26.3二次函数与一元二次方程（第1课时）2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过复习二次函数概念、图像性质，结合合作探究中三个函数图像与x轴交点的实例，引导学生归纳交点与方程根的关系，搭建从函数到方程的知识支架。 其亮点在于以几何直观（数学眼光）引导观察图像与x轴交点，通过小球飞行问题（数学思维）培养推理与转化能力，结合中考题和探究性练习（数学语言）强化模型意识。学生能发展应用与探究能力，教师可借助清晰结构和分层作业提升教学效率。

人教版数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与 一元二次方程 （第1课时） 学习目标 1 2 了解二次函数与一元二次方程的联系. 能将实际问题中的二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题，发展应用意识. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 二次函数 概念 相关概念 图象 和性质 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量. a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 与方程的关系 实际应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 开口方向 顶点 ··· 增减性 对称性 最值 ··· 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 2 合作探究 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1. 当x取公共点的横坐标时，函数值是0. 方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2，1. 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 2 合作探究 抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4. 当x=4时，函数值是0. 方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4. 思考 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数值是多少? (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 由此，你能说说方程x2+x-2=0，x2-8x+16=0，x2-x+1=0的根的情况吗？ 2 合作探究 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点. 方程x2-x+1=0没有实数根. 归纳 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： 2 合作探究 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0. 当x=x0时，函数值是0. x=x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根. 二次函数y=ax2+bx+c的 图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2−4ac>0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2−4ac=0 没有公共点 没有实数根 b2−4ac<0 二次函数问题 一元二次方程问题 转化 例1 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为h=20t−5t2.小球的飞行高度能否达到20 m?如果能，需要多长时间? 3 典例分析 小球的飞行高度能否达到20 m 二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20 一元二次方程20=20t−5t2有无实数根 二次函数问题 一元二次方程问题 转化 实际问题 抽象 3 典例分析 解：当h=20时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20=20t−5t2， 即 t2−4t+4=0. 解方程，得 t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t−5t2的函数值为20， 即当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m. 解：当h=15时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程15=20t−5t2， 即 t2−4t+3=0. 解方程，得 t1=1，t2=3. ∴当小球飞行1 s或3 s时，它的飞行高度为15 m. 追问1 小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多长时间? 3 典例分析 解：当h=20.5时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程20.5=20t−5t2， 即 t2−4t+4.1=0. 因为(−4)2−4 ×4.1<0，所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5 m. 追问2 小球的飞行高度能否达到20.5 m?如果能，需要多长时间? 3 典例分析 解：当h=0时，由函数关系h=20t−5t2，列得方程0=20t−5t2， 即 t2−4t=0. 解方程，得 t1=0，t2=4. ∴小球从飞出到落地，需要4 s. 追问3 小球从飞出到落地，需要多长时间? 3 典例分析 追问3 你能结合图形谈一谈对以上四个结论的理解吗？ 3 典例分析 当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m. 当小球飞行1 s或3 s时，它的飞行高度为15 m. 球的飞行高度达不到20.5米. 小球从飞出到落地，需要4 s. 4 s 中考演练(2026内蒙古)二次函数y=x2−9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 B 4 巩固练习 中考演练(2026四川内江)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1，0)、B(5，0)，下列说法正确的是（     ） A．c>0 B．4a−2b+c<0 C．b2−4ac<0 D．图象的对称轴是直线x=2 B 4 巩固练习 中考演练(2026四川南充)抛物线y=x2+mx+m−2与x轴交于A，B两点，且AB=，则m的值为_______． 1或3 解：设A(x1，0)，B(x2，0)， 令y=0，得x2+mx+m−2=0， 由根与系数的关系得x1+x2=−m，x1x2=m−2， ∴AB2=(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=m2−4m+8， ∵AB=，∴m2−4m+8=5， 解得m=1或m=3． 4 巩固练习 4 巩固练习 1. 抛物线y=x2−2x−3与y轴的交点坐标是（    ） A．(−1，0) B．(3，0) C．(0，3) D．(0，−3) D 4 巩固练习 2. 二次函数y=mx2−3x−1的图象与坐标系横轴有交点，那么m的取值 范围是_____________． m≥− 且m≠0 解：∵ y=mx2−3x−1是二次函数，∴m≠0． ∵ 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， ∴ 一元二次方程 mx2−3x−1=0 有实数根， ∴ Δ=b2−4ac=(−3)2−4×m×(−1)=9+4m≥0． 解不等式得 m≥− ． ∴m的取值范围是m≥− 且m≠0． 5 当堂检测 某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 其中，m =____． 0 5 当堂检测 （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出 该图象的另一部分． 解：根据表格描点，连线，图象的另一部分如图所示： 5 当堂检测 （3）观察函数图象，写出两条函 数的性质： 解：函数的性质如下： ①函数图象关于y轴对称. ②当x<−1或0<x<1时，y随x的增大而减小； 当−1<x<0或x>1时，y随x的增大而增大. ③当x=±1时，y取得最小值−1. 还有其他补充吗？ ... 5 当堂检测 （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，所以对应方程x2−2|x|=0有_____个实数根； ②方程x2−2|x|=2有_____个实数根； ③关于的方程x2−2|x|=a有4个实数根，a的取值范围是__________． 3 3 2 −1<a<0 6 课堂小结 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： 二次函数y=ax2+bx+c的 图象与x轴的公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2−4ac>0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2−4ac=0 没有公共点 没有实数根 b2−4ac<0 6 课堂小结 二次函数 概念 相关概念 图象 和性质 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量. a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 与方程的关系 实际应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 开口方向 顶点 ··· 增减性 对称性 最值 ··· 二次函数图象与x轴的交点 一元二次方程的实数根 转化 ？ 7 布置作业 A B 习题26.3：第1，3，4题. 习题26.3：第6题. $