湖南省部分学校2025-2026学年高二下学期期末校内检测数学试卷

2026年上学期高二期末校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 4 5 6 8 答案 D D C C D A 题号 9 10 11 答案 BCD ACD BD 12.1213.0.9514.5V2 15.【答案】(1)0.=3×2(2)1 =6m2-8n-8+2n 5+5 【解析】(1)a=4a,-4a→a93=4a,9-4a,9→g2=4g-4 →g2-4q+4+=0→(g-2)2=0→q=2 2分 8=45→a0-2）-454-3 1-2 3分 0,=3×2: 4分 (2)当n=1时，6=T=3-5=-2 5分 当n≥2时，6=7.-7-(6m-5m）-[3n--50n-】]=6n-8 6分 b,=6n-8也满足1=1的情况，所以b,=6m-8 7分 当n为偶数时，C。=an=3×22m1 8分 Wn=(G+C3++C2a-i)+(C2+C4+…+C2n)】 9分 =(b+b+…+b2n-)+(a4+a+…+an) =[-2+10+22+…+(12n-14)]+(3×2+3×27+…+3×2m-) [-2+02m-14】严+32+2+…+2) 11分 2[1-(2)] =(6n-8)n+3 1-24 =6n2-8n+ 2420-0-602-8n-8,2 15 55 13分 W5 16.【答案】(1)m=3,()在2上的最小值为3(2)4V3或2 f(x)=3sin2x+cos2x+m+1=2sinx+ +m+1 【解析】(1) 6 2分 由题意，得2×1+m+1=6,故m=3, 3分 所以 -2sm2x+引4 4分 f(x)的最小值由 ()=sin2x+ 6)确定，画出(x)的图象如图，结合图象可知： 0, 元，π 4()在06上单调递地，在6上单调减， 5分 所以 以=mao}= 7分 1 从 fm=2x2+4=3 8分 (2) 0-5sm24845m24+4 9分 方法一：以点A为原点，建立如图所示的坐标系，则C(3,0),B(,⑤) 设P=2叫，则P(v5) 10分 所PB=-5,V5-）,pc-3-B-) pB.pc=21→1-V33-3)-(V3-tjf=21 12分 →3-3t-3V5t+32-V5t+2=21→4-5V3t-18=0, △=(-55-4×4×(-18)=75+288=363=3x121 1=5v5±11V5 所以 8 ,4=256-36 4 所以=45段P=39 2 15分 方法二：按图甲， PB.PC=(AB-APAC-AP) AB.AC-AP.AB-AP.AC+AP 10分 -2x3xcos-x2cosx3cos30P →3-55丽+丽=21 →-55-18=0 12分 →2Ad-55Ad-36=0→AP=45 按图Z.PBPc-(PA+AB)(P+4C) 图乙 AB.AC+PA.AB+PA.AC+AP'=21 →24+55aF-36=0→4P-3N5 2 15分 4V41 18 17.【答案】(1)41(2)详见解析(3)5 【解析】(1)方法一：平面OAB与平面ABCD的夹角也就是平面OAB与平面PAB的夹角. 过点O作OG⊥AB于G,连接PG, 1分 :PO⊥平面OAB,.PO⊥AB ·AB⊥平面OPG,又PGC平面OPG, .PG⊥AB, 2分 所以∠PGO是两个平面所成的角， 据题设，OAP+OB2=AB→OA⊥OB, 0G= OA×OB12 在Rt△OAB中，容易计算得 AB 5 3分 PG= +1=3 在Rt△OPG中，计算得 5 4分 cos∠PG0= 0G124V41 PG34141 5分 方法二：据题设，OA+OB=AB2→OA⊥OB 于是可以建立如图所示的空间直角坐标系02，则4(4,0,0)，B(0,3,0),P(0,0,-3) 利用点B是PC的中点确定点C的坐标为(0,6,3)， 1分 所以BC=(0,33).AB=(-4,3,0) 2分 设平面ABCD的法向量为=(x,少，2)， 3y+3z=0 则4x+3y=0,可以取元=(3,4，-4) 3分 又显然平面OAB的法向量可以是m=(0,0,1), 设平面OAB与平面ABCD的夹角大小为B,则 Cos0= n.m10+0-4到 4v47 m9+16+16×41 5分 (2)由题，ABIICD,CD文平面OAB,ABc平面OAB, 所以CD∥平面OAB, 6分 又CDC平面OCD,平面OCD∩平面OAB=l, 所以CDL,从而AB: 8分 (3)方法一：由(2)，AB/0,于是假设， 00=元AB=(-42,32,0) 9分 即(-4,31,0)，又C(0,6,3),所以C0=(41,3A-6,-3), 10分 设直线CQ与平面ABCD所成角大小为P,则 sin B-leos(C.n- -4元×3+(32-6)×4-3×(-4) V1622+(32-6)2+9√9+16+16 12分 12 V41×V252-36元+45 13分 当25时，25元2-36孔+45的最小值，sinB取得最大值. 14分 pm-网-尝5片。 15分 方法二：由(2)AB1→O0∥平面ABCD, 所以OQ上所有点到平面ABCD的距离都相等， 设这个定距离为d,也就是点O到面PAB的距离. 9分 在△PAB中，PA=AB=5,PB=3V2, cos∠PAB=25+25-18-16sin∠PAB= 16 3v41 2×2525. 25 25 10分 在三棱锥O-PAB中， 专wxd=oexP0→d=8anX3-3x43=2 31 SAPAB 5x5x34IV 25 11分 sinB=d 设直线CQ与平面ABCD所成角大小为B,则 CO. 当CO最小时，P最大，显然CQ1I,即CQ⊥AB时，CQ最小. 12分 又C@=（4,3-6,-3),4B=(43,0), C@AB=0→41x(-4)+332-6)+(←-3)x0→元= 25 14分 0网=-*5- 5 15分 9m 64,0 18.【答案】(1)9(2)①4②证明见解析，定点坐标为 【解析】(1)方法-：设lPF=m,PF=n 又m2+r2=g9(m+m-(m2+r）=10-64 m+n=10 2分 →2mm=36→2mm=9 3分 所以△PF5的面积是9. 分 方法二：设P(,%).又(4,0).E(4,0) 则P听=(4-x,%),PE=(4-x6)】 1分 PE1PE→(-4-x)(4-x)+(-y)2=0→x+=16 2分 16-始+5-=1 又259，所以259 14-9听+25成=25→lw-, 3分 x8x2=9 所以△PF5的面积是264y: 4分 2)①设1(x,),B(G,) x+型=1+2=1 则以A,B为切点的切线方程分别为259,259， 5分 且X=m%+4.x3=my2+4 x+业 =x-X 于是： 259 N259 6分 →(x,4-xy2)y=9(x3-x) →y= 9(52-x) 9m(y2-y) _9m X2为-xy 2(my2+4)y-(my+4)24 7分 ∴.g(m)=- 9m 4 8分 k=- 9x1 ②以点A为切点的切线的斜率为 25y, y-y= 25y(x-x) 过点A且与以A为切点的切线垂直的直线方程为 9x 9分 16x1 41= ,=-16y M 16x16y 进而得 25 9,所以（25 9 10分 16x216y2 同理可得 25 9 11分 另一方面，把x=m+4代入9r+25y2=225中，得(9m+25)y2+72my-81=0 所以+为= 72m 9m2+25. 12分 直线MN的斜率为 16 -9(y-) 25 1 256-5) 9m 13分 M M,N中点的横坐标是 +) 85贴+2)+88小 72m 64 259m2+25 +8 9m2+25 14分 116 64m M,V中点的纵坐标是2 -9+)= 9m2+25 15分 64m 25 64 所以直线方程为 9m2+25 9m 9m2+25 25 64） 64m9m.25 y=- X- 9m9m2+259m2+2525 9m s、 25 64 64m2×9 25 64×9m2+64×25 9m 9m2+25 25(9m2+25 9m 25(9m2+25） 25 649m2+25 25 64 9m 25(9m2+25 9m 25 640 可知直线MN经过定点 25 17分 0 19.【答案】(1)2x+y-2-e=0(2)详见解析(3) 【解析】由思意可知，f()的定义域为(0，+)且a>0. 1分 0当=l时-2n.f0= 2分 又f)-e(x-2 x2 ,f'(0)=-2 3分 曲线y=f()在f(》处的切线方程为y-e=-2(x-), 即2x+y-2-e=0, 4分 (2)当a=1时，x>0,f)>0等价于e-2xn>0, 5分 令8()=c-2x血x,则8()=e-2nx-2.g()=e-子 6分 “g()=e*-2 0g0=e-2>0 e-2=0 区g(四=c-在2上存在唯一的零点，此时 7分 当x∈(0，x)时，g()<0,当x∈(，+o)时，8(x)>0, ∴8'()在(0，)上单调递减，在(，+切)上单调递增 ∴g'()=g'(,)=e-2n6-2=2-2n%-2>0 0 ∴g(d)在(0，+)上单调递增： 8分 当x∈(0，时，e>0,lnx<0,g()=e-2xhx>0, 9分 当x∈[L,+o)时，g()≥g(0)=e>0； 综上可得，8()>0在(0，+)上恒成立， 即f()>0在(0，+)上恒成立： 10分 (2)e*-2xlhx>0的证明二： ①当xc(0,1)时，lnx<0→e-2xlnx>0, 6分 @当xe[,+o）时，u(y=e-2xlnx→a(x)=e-2lnx-2. 7分 )-e 在[L,+切）单调递增， w(x)>()=e-2>0 8分 u(d)在，+o)单调递，所以，()≥t(0)=e-0-2>0, u()在，+o)单调递增，所以，u(x)≥u(0=e-2x1n1>0 9分 综合①，②，e-2xlnx>0在，+∞)上成立： 10分 (3)不等式x +l-a）)x-2nx-lna≥0 等价于e+x-lhr≥c@+n(ar)】 12分 令M()=e+x,则h()=e+I>0在R上恒成立，h()在R上单调递增， 13分 由原不等式可得h(x-lhx)≥A(血(ax)】 x-lnx≥ln(ax)在(0，+o)上恒成立， e a交在0，+切)上恒成立： 14分 ∴k()在(0,2]上单调递减，在[2，+)上单调递增， 15分 -e-号. 16分 0 又·a>0,∴.实数a的取值范围为 17分 2026年上学期高二期末校内检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，则下列结论错误的是 A． B． C． D． 3．若的展开式中的系数为84，则 A．4 B．5 C．6 D．7 4．设函数，，在平面直角坐标系中画出，的图象观察，使得不等式恒成立的a的值可以为 A．4 B．1 C． D． 5．下列说法错误的是 A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．已知随机变量X服从正态分布，且，则 C．已知随机变量X服从正态分布，则 D．设随机变量服从正态分布，若，则 6．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是 A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 7．甲、乙两个不透明的袋子中分别装有颜色不同但大小相同的小球，甲袋中装有6个红球和4个绿球；乙袋中装有3个红球和7个绿球．先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，搅拌均匀后再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”．下列说法错误的是 A．，是互斥事件 B． C． D．，是独立事件 8．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是a，则a的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前n项和记为，，则 A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 10．设，，（，），O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则下列选项正确的是 A． B． C． D． 11．如图，已知平面，，是正三角形，，且P，F分别是，的中点，则下列说法正确的是 A．几何体的体积是 B．几何体的体积是 C．与平面所成角等于与平面所成角 D．设G为的重心，过点G作平面的垂线，交平面于点H，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．安排4名歌手演出顺序时，要求歌手小张不是第二和最后一个出场，不同排法有________种．（用数字作答） 13．某田径协会开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据： 步频x（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：） 90 95 99 103 117 则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步频之间的相关系数为________．（精确到0.01） 参考公式：相关系数；参考数据：，，，． 14．已知，，，的外心是D，则面积最大时，四边形的面积是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知为等比数列的前n项和，若，． （1）求； （2）为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 已知函数在区间在上的最大值为6， （1）求常数m的值，及在上的最小值； （2）的内角A满足，内角B，C所对的边，，的平分线所在直线上一点P，满足，求． 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到D，C，使得，；平面与平面的交线为l． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）证明：； （3）点Q在l上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆，，为左、右焦点，点P在C上． （1）当时，求的面积； （2）在椭圆中有结论：以椭圆上一点为切点的切线方程是． ①设过椭圆C的右焦点的直线交C于A，B两点，以A，B为切点的切线，相交于点Q，求点Q的纵坐标； ②在①中条件下，过点A且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点；过点B且与切线垂直的直线在x轴，y轴上的截距分别为，，得点．证明：直线过定点，并求出定点坐标． 19．（本小题满分17分） 已知函数，其中实数a为参数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $