，特别是求最值问题。常见应用包括：①几何问题——求面积最大、周长最小、体积最大等；②经济问题——求成本最低、利润最高等；③物理问题——求时间最短、距离最短等。解题步骤：①设未知量，根据题意建立函数关系；②分析函数结构，判断能否使用基本不等式；③验证"一正、二定、三等"条件是否满足；④求出最值并验证等号成立条件；⑤结合实际意义确定最终答案。需要注意实际问题中变量的取值范围，以及等号是否能取到。

  知识结构思维导图

图1  基本不等式知识结构图

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若 a ＞ 0, b ＞ 0，则下列不等式中成立的是（    ）

A．(

B．(

a＋b)/2 ＜ √(ab)	a＋b)/2 ≥ √(ab)
C．(a＋b)/2 ＞ √(ab)	D．(a＋b)/2 ≤ √(ab)

2．已知 x ＞ 0，则 x ＋ 4/x 的最小值为（    ）

A．2	B．3
C．4	D．5

3．已知 a ＞ 0, b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 4，则 ab 的最大值为（    ）