内蒙古准格尔部分中学2025-2026学年第二学期期末评估诊断高一数学试卷

准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断・高一数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 7．D 8．D 9．ACD 10．ACD 11．AB 12． 13． 14．（3分） （2分） 15．解：（1）从数据可知，在随机抽取的6次成绩中， 甲射击成绩的优秀次数为5，频率为；乙射击成绩的优秀次数为5，频率为， 4分 以频率作为概率，甲、乙两人射击成绩的优秀率均为． 5分 （2）甲随机抽取的6次射击成绩的平均数为， 6分 方差为， 8分 乙随机抽取的6次射击成绩的平均数为， 9分 方差为， 11分 因为，所以甲随机抽取的6次射击成绩比乙稳定，故甲运动员成绩更好． 13分 16．解：（1）因为，，所以， 3分 所以．5分 （2）因为，所以， 又，所以， 8分 解得． 10分 （3）由题意知，设与垂直的单位向量的坐标为，所以 13分 解得，或，， 即与垂直的单位向量的坐标为或． 15分 17．解：（1）记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件，所以， 即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． 5分 （2）记“小张在两轮比赛中答对题”为事件，“小胡在两轮比赛中答对题”为事件，“在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以，，， ，，， 11分 所以， 即在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率为． 15分 18．（1）证明：连接交于点，连接． 因为四边形是平行四边形，所以是中点． 又是中点，所以． 1分 因为平面，平面， 所以平面． 3分 （2）证明：由题知，在中，，， 由余弦定理，得，所以． 4分 在中，，，所以是等边三角形，所以， 5分 所以，即． 6分 因为平面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 8分 因为平面，所以平面平面． 9分 （3）解：因为平面，，平面，所以，． 由（2）知，所以． 10分 设点到平面的距离为． 因为，，所以， 等腰底边上的高为，所以， 12分 所以． 13分 又点到的距离为，所以， 所以，解得． 15分 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 17分 19．解：（1）因为，由正弦定理得， 所以，又， 整理得，3分 因为，所以，可得，即， 4分 因为，所以． 5分 （2）因为，由正弦定理得． 7分 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 所以， 因为，为三角形的内角，则，则． 10分 （3）因为，所以的内角均小于，所以点在的内部，且， 由，得， 11分 设，，则， 在中，由正弦定理得，即， 12分 在中，由正弦定理得，即， 13分 所以 ， 15分 因为，所以，所以， 所以， 所以的最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 准格尔中学2025~2026学年第二学期期末评估诊断 高一数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则的值为 A．25 B．30 C．35 D．40 3．在中，点满足，点满足，则 A． B． C． D． 4．已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为 A． B． C． D． 5．已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则 A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 8．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．现有一组样本数据1，3，1，5，5，6，8，2，5，则这组数据的 A．众数为5 B．中位数为3 C．极差为7 D．70%分位数为5 10．已知复数满足，则下列结论正确的是 A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．若复数满足，则的最小值为 11．如图，在正四棱台中，，，则下列说法正确的是 A．该四棱台的高为 B．二面角的大小为 C．若点在四边形内，，则动点的轨迹长度是 D．若点在内部（含边界），则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为__________． 13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和不小于10的概率为__________． 14．在中，是边上的一点，且满足，，，则的面积为__________；若是边的中点，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 10 9 7 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 （1）以频率作为概率，估计甲、乙两人射击成绩的优秀率； （2）分别求出6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？ 16．（本小题满分15分） 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 17．（本小题满分15分） 小张和小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张和小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为．在每轮比赛中，小张和小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； （2）求在两轮比赛中，小张和小胡答对题目的个数相等的概率． 18．（本小题满分17分） 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，分别为，的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求与平面所成角的正弦值． 19．（本小题满分17分） “费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状．当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的值； （3）若的面积为，设点为的费马点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $