第七课时 基本不等式 同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学基本不等式同步练以“概念理解-技巧应用-综合拓展”三级分层，覆盖5大核心考点，适配新授课知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|重要不等式、基本不等式定义及直接求最值|选择1-5、填空9-10为概念辨析与简单运算，如选择1考查基本不等式形式，夯实数学抽象基础| |进阶层|配凑法、乘1法等技巧应用|选择6-8、填空11涉及“和定积最大”“积定和最小”条件转化，如填空11用分离常数法，提升运算能力| |拓展层|综合证明与实际问题应用|填空12、解答13-15需构建不等式模型，如解答15结合“乘1法”求最值，培养逻辑推理与模型意识|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第七课时 基本不等式 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 重要不等式 对于任意实数 a, b，有 a² ＋ b² ≥ 2ab，当且仅当 a ＝ b 时等号成立。这个不等式称为重要不等式。证明：a² ＋ b² － 2ab ＝ (a － b)² ≥ 0，当且仅当 a ＝ b 时等号成立。重要不等式是基本不等式的基础，对任意实数 a, b 都成立，不需要正数条件。它表明两个实数的平方和大于或等于它们乘积的两倍，是数学中最基本的不等式之一。 考点二 基本不等式 当 a ＞ 0, b ＞ 0 时，√(ab) ≤ (a ＋ b)/2，当且仅当 a ＝ b 时等号成立。这个不等式称为基本不等式，又称均值不等式。其中 (a ＋ b)/2 称为 a, b 的算术平均数，√(ab) 称为 a, b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。基本不等式的常用变形形式有：① a ＋ b ≥ 2√(ab)；② ab ≤ [(a ＋ b)/2]²；③ (a ＋ b)² ≥ 4ab。使用基本不等式时必须注意 a, b 均为正数这一前提条件。 考点三 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值是基本不等式的核心应用，主要包括两种类型：①积定和最小——若两个正数 a, b 的积 ab 为定值 P，则 a ＋ b ≥ 2√P，当且仅当 a ＝ b 时，(a ＋ b)min ＝ 2√P；②和定积最大——若两个正数 a, b 的和 a ＋ b 为定值 S，则 ab ≤ S²/4，当且仅当 a ＝ b 时，(ab)max ＝ S²/4。使用基本不等式求最值必须满足三个条件（简称"一正、二定、三等"）：①正——各项均为正数；②定——求积的最大值时和必须为定值，求和的最小值时积必须为定值；③等——等号要能取到，即 a ＝ b 有解。 考点四 基本不等式的使用技巧 当题目不直接满足"一正、二定、三等"条件时，需要通过变形构造条件。常用技巧有：①配凑法——通过加减项或乘除项配凑出定值，如求 y ＝ x ＋ 1/x (x ＞ 0) 的最小值，直接使用基本不等式得 y ≥ 2；②乘1法——利用"1"的代换构造定值，如已知 a ＋ b ＝ 1，求 1/a ＋ 1/b 的最小值，可化为 (a ＋ b)(1/a ＋ 1/b) ＝ 2 ＋ b/a ＋ a/b ≥ 4；③分离常数法——将分式分离出常数部分，再对剩余部分使用基本不等式。使用技巧的关键是灵活变形，构造出满足基本不等式使用条件的结构。 考点五 基本不等式的实际应用 基本不等式在实际问题中有广泛应用，特别是求最值问题。常见应用包括：①几何问题——求面积最大、周长最小、体积最大等；②经济问题——求成本最低、利润最高等；③物理问题——求时间最短、距离最短等。解题步骤：①设未知量，根据题意建立函数关系；②分析函数结构，判断能否使用基本不等式；③验证"一正、二定、三等"条件是否满足；④求出最值并验证等号成立条件；⑤结合实际意义确定最终答案。需要注意实际问题中变量的取值范围，以及等号是否能取到。 知识结构思维导图 图1 基本不等式知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若 a ＞ 0, b ＞ 0，则下列不等式中成立的是（ ） A．(a＋b)/2 ＜ √(ab) B．(a＋b)/2 ≥ √(ab) C．(a＋b)/2 ＞ √(ab) D．(a＋b)/2 ≤ √(ab) 2．已知 x ＞ 0，则 x ＋ 4/x 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知 a ＞ 0, b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 4，则 ab 的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 4．已知 a ＞ 0, b ＞ 0，且 ab ＝ 9，则 a ＋ b 的最小值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 5．下列各式中，最小值为 2 的是（ ） A．x ＋ 1/x (x ≠ 0) B．x ＋ 1/x (x ＞ 0) C．x² ＋ 1/x² ＋ 1 (x ≠ 0) D．x ＋ 2/x (x ＞ 0) 6．已知 a ＞ 0, b ＞ 0，a ＋ 2b ＝ 1，则 ab 的最大值为（ ） A．1/4 B．1/8 C．1/2 D．1/16 7．若 x ＞ 0, y ＞ 0，且 1/x ＋ 1/y ＝ 1，则 x ＋ y 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知 a ＞ 0, b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 1，则 1/a ＋ 1/b 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．已知 x ＞ 0，则 2 ＋ 3x ＋ 4/x 的最小值为 ____________。 10．已知 a ＞ 0, b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 2，则 √(ab) 的最大值为 ____________。 11．已知 x ＞ 2，则 x ＋ 4/(x－2) 的最小值为 ____________。 12．已知 a ＞ 0, b ＞ 0，且 ab ＝ a ＋ b ＋ 3，则 ab 的最小值为 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）已知 a ＞ 0, b ＞ 0。 （1）求证：a ＋ b ≥ 2√(ab)； （2）若 a ＋ b ＝ 6，求 ab 的取值范围。 14．（14分）已知 a ＞ 0, b ＞ 0，且 a ＋ 2b ＝ 2。 （1）求 ab 的最大值； （2）求 1/a ＋ 1/b 的最小值。 15．（14分）已知 x ＞ 0, y ＞ 0，且 2x ＋ y ＝ 1。 （1）求 1/x ＋ 1/y 的最小值； （2）求 xy 的最大值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． C 3． C 4． B 5． B 6． B 7． C 8． C 9． 2＋4√3 10． 1 11． 6 12． 9 ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】由基本不等式，当a ＞ 0, b ＞ 0时，√(ab) ≤ (a ＋ b)/2，即(a ＋ b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当a ＝ b时等号成立。选项A、C中"＜""＞"方向错误；选项D中"≤"方向错误（应为"≥"）。故选B。 2．【答案】C 【解析】由x ＞ 0，利用基本不等式：x ＋ 4/x ≥ 2√(x · 4/x) ＝ 2√4 ＝ 2×2 ＝ 4，当且仅当x ＝ 4/x即x² ＝ 4，x ＝ 2时等号成立。故x ＋ 4/x的最小值为4，选C。本题关键：x和4/x的积为定值4，利用"积定和最小"。 3．【答案】C 【解析】由a ＞ 0, b ＞ 0且a ＋ b ＝ 4（定值），利用基本不等式ab ≤ [(a ＋ b)/2]² ＝ (4/2)² ＝ 4，当且仅当a ＝ b ＝ 2时等号成立。故ab的最大值为4，选C。本题关键：和为定值，利用"和定积最大"。 4．【答案】B 【解析】由a ＞ 0, b ＞ 0且ab ＝ 9（定值），利用基本不等式a ＋ b ≥ 2√(ab) ＝ 2√9 ＝ 2×3 ＝ 6，当且仅当a ＝ b ＝ 3时等号成立。故a ＋ b的最小值为6，选B。本题关键：积为定值，利用"积定和最小"。 5．【答案】B 【解析】选项A：x ＋ 1/x (x ≠ 0)，当x ＜ 0时x ＋ 1/x ≤ －2，无最小值2；选项B：x ＋ 1/x (x ＞ 0) ≥ 2√(x · 1/x) ＝ 2，当x ＝ 1时取等，最小值为2，正确；选项C：x² ＋ 1/x² ＋ 1 (x ≠ 0) ≥ 2 ＋ 1 ＝ 3，当x² ＝ 1即x ＝ ±1时取等，最小值为3，不是2；选项D：x ＋ 2/x (x ＞ 0) ≥ 2√2，当x ＝ √2时取等，最小值为2√2 ≈ 2.83，不是2。故只有选项B最小值为2，选B。 6．【答案】B 【解析】由a ＞ 0, b ＞ 0且a ＋ 2b ＝ 1，利用基本不等式：a ＋ 2b ≥ 2√(2ab)，即1 ≥ 2√(2ab)，故√(2ab) ≤ 1/2，2ab ≤ 1/4，ab ≤ 1/8，当且仅当a ＝ 2b即a ＝ 1/2, b ＝ 1/4时等号成立。故ab的最大值为1/8，选B。本题关键：将a ＋ 2b视为整体，利用基本不等式构造ab的不等式。 7．【答案】C 【解析】由x ＞ 0, y ＞ 0且1/x ＋ 1/y ＝ 1，利用"乘1法"：x ＋ y ＝ (x ＋ y)(1/x ＋ 1/y) ＝ (x ＋ y)·1 ＝ 1 ＋ y/x ＋ x/y ＋ 1 ＝ 2 ＋ y/x ＋ x/y。由基本不等式y/x ＋ x/y ≥ 2√(y/x · x/y) ＝ 2，当且仅当y/x ＝ x/y即x ＝ y时等号成立。故x ＋ y ≥ 2 ＋ 2 ＝ 4，当x ＝ y ＝ 2时取等。故x ＋ y的最小值为4，选C。 8．【答案】C 【解析】由a ＞ 0, b ＞ 0且a ＋ b ＝ 1，利用"乘1法"：1/a ＋ 1/b ＝ (1/a ＋ 1/b)(a ＋ b) ＝ (1/a ＋ 1/b)·1 ＝ b/a ＋ 1 ＋ 1 ＋ a/b ＝ 2 ＋ b/a ＋ a/b。由基本不等式b/a ＋ a/b ≥ 2√(b/a · a/b) ＝ 2，当且仅当a ＝ b时等号成立。故1/a ＋ 1/b ≥ 2 ＋ 2 ＝ 4，当a ＝ b ＝ 1/2时取等。故1/a ＋ 1/b的最小值为4，选C。 ■ 填空题解析 9．【答案】2＋4√3 【解析】由x ＞ 0，3x ＋ 4/x ≥ 2√(3x · 4/x) ＝ 2√12 ＝ 4√3，当且仅当3x ＝ 4/x即x ＝ 2√3/3时等号成立。故2 ＋ 3x ＋ 4/x ≥ 2 ＋ 4√3，最小值为2 ＋ 4√3。 10．【答案】1 【解析】由a ＞ 0, b ＞ 0且a ＋ b ＝ 2，√(ab) ≤ (a ＋ b)/2 ＝ 2/2 ＝ 1，当且仅当a ＝ b ＝ 1时等号成立。故√(ab)的最大值为1。 11．【答案】6 【解析】由x ＞ 2，设t ＝ x － 2 ＞ 0，则x ＝ t ＋ 2。x ＋ 4/(x－2) ＝ (t ＋ 2) ＋ 4/t ＝ t ＋ 4/t ＋ 2。由t ＞ 0，t ＋ 4/t ≥ 2√(t · 4/t) ＝ 2√4 ＝ 4，当且仅当t ＝ 2即x ＝ 4时等号成立。故x ＋ 4/(x－2) ≥ 4 ＋ 2 ＝ 6，最小值为6。本题关键：通过换元t ＝ x － 2构造积为定值的结构。 12．【答案】9 【解析】由a ＞ 0, b ＞ 0且ab ＝ a ＋ b ＋ 3，利用基本不等式a ＋ b ≥ 2√(ab)，故ab ＝ a ＋ b ＋ 3 ≥ 2√(ab) ＋ 3。设√(ab) ＝ t ＞ 0，则t² ≥ 2t ＋ 3，即t² － 2t － 3 ≥ 0，解得t ≥ 3或t ≤ －1（舍）。故t ≥ 3，ab ＝ t² ≥ 9，当且仅当a ＝ b ＝ 3时等号成立。故ab的最小值为9。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）证明见解析；（2）0 ＜ ab ≤ 9 【解析】（1）证明：由重要不等式a² ＋ b² ≥ 2ab（当且仅当a ＝ b时取等）。 又(a － b)² ≥ 0，即a² － 2ab ＋ b² ≥ 0，故a² ＋ b² ≥ 2ab。 由a ＞ 0, b ＞ 0，两边同除以2得(a² ＋ b²)/2 ≥ ab。 又(a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² ≥ 4ab（由a² ＋ b² ≥ 2ab得a² ＋ 2ab ＋ b² ≥ 4ab）。 故(a ＋ b)² ≥ 4ab，即(a ＋ b)/2 ≥ √(ab)，即a ＋ b ≥ 2√(ab)，当且仅当a ＝ b时等号成立。 （2）由a ＞ 0, b ＞ 0且a ＋ b ＝ 6，利用基本不等式ab ≤ [(a ＋ b)/2]² ＝ (6/2)² ＝ 9。 当且仅当a ＝ b ＝ 3时等号成立，ab取得最大值9。 又a ＞ 0, b ＞ 0，故ab ＞ 0。 综上，ab的取值范围为0 ＜ ab ≤ 9。 14．【答案】（1）ab的最大值为1/2；（2）1/a ＋ 1/b的最小值为3/2 ＋ √2 【解析】已知a ＞ 0, b ＞ 0，且a ＋ 2b ＝ 2。 （1）由a ＋ 2b ≥ 2√(2ab)，即2 ≥ 2√(2ab)，故√(2ab) ≤ 1，2ab ≤ 1，ab ≤ 1/2。 当且仅当a ＝ 2b即a ＝ 1, b ＝ 1/2时等号成立。 故ab的最大值为1/2。 （2）由a ＋ 2b ＝ 2，得a ＝ 2 － 2b（b ＞ 0且a ＞ 0，故0 ＜ b ＜ 1）。 1/a ＋ 1/b ＝ 1/(2－2b) ＋ 1/b。 利用"乘1法"：1/a ＋ 1/b ＝ (1/a ＋ 1/b)·(a ＋ 2b)/2 ＝ (1/a ＋ 1/b)·1。 由a ＋ 2b ＝ 2，1 ＝ (a ＋ 2b)/2。 1/a ＋ 1/b ＝ (1/a ＋ 1/b)·(a ＋ 2b)/2 ＝ (1 ＋ 2b/a ＋ a/b ＋ 2)/2 ＝ (3 ＋ 2b/a ＋ a/b)/2。 由基本不等式2b/a ＋ a/b ≥ 2√(2b/a · a/b) ＝ 2√2，当且仅当2b/a ＝ a/b即a ＝ √2·b时等号成立。 故1/a ＋ 1/b ≥ (3 ＋ 2√2)/2 ＝ 3/2 ＋ √2。 当a ＝ √2·b且a ＋ 2b ＝ 2时，b ＝ 2/(2 ＋ √2) ＝ 2(2 － √2)/2 ＝ 2 － √2，a ＝ √2(2 － √2) ＝ 2√2 － 2。 故1/a ＋ 1/b的最小值为3/2 ＋ √2 ＝ (3 ＋ 2√2)/2。 本题关键：第(1)问利用a ＋ 2b ≥ 2√(2ab)构造ab的不等式；第(2)问利用"乘1法"构造基本不等式结构。 15．【答案】（1）1/x ＋ 1/y的最小值为3 ＋ 2√2；（2）xy的最大值为1/8 【解析】已知x ＞ 0, y ＞ 0，且2x ＋ y ＝ 1。 （1）利用"乘1法"：1/x ＋ 1/y ＝ (1/x ＋ 1/y)·(2x ＋ y) ＝ (1/x ＋ 1/y)·1。 展开：(1/x ＋ 1/y)(2x ＋ y) ＝ 2 ＋ y/x ＋ 2x/y ＋ 1 ＝ 3 ＋ y/x ＋ 2x/y。 由基本不等式y/x ＋ 2x/y ≥ 2√(y/x · 2x/y) ＝ 2√2，当且仅当y/x ＝ 2x/y即y ＝ √2·x时等号成立。 故1/x ＋ 1/y ≥ 3 ＋ 2√2，当y ＝ √2·x且2x ＋ y ＝ 1时，x ＝ 1/(2 ＋ √2) ＝ (2 － √2)/2，y ＝ √2(2 － √2)/2 ＝ √2 － 1。 故1/x ＋ 1/y的最小值为3 ＋ 2√2。 （2）由2x ＋ y ＝ 1（定值），利用基本不等式2x ＋ y ≥ 2√(2xy)，即1 ≥ 2√(2xy)。 故√(2xy) ≤ 1/2，2xy ≤ 1/4，xy ≤ 1/8。 当且仅当2x ＝ y即x ＝ 1/4, y ＝ 1/2时等号成立。 故xy的最大值为1/8。 本题关键：第(1)问利用"乘1法"将1/x ＋ 1/y与2x ＋ y结合，构造基本不等式结构；第(2)问直接利用2x ＋ y ≥ 2√(2xy)求xy的最大值。 高一数学必修一 · 第七课时 基本不等式 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $