专题5 一次函数中的面积问题（5种题型） 讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学讲义聚焦一次函数中的面积问题，通过梳理五种核心题型构建知识体系，以题型分类框架呈现从基础三角形面积到综合面积关系的递进脉络，突出一次函数与几何图形结合的重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型+变式”的分层练习设计，如题型三“根据面积求坐标”通过例题与变式题结合，引导学生运用几何直观分析图形关系，培养推理能力与模型意识。基础题巩固方法，综合题提升能力，助力学生自主复习，也为教师实施精准分层教学提供支持。

专题5 一次函数中的面积问题（5种题型） 一、题型突破 题型一 求一次函数与坐标轴围成的三角形面积 例1.在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点A(3，n)将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标是-2，直线l2与y轴交于点D． （1）求直线l2的表达式； （2）求三角形BDC的面积．    【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1） （1）求一次函数和正比例函数的表达式； (2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐标. （3）连接CB，求三角形BCD的面积. 题型二 利用一次函数求不规则四边形的面积 例2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求m和k的值； (2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； (3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 【变式2】如图，直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB． （1）求直线BD的解析式和E的坐标． （2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积． 题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标 例3.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点和点是坐标轴上两点，点为坐标轴上一点，若三角形的面积为，则点坐标为__________. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣2，0），与y轴交点为B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，4） (1)求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式； (2)若P是x轴上一点，且△PBC的面积是6，直接写出点P的坐标． 题型四 由图形面积间的关系求函数解析式或坐标 例4.如图，直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点B和点E，直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点C，且两直线的交点为D． （1）求点D的坐标； （2）设点P（t，0），且t＞3，若△BDP和△CEP的面积相等，求t的值； （3）在（2）的条件下，以CP为一腰作等腰△CPQ，且点Q在坐标轴上，请直接写出点Q的坐标． 【变式4】在直角坐标系中，已知，且a，b满足． (1)如图1，直接写出点的坐标为______，点的坐标为______； (2)已知，当三角形的面积等于三角形面积时，求点的坐标； (3)如图2，已知点为线段上的一动点，过点作交于点，点是线段上的一点，连接、、，若，求点的坐标． 题型五 一次函数平分图形面积问题 例5.如图，在平面直角坐标系中，直线AC：yx+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍． （1）求点B的坐标； （2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式. 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，－6)，点B(3，0)． （1）求直线AB的解析式； （2）已知点C(m，n)是直线AB上的一个动点． ①将的面积记作S，请求出S与m之间的函数关系式； ②连结OC，若直线OC把的面积分为1∶2两部分，请求出此时点C的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 一次函数中的面积问题（5种题型） 一、题型突破 题型一 求一次函数与坐标轴围成的三角形面积 例1.在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点A(3，n)将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标是-2，直线l2与y轴交于点D． （1）求直线l2的表达式； （2）求三角形BDC的面积．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把x=3代入，得y=1，求出A（3，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为，求出B（0，-5）、C（9，-2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式； （2）根据直线l2的解析式求出D（0，），得出BD=，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积． 【详解】（1）把x=3代入，得y=1， ∴A的坐标为（3，1）． ∵将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3， ∴直线l3的解析式为， ∴x=0时，y=-5， ∴B（0，-5）． 将y=-2代入，得x=9， ∴点C的坐标为（9，-2）． 设直线l2的解析式为y=kx+b， ∵直线l2过A（3，1）、C（9，-2）， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为； （2）∵， ∴x=0时，y=， ∴D（0，）． ∵B（0，-5）， ∴BD=， ∴△BDC的面积==． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1） （1）求一次函数和正比例函数的表达式； (2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐标. （3）连接CB，求三角形BCD的面积. 【答案】（1）y=-x+4，y=x；（2）点D为（6，-2）；（3）12. 【详解】试题分析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx即可得到结论； （2）由二直线平行，得到直线CD为y=x+4，解方程组得到点D为（6，-2）； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 试题解析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx得1=-3+b，1=3k， 解得：b=4，k=， ∴y=-x+4，y=x； （2）∵二直线平行，CD经过C（0，-4）， ∴直线CD为y=x+4， 由题意得： 解之得， ∴点D为（6，-2）； （3）由y=x+4中，令x=0，则 y=4， ∴A（0，4）， ∴AC=8， ∴S△BCD=S△ACD-S△ABC=×8×6-×8×3=12． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键． 题型二 利用一次函数求不规则四边形的面积 例2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求m和k的值； (2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； (3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识； （1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）可将四边形的面积转化为与的面积之差． 【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得， ， 所以点A的坐标为． 将点A的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， （2）由所给函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即函数的值小于函数的值， 所以使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围为： ． （3）由（1）知， 一次函数的解析式为， 所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为 ． 由得， ， 所以点E的坐标为． 将代入得， ， 所以点D的坐标为． 将代入得， ， 所以点C的坐标为． 所以， 所以． 【变式2】如图，直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB． （1）求直线BD的解析式和E的坐标． （2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积． 【分析】（1）先求直线AC：yx+2与x轴和y轴的交点A，C，由OA＝OB得点坐标，代入直线BD：y＝﹣x+b，求出b，即可知直线BD的解析式；再把直线BD的解析式与直线AC：yx+2联立即可求出点E的坐标． （2）由（1）知点C，D，E的坐标，再联立y＝x和直线BD的解析式，求出点F的坐标，由三角形DOF的面积减去三角形DCE的面积，即可求出四边形ECOF的面积． 【解答】解：（1）∵直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点， ∴A（﹣4，0），C（0，2）， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝4，B（4，0）， ∵直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点， ∴0＝﹣4+b， ∴b＝4，D（0，4） ∴直线BD：y＝﹣x+4． 解得 ∴E（，） 综上，直线 直线BD的解析式为：y＝﹣x+4，点E坐标为（，）． （2）由（1）知：C（0，2），D（0，4），E（，）， 且由，得点F（2，2）， ∴S四边形ECOF＝S△DOF﹣S△DCE ＝4×2÷2﹣（4﹣2）2 ＝4 故四边形ECOF的面积为． 【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题． 题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标 例3.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点和点是坐标轴上两点，点为坐标轴上一点，若三角形的面积为，则点坐标为__________. 【答案】或 解： ∵A点的坐标为  ,B点的坐标为 ∴OA=3，OB=2 ,  设C点在x轴上的坐标为 BC= ∴S△ABC= ×3×=3 =2 =4， =0 ∵（0,0）点是坐标原点， ∴C点在x轴上的坐标为 ； 设C点在y轴上的坐标为 S△ABC=× ×2=3 =3 解得： =6， =0， ∵（0,0）点是坐标原点， ∴C点在y轴上的坐标为 ∴C点坐标为（4，0）或（0，6）. 故答案为（0，6）或（4，0）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣2，0），与y轴交点为B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，4） (1)求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式； (2)若P是x轴上一点，且△PBC的面积是6，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)m=2，一次函数的表达式为：y=x+2； (2)点P 的坐标为（-8，0）或（4，0）． 【分析】（1）把点C（m，4）代入正比例函数y=2x即可得到m的值，把点A和点C的坐标代入y=kx+b求得k，b的值即可； （2）点C的坐标为（2，4），说明点C到x轴的距离为4，根据△BPC的面积为6，由S△BPC=S△APC-S△ABP=6求得AP的长度，进而求出点P的坐标即可． （1） ∵点C（m，4）在正比例函数的y=2x图象上， ∴2m=4， ∴m=2， ∴点C坐标为（2，4）， ∵一次函数 y=kx+b经过A（-2，0）、点C（2，4）， ∴， 解得： ， ∴一次函数的表达式为：y=x+2； （2） 把x=0代入y=x+2得：y=2， 即点B的坐标为（0，2）， ∵点P是x轴上一点，且△BPC的面积为6， ∴S△BPC=S△APC-S△ABP=×AP×4-×AP×2=6， ∴AP=6， 又∵点A的坐标为（-2，0）， ∴点P 的坐标为（-8，0）或（4，0）． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键． 题型四 由图形面积间的关系求函数解析式或坐标 例4.如图，直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点B和点E，直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点C，且两直线的交点为D． （1）求点D的坐标； （2）设点P（t，0），且t＞3，若△BDP和△CEP的面积相等，求t的值； （3）在（2）的条件下，以CP为一腰作等腰△CPQ，且点Q在坐标轴上，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）12；（3）Q或（-12,0）或（0,2）或 【分析】（1）两直线联立解方程组即可 ； （2）点P（t，0），且t＞3，先求出E、C、B的坐标，用t表示两个三角形面积，S△PBD=，S△ECP=，由△BDP和△CEP的面积相等构造方程，解方程即可； （3）点Q在x坐标轴上设Q（x，0），点Q在y坐标轴上设Q（0，y）求出CP=，以PC为腰，分类PQ=PC， PC =QC讨论，分别求出x或y即可． 【详解】解：（1）， 解得， D（1，）， （2）点P（t，0），且t＞3， 直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点B和点E， 当x=0时，y=-4，E（0，-4），当y=0时，x=3，B（3，0）， 直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点C，且两直线的交点为D． 当x=0时，y=-2，C（0，-2）， S△PBD=，S△ECP=， 由△BDP和△CEP的面积相等， ， ； （3）点Q在x坐标轴上设Q（x，0）， CP=， 以PC为腰，PQ=PC，x-12=,x=12+;12-x=,x=12-， PC =QC,x=-12， 点Q坐标为（-12，0），（12±，0）， 点Q在y坐标轴上设Q（0，y）， CQ=CP,y+2=,y=-2， -2-y=,y=-2-， QP=CP， y=2， 点Q的坐标（0，2），（0，±-2）， 点Q的坐标为（12±，0）或（-12，0）或（0，2）或（0，±-2）． 【点睛】本题考查解方程组，三角形面积，一元一次方程，等腰三角形的性质，掌握解方程组的解法，会用含t的式子表示三角形面积，利用面积相等构造一元一次方程，会利用等腰三角形的性质，分类讨论PC=PQ或PC=CQ求解点的坐标，注意点Q可以在x轴，也可以在y轴是解题关键． 【变式4】在直角坐标系中，已知，且a，b满足． (1)如图1，直接写出点的坐标为______，点的坐标为______； (2)已知，当三角形的面积等于三角形面积时，求点的坐标； (3)如图2，已知点为线段上的一动点，过点作交于点，点是线段上的一点，连接、、，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，即可求出点A和点B的坐标； （2）首先根据三角形面积公式求出三角形面积，然后分两种情况，分别根据列方程求解即可； （3）连接，作，分别交于点M和点N，首先根据题意得到，然后结合得到，根据，求出，然后求出直线的解析式，将代入即可求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∴，； （2）∵， ∴ ∴ ∴当时， ∴ ∴解得 ∴点的坐标为； ∴当时， ∴ ∴解得 ∴点的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）如图所示，连接，作，分别交于点M和点N， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴设直线的解析式为 ∴将代入得，，解得 ∴ ∴将代入得， ∴解得 ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、一次函数、坐标与图形性质，掌握坐标与图形性质及三角形的面积公式是解题的关键． 题型五 一次函数平分图形面积问题 例5.如图，在平面直角坐标系中，直线AC：yx+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍． （1）求点B的坐标； （2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式. 【分析】（1）根据△OBC的面积是△OAC面积的3倍，A（﹣4，0），可得OB＝12，点B的坐标（12，0）； （2）将A（﹣4，0）代入yx+b可得yx+4，则C（0，4），OC＝4，即得S△ABCAB•OC＝32，由B（12，0），C（0，4）可得直线BC解析式为yx+4，设P（m，m+4），可得（12+4）×（m+4）＝16，解得P（6，2），设直线AP的解析式为y＝nx+b'，用待定系数法即得直线AP的解析式为yx； 【解答】解：（1）∵△OBC的面积是△OAC面积的3倍， ∴OB＝3OA， ∵A（﹣4，0）， ∴OB＝12， ∴点B的坐标（12，0）； （2）如图： 将A（﹣4，0）代入yx+b得： ﹣4b＝0， ∴b＝4， ∴yx+4， 令x＝0得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， ∴S△ABCAB•OC（12+4）×432， 由B（12，0），C（0，4）可得直线BC解析式为yx+4， 设P（m，m+4）， ∵直线AP把△ABC分成面积相等的两部分， ∴S△ABPS△ABC＝16， ∴（12+4）×（m+4）＝16， 解得m＝6， ∴P（6，2）， 设直线AP的解析式为y＝nx+b'，将A（﹣4，0），P（6，2）代入得： ， 解得， ∴直线AP的解析式为yx； 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，－6)，点B(3，0)． （1）求直线AB的解析式； （2）已知点C(m，n)是直线AB上的一个动点． ①将的面积记作S，请求出S与m之间的函数关系式； ②连结OC，若直线OC把的面积分为1∶2两部分，请求出此时点C的坐标． 【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x－6．（2）①当时，；当时，．②点C的坐标是或． 【分析】（1）使用待定系数法将A，B坐标代入解析式中得到二元一次方程组求解即可； （2）①使用含m的式子表示的高，再根据三角形面积公式求解即可； ②根据三角形面积公式求出的面积，再根据直线OC把的面积分为1∶2两部分，确定的面积为3或6，然后根据三角形面积公式求出点C的纵坐标，最后把纵坐标代入解析式中可得到横坐标． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)． 将(0，－6)，(3，0)代入y=kx+b中，得解得 ∴直线AB的解析式为y=2x－6． （2）①当点C在x轴上方时，即当时， =3m－9； 当点C在x轴下方时，即当时， =9－3m． 综上所述，当时，；当时，． ②∵A(0，－6)，点B(3，0)， ∴OA=6，OB=3． ∴． ∵直线OC将的面积分为1∶2两部分， ∴的面积为3或6，点C的纵坐标为负数． ∴或． ∴或． 当时，，解得，此时． 当时，，解得，此时． ∴点C的坐标是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $