第六课时 不等关系与不等式 同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学必修一“不等关系与不等式”课时同步训练，通过三层递进设计实现从单一考点到综合应用的知识巩固，培养数学推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|不等式概念、性质（考点一、四）|选择1-4题直接考查性质应用，填空9-12题强化符号判断| |能力应用|比较大小、重要不等式（考点二、三）|选择5-8题结合作差法，解答13题训练作差变形| |综合拓展|不等式综合应用（考点五）|解答14-15题结合多性质推理与证明，体现模型意识|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第六课时 不等关系与不等式 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 不等关系与不等式 在现实世界和日常生活中，存在着大量的不等关系，如长与短、大与小、高与矮、优与劣等。用数学符号"≠""＞""＜""≥""≤"连接两个数或代数式，表示它们之间的不等关系，这样的式子叫做不等式。不等式用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接两个解析式而成。其中"≥"表示"大于或等于"，即"不小于"；"≤"表示"小于或等于"，即"不大于"。建立不等式模型的关键是找准实际问题中的不等关系，将其转化为数学表达式。例如"不超过"对应"≤"，"至少"对应"≥"，"至多"对应"≤"。 考点二 比较两个实数大小的方法 比较两个实数a、b大小的基本方法是作差比较法：a ＞ b ⇔ a － b ＞ 0；a ＝ b ⇔ a － b ＝ 0；a ＜ b ⇔ a － b ＜ 0。作差比较法的步骤为：①作差；②变形（因式分解、配方等）；③判断差的符号；④得出结论。变形是关键，常用的变形方法有因式分解、配方、通分等。当两个实数均为正数时，还可以用作商比较法：若a ＞ 0, b ＞ 0，则a ＞ b ⇔ a/b ＞ 1，a ＝ b ⇔ a/b ＝ 1，a ＜ b ⇔ a/b ＜ 1。作商比较法适用于幂式、积式等形式的大小比较。 考点三 重要不等式 重要不等式：∀a, b ∈ R，有a² ＋ b² ≥ 2ab，当且仅当a ＝ b时等号成立。这个不等式可以由(a － b)² ≥ 0直接推出，因为a² ＋ b² － 2ab ＝ (a － b)² ≥ 0。重要不等式是基本不等式的基础，在证明和求最值中有广泛应用。由重要不等式可以推导出多种变形形式：①a² ＋ b² ≥ 2ab；②(a ＋ b)² ≥ 4ab（即a ＋ b ≥ 2√(ab)，a, b ＞ 0）；③a² ＋ b² ≥ (a ＋ b)²/2。使用重要不等式时，需注意等号成立的条件是a ＝ b，以及各项必须为实数。 考点四 不等式的基本性质 不等式的基本性质是解不等式和证明不等式的理论基础。性质1（对称性）：a ＞ b ⇔ b ＜ a；性质2（传递性）：a ＞ b, b ＞ c ⇒ a ＞ c；性质3（可加性）：a ＞ b ⇒ a ＋ c ＞ b ＋ c；性质4（可乘性）：a ＞ b, c ＞ 0 ⇒ ac ＞ bc；a ＞ b, c ＜ 0 ⇒ ac ＜ bc；性质5（同向可加性）：a ＞ b, c ＞ d ⇒ a ＋ c ＞ b ＋ d；性质6（同向同正可乘性）：a ＞ b ＞ 0, c ＞ d ＞ 0 ⇒ ac ＞ bd；性质7（乘方性）：a ＞ b ＞ 0, n ≥ 1, n ∈ N* ⇒ aⁿ ＞ bⁿ；性质8（开方性）：a ＞ b ＞ 0, n ≥ 2, n ∈ N* ⇒ ⁿ√a ＞ ⁿ√b。使用性质时需特别注意乘以负数时不等号方向改变。 考点五 不等式的综合应用 不等式的综合应用主要包括：①利用不等式性质判断命题真假，需注意每一步变形是否满足性质的条件；②利用不等式比较大小，常用作差比较法或作商比较法；③利用不等式求取值范围，已知某些变量的范围，求含这些变量的表达式的范围，需注意同向不等式才能相加，同向同正不等式才能相乘；④利用重要不等式证明简单不等式。解题时需注意：不等式两边同乘以一个数时，必须讨论该数的正负；多个不等式相加或相乘时，必须满足同向条件；求范围时要注意等号能否同时取到。 知识结构思维导图 图1 不等关系与不等式知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若 a ＞ b ＞ 0，c ＜ 0，则下列不等式中成立的是（ ） A．ac ＞ bc B．ac ＜ bc C．a ＋ c ＜ b ＋ c D．a/c ＞ b/c 2．已知 a ＞ b ＞ 0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．a² ＜ b² B．a² ＞ b² C．1/a ＞ 1/b D．a － c ＜ b － c 3．若 a ＞ b ＞ 0，则下列不等式中不成立的是（ ） A．a² ＋ b² ＞ 2ab B．a ＋ 1/a ＞ b ＋ 1/b C．a²b ＞ ab² D．a/b ＞ b/a 4．设 a ＝ x² ＋ 1，b ＝ 2x，则 a 与 b 的大小关系是（ ） A．a ＞ b B．a ≥ b C．a ＜ b D．a ≤ b 5．已知 a ＞ b ＞ c，a ＋ b ＋ c ＝ 0，则下列不等式恒成立的是（ ） A．ab ＞ ac B．ac ＞ bc C．ab ＞ bc D．a|b| ＞ b|c| 6．若 a ＞ b ＞ 0，c ＞ d ＞ 0，则下列不等式中不成立的是（ ） A．a ＋ c ＞ b ＋ d B．a － d ＞ b － c C．ac ＞ bd D．a/d ＞ b/c 7．设 0 ＜ a ＜ b，且 a ＋ b ＝ 1，则下列不等式中成立的是（ ） A．a ＋ 1/a ＜ b ＋ 1/b B．a ＋ 1/a ＞ b ＋ 1/b C．a ＋ 1/a ＝ b ＋ 1/b D．以上都不对 8．已知 a, b ∈ R，比较 a² ＋ b² 与 2(a － b － 1) 的大小，结果为（ ） A．a² ＋ b² ≥ 2(a － b － 1) B．a² ＋ b² ＞ 2(a － b － 1) C．a² ＋ b² ≤ 2(a － b － 1) D．a² ＋ b² ＜ 2(a － b － 1) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．设 a ＞ b ＞ 0，比较 a² ＋ b² 与 2ab 的大小，结果为 ____________。 10．已知 a ＞ b ＞ c ＞ 0，则 √(ab) 与 √(ac) 的大小关系是 ____________。 11．已知 0 ＜ a ＜ b ＜ 1，则 (a ＋ b)/(a － b) 与 0 的大小关系是 ____________。 12．已知 a ＞ b ＞ 0，c ＜ d ＜ 0，e ＞ 0，则 ae 与 be 的大小关系是 ____________，ce 与 de 的大小关系是 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）x² ＋ 3 与 3x； （2）(x ＋ 1)(x ＋ 5) 与 (x ＋ 3)²。 14．（14分）已知 a ＞ b ＞ 0，c ＞ d ＞ 0。 （1）比较 ac 与 bd 的大小； （2）比较 a ＋ c 与 b ＋ d 的大小。 15．（14分）已知 a, b, c 均为正实数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1。 （1）求证：a² ＋ b² ＋ c² ≥ 1/3； （2）求证：(1/a ＋ 1/b ＋ 1/c) ≥ 9。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． B 3． B 4． B 5． A 6． B 7． B 8． A 9． a²＋b² ＞ 2ab 10． √(ab) ＞ √(ac) 11． ＜ 0 12． ae ＞ be；ce ＜ de ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】由a ＞ b ＞ 0且c ＜ 0，根据不等式性质：不等式两边同乘以负数c，不等号方向改变，故由a ＞ b得ac ＜ bc，B成立。选项A方向错误（应为ac ＜ bc）；选项C，由a ＞ b得a ＋ c ＞ b ＋ c（不等式两边同加c，不等号方向不变），故a ＋ c ＜ b ＋ c错误；选项D，由a ＞ b ＞ 0且c ＜ 0，两边同除以负数c，不等号方向改变，得a/c ＜ b/c，故D错误。综上，只有B成立，选B。 2．【答案】B 【解析】由a ＞ b ＞ 0，根据不等式性质：①a² ＞ b²（同正同向不等式可乘），A错B对；②1/a ＜ 1/b（a ＞ b ＞ 0两边同除以ab ＞ 0得1/b ＞ 1/a），C错；③a － c ＞ b － c（两边同减c），D错。故选B。 3．【答案】B 【解析】由a ＞ b ＞ 0：①a² ＋ b² ＞ 2ab（由(a－b)² ＞ 0得a² ＋ b² ＞ 2ab，因a ≠ b），A成立；②a²b ＞ ab²（由ab ＞ 0两边乘a ＞ b得a²b ＞ ab²），C成立；③a/b ＞ b/a（由a ＞ b ＞ 0得a/b ＞ 1，b/a ＜ 1，故a/b ＞ b/a），D成立；④对于B，a ＋ 1/a与b ＋ 1/b的大小不确定，如a ＝ 2, b ＝ 1时a ＋ 1/a ＝ 2.5 ＞ b ＋ 1/b ＝ 2，但a ＝ 1/2, b ＝ 1/3时a ＋ 1/a ＝ 2.5 ＜ b ＋ 1/b ≈ 3.33，故B不一定成立，选B。 4．【答案】B 【解析】a － b ＝ (x² ＋ 1) － 2x ＝ x² － 2x ＋ 1 ＝ (x － 1)²。由于对任意实数x，(x － 1)² ≥ 0恒成立，故a － b ≥ 0，即a ≥ b。当x ＝ 1时a ＝ b ＝ 2，等号成立；当x ≠ 1时a ＞ b。综上，a ≥ b恒成立，选B。本题关键：作差后配方，利用完全平方式的非负性判断大小。 5．【答案】A 【解析】由a ＞ b ＞ c且a ＋ b ＋ c ＝ 0，得a ＞ 0, c ＜ 0（因若a ≤ 0则a ＋ b ＋ c ＜ 0矛盾）。①ab ＞ ac：因a ＞ 0，由b ＞ c得ab ＞ ac，A成立；②ac ＞ bc：因c ＜ 0，由a ＞ b得ac ＜ bc，B错；③ab ＞ bc：因b的符号不确定，不能直接比较；④a|b| ＞ b|c|：b的符号不确定。故选A。 6．【答案】B 【解析】由a ＞ b ＞ 0, c ＞ d ＞ 0：①a ＋ c ＞ b ＋ d（同向不等式相加），A成立；②ac ＞ bd（同向同正不等式相乘），C成立；③a/d ＞ b/c：由a ＞ b ＞ 0得a/b ＞ 1，由c ＞ d ＞ 0得c/d ＞ 1，故a/d ＝ (a/b)·(b/d)，需进一步分析。由a ＞ b ＞ 0和c ＞ d ＞ 0，a/d ＞ b/d ＞ b/c（因d ＜ c故b/d ＞ b/c），故a/d ＞ b/c，D成立；④a － d与b － c：a － d ＞ b － d ＞ b － c（因a ＞ b且－d ＞ －c即d ＜ c），故a － d ＞ b － c，B不成立，选B。 7．【答案】B 【解析】由0 ＜ a ＜ b且a ＋ b ＝ 1，设f(x) ＝ x ＋ 1/x（0 ＜ x ＜ 1），f(x)在(0,1)上单调递减（因f'(x) ＝ 1 － 1/x² ＜ 0当0 ＜ x ＜ 1）。由0 ＜ a ＜ b ＜ 1（因a ＋ b ＝ 1且a ＜ b，故b ＜ 1），得f(a) ＞ f(b)，即a ＋ 1/a ＞ b ＋ 1/b，选B。 8．【答案】A 【解析】a² ＋ b² － 2(a － b － 1) ＝ a² ＋ b² － 2a ＋ 2b ＋ 2 ＝ (a² － 2a ＋ 1) ＋ (b² ＋ 2b ＋ 1) ＝ (a － 1)² ＋ (b ＋ 1)² ≥ 0，当且仅当a ＝ 1且b ＝ －1时等号成立。故a² ＋ b² ≥ 2(a － b － 1)，选A。 ■ 填空题解析 9．【答案】a²＋b² ＞ 2ab 【解析】a² ＋ b² － 2ab ＝ (a － b)²。由 a ＞ b 得 a － b ≠ 0，故 (a － b)² ＞ 0，即 a² ＋ b² ＞ 2ab。本题关键：作差后配方，利用完全平方式的非负性及 a ≠ b 判断严格大于。 10．【答案】√(ab) ＞ √(ac) 【解析】由a ＞ b ＞ c ＞ 0，比较ab与ac：因a ＞ 0，由b ＞ c得ab ＞ ac。又ab ＞ 0, ac ＞ 0，由ab ＞ ac得√(ab) ＞ √(ac)（开方运算保持不等号方向，因两数均为正）。故√(ab) ＞ √(ac)。 11．【答案】＜ 0 【解析】由 0 ＜ a ＜ b ＜ 1，得 a ＋ b ＞ 0（两个正数之和为正），a － b ＜ 0（因 a ＜ b）。故 (a ＋ b)/(a － b) 的分子为正、分母为负，结果为负，即 (a ＋ b)/(a － b) ＜ 0。本题关键：分别判断分子和分母的符号，同号得正、异号得负。 12．【答案】ae ＞ be；ce ＜ de 【解析】由 a ＞ b ＞ 0 且 e ＞ 0，不等式两边同乘正数 e，不等号方向不变，故 ae ＞ be。由 c ＜ d ＜ 0 且 e ＞ 0，不等式两边同乘正数 e，不等号方向不变，故 ce ＜ de（如 c ＝ －3, d ＝ －1, e ＝ 2 时 ce ＝ －6 ＜ －2 ＝ de）。本题关键：不等式两边同乘正数，不等号方向不变。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）x² ＋ 3 ≥ 3x；（2）(x ＋ 1)(x ＋ 5) ≤ (x ＋ 3)² 【解析】（1）作差：(x² ＋ 3) － 3x ＝ x² － 3x ＋ 3。 配方：x² － 3x ＋ 3 ＝ (x － 3/2)² ＋ 3 － 9/4 ＝ (x － 3/2)² ＋ 3/4 ≥ 3/4 ＞ 0。 故x² ＋ 3 ＞ 3x，即x² ＋ 3 ≥ 3x（严格大于，等号取不到）。 （2）作差：(x ＋ 1)(x ＋ 5) － (x ＋ 3)² ＝ (x² ＋ 6x ＋ 5) － (x² ＋ 6x ＋ 9) ＝ 5 － 9 ＝ －4 ＜ 0。 故(x ＋ 1)(x ＋ 5) ＜ (x ＋ 3)²，即(x ＋ 1)(x ＋ 5) ≤ (x ＋ 3)²（严格小于，等号取不到）。 本题关键：作差比较法的步骤——作差、变形（配方或因式分解）、判断符号、得出结论。 14．【答案】（1）ac ＞ bd；（2）a ＋ c ＞ b ＋ d 【解析】已知 a ＞ b ＞ 0，c ＞ d ＞ 0。 （1）比较 ac 与 bd 的大小： 由 a ＞ b ＞ 0 和 c ＞ 0，得 ac ＞ bc（不等式两边同乘正数 c）。 由 b ＞ 0 和 c ＞ d ＞ 0，得 bc ＞ bd（不等式两边同乘正数 b）。 由 ac ＞ bc 且 bc ＞ bd，根据传递性得 ac ＞ bd。 （2）比较 a ＋ c 与 b ＋ d 的大小： 由 a ＞ b，两边同加 c，得 a ＋ c ＞ b ＋ c（不等式两边同加，不等号方向不变）。 由 c ＞ d，两边同加 b，得 b ＋ c ＞ b ＋ d。 由 a ＋ c ＞ b ＋ c 且 b ＋ c ＞ b ＋ d，根据传递性得 a ＋ c ＞ b ＋ d。 本题关键：利用不等式的基本性质（同向不等式相加、同乘正数）和传递性进行推理。 15．【答案】证明见解析 【解析】（1）由a ＋ b ＋ c ＝ 1，根据重要不等式a² ＋ b² ≥ 2ab（当且仅当a ＝ b时取等）， 同理b² ＋ c² ≥ 2bc，a² ＋ c² ≥ 2ac。 三式相加：2(a² ＋ b² ＋ c²) ≥ 2(ab ＋ bc ＋ ac)，即a² ＋ b² ＋ c² ≥ ab ＋ bc ＋ ac。 又(a ＋ b ＋ c)² ＝ a² ＋ b² ＋ c² ＋ 2(ab ＋ bc ＋ ac) ＝ 1， 故a² ＋ b² ＋ c² ＝ 1 － 2(ab ＋ bc ＋ ac)。 由a² ＋ b² ＋ c² ≥ ab ＋ bc ＋ ac，设S ＝ a² ＋ b² ＋ c²，T ＝ ab ＋ bc ＋ ac， 则S ≥ T且S ＋ 2T ＝ 1，故S ≥ (1 － S)/2，即3S ≥ 1，S ≥ 1/3。 故a² ＋ b² ＋ c² ≥ 1/3，当且仅当a ＝ b ＝ c ＝ 1/3时等号成立。 （2）由a, b, c ＞ 0且a ＋ b ＋ c ＝ 1， 1/a ＋ 1/b ＋ 1/c ＝ (bc ＋ ac ＋ ab)/(abc)。 由重要不等式ab ＋ bc ＋ ac ≥ 3·(a²b²c²)^(1/3)（均值不等式）， 且abc ≤ ((a ＋ b ＋ c)/3)³ ＝ 1/27（均值不等式）， 故1/a ＋ 1/b ＋ 1/c ＝ (ab ＋ bc ＋ ac)/(abc) ≥ 3·(abc)^(2/3)/(abc) ＝ 3/(abc)^(1/3) ≥ 3/(1/27)^(1/3) ＝ 3/(1/3) ＝ 9。 故1/a ＋ 1/b ＋ 1/c ≥ 9，当且仅当a ＝ b ＝ c ＝ 1/3时等号成立。 本题关键：利用重要不等式和均值不等式，结合已知条件进行放缩证明。 高一数学必修一 · 第六课时 不等关系与不等式 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $