26.3 二次函数与一元二次方程的联系 第1课时 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程的联系，引导学生通过回顾二次函数图象与一元二次方程根的情况，结合具体函数实例表格对比，搭建从交点情况到根的关系的学习支架，掌握判别式应用及转化意识。 资料通过函数图象示意图和表格直观呈现知识，培养几何直观，设计小球飞行等实际问题渗透模型意识与应用意识，练习分层且解析详细，助力学生理解数形结合，提升推理能力与解决问题的实践能力。

学案：26.3 二次函数与一元二次方程的联系（第1课时） 人教版九年级上册 第二十六章 二次函数 一、学习目标 1. 知道抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的根的情况之间的关系。 2. 了解用图象法求一元二次方程的近似根。 3. 理解二次函数与一元二次方程的联系，建立"已知函数值求自变量"与"解一元二次方程"的等价转化意识。 4. 掌握利用判别式Δ=b²-4ac判断抛物线与x轴交点个数的方法。 二、知识梳理 二次函数图象与x轴交点与一元二次方程根的关系 二次函数y=x²+x-2、y=x²-8x+16、y=x²-x+1的图象 二次函数 图象与x轴交点情况 交点横坐标 对应一元二次方程的根 y=x²+x-2 有两个交点 y=x²-8x+16 有一个交点 y=x²-x+1 无交点 无 无实数根 判别式Δ与抛物线与x轴交点个数的关系 判别式Δ的值 抛物线与x轴的交点个数 一元二次方程根的情况 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点（相切） 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 二次函数与一元二次方程的转化关系 转化方向 说明 核心结论 1. 一般地，从二次函数的图象可得：如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程的一个根。 2. 二次函数的图象与x轴的交点情况有三种：没有交点，有一个交点，有两个交点。它们分别对应一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。 三、课堂练习 练习1 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ） A. x₁ = 1, x₂ = -1 B. x₁ = 1, x₂ = 2 C. x₁ = 1, x₂ = 0 D. x₁ = 1, x₂ = 3     练习2 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. k < 3 B. k < 3且k ≠ 0 C. k ≤ 3 D. k ≤ 3且k ≠ 0     练习3 已知函数的图象与x轴有交点，求k的取值范围。                 练习4 已知关于x的二次函数 (1) 求证：此抛物线与x轴总有交点。             (2) 若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值。               练习5（小球飞行问题） 以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线。小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为 小球飞行路线示意图 (1) 小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？         (2) 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多长时间？         (3) 小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多长时间？         (4) 小球从飞出到落地，需要多长时间？         练习6 已知二次函数的值为3，求自变量x的值。         练习7 已知抛物线与x轴只有一个交点，且经过点(1, 4)，求b和c的值。                 四、参考答案 练习1 答案 答案：B 解析： 由交点为(1, 0)，代入二次函数得，解得m = 2。 所以一元二次方程为，即(x-1)(x-2)=0。 解得x₁ = 1，x₂ = 2。 练习2 答案 答案：D 解析： 二次函数的图象与x轴有交点，需。 解得k ≤ 3。 又因为二次函数要求k ≠ 0，所以k ≤ 3且k ≠ 0。 练习3 答案 解： 当k = 3时，函数y = 2x + 1是一次函数。 因为一次函数y = 2x + 1与x轴有一个交点，所以k = 3满足条件。 当k ≠ 3时，y = (k - 3)x² + 2x + 1是二次函数。 因为二次函数y = (k - 3)x² + 2x + 1的图象与x轴有交点， 综上所述，k的取值范围是k ≤ 4。 练习4 答案 (1) 证明： 因此抛物线与x轴总有交点。 (2) 解： 又因为当m = 2时，Δ = 0，抛物线与x轴只有一个交点， 所以正整数m的值为1。 练习5 答案 (1) 解：令h = 20，则 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m。 (2) 解：令h = 15，则 当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。 (3) 解：令h = 20.5，则 所以此方程无实数根。即小球的飞行高度不能达到20.5m。 (4) 解：小球落地时h = 0，令h = 0，则 t = 0表示出发时刻，t = 4表示落地时刻。 所以小球从飞出到落地要4s。 练习6 答案 解：已知二次函数y = -x² + 4x的值为3，即 (x-1)(x-3) = 0 所以自变量x的值为1或3。 练习7 答案 解： 又因为抛物线经过点(1, 4)，代入得： b + c = 3 c = 3 - b 将c = 3 - b代入b² = 4c： (b + 6)(b - 2) = 0 b = -6\text{ 或 }b = 2 所以b = -6，c = 9或b = 2，c = 1。 学科网（北京）股份有限公司 $