专题09 函数（一次函数、反比例函数）（西藏专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 函数（一次函数、反比例函数） 考点1 反比例函数系数k的几何意义 1．（2021•西藏）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 考点2 一次函数与反比例函数图像所过的象限 1．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•西藏）一个三角形花坛的面积是6m2，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（　　） A．B．C． D． 考点3 一次函数的综合题 17．（2021•西藏）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S． （1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积； （2）当S＝4时，求点P的坐标； （3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象． 考点4 一次函数和反比例函数的综合题 1．（2023•西藏）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）． （1）求m，n的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'+PB最小，求出点P的坐标． 2．（2024•西藏）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（a≠0）的图象相交于A（﹣3，1），B（﹣1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足kx+b的x取值范围． 1．（2025•当雄县一模）如图，P是反比例函数y图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为　 　 ． 2．（2024•拉萨一模）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲、乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： （1）填空：甲的速度为 　 　 km/h； （2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式； （3）求出点C的坐标． 3．（2025•西藏一模）如图，直线y1＝2x+2与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且DA＝AB＝BC． （1）求反比例函数的解析式； （2）当y1≥y2时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； 4．（2025•西藏二模）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 23．（2025•当雄县一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 5．（2025•城关区一模）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式； （2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　 　 ； （3）点P是x轴上一点，当S△PACS△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　 　 ． 6．（2025•曲水县一模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积． 7．（2025•林周县一模）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y的图象相交于点A（1，6）和点B（n，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）结合图象直接写出不等式kx+b的解集． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数（一次函数、反比例函数） 考点1 反比例函数系数k的几何意义 1．（2021•西藏）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（　　） A．﹣3 B． C．3 D． 【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k． 【解答】解：过C作CD⊥x轴于D， ∵， ∴， ∵BA⊥x轴， ∴CD∥AB， ∴△DOC∽△AOB， ∴（）2＝（）2， ∵S△AOB， ∴S△DOCS△AOB， ∵双曲线y在第二象限， ∴k＝﹣23， 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键． 考点2 一次函数与反比例函数图像所过的象限 1．（2022•西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，熟知一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 2．（2025•西藏）一个三角形花坛的面积是6m2，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（　　） A．B．C． D． 【分析】根据题意可以得出，再变形，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得，， 则a（a＞0，h＞0）． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的图象，理解题意是解题的关键． 考点3 一次函数的综合题 1．（2021•西藏）已知第一象限点P（x，y）在直线y＝﹣x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S． （1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积； （2）当S＝4时，求点P的坐标； （3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象． 【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可； （2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标； （3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案． 【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2+5＝3， ∴点P（2，3）， ∴S△AOP4×3＝6； （2）当S＝4时，即4×|y|＝4， ∴y＝2或y＝﹣2（舍去）， 当y＝2时，即2＝﹣x+5， 解得x＝3， ∴点P（3，2）， ∴点P的坐标为（3，2）； （3）由题意得， SOA•|y|＝2y（y＞0）， 当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x+5）＝﹣2x+10， ∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x+10（0＜x＜5），画出的图象如图所示． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将坐标转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键． 考点4 一次函数和反比例函数的综合题 1．（2023•西藏）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m），点B的坐标为（n，﹣1）． （1）求m，n的值和反比例函数的解析式； （2）点A关于原点O的对称点为A'，在x轴上找一点P，使PA'+PB最小，求出点P的坐标． 【分析】（1）将点A（1，m），点B（n，﹣1）分别代入y＝x+2之中，即可求出m，n的值；然后再将点（1，3）代入y之中求出a＝3即可得到反比例函数的解析； （2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，则PA'+PB为最小，故得点P为所求作的点，根据对称性先求出点A'（﹣1，﹣3），点B'（﹣3，1），再利用待定系数法求出直线A'B'的解析式为y＝﹣2x﹣5，由此可求出点P的坐标． 【解答】解：（1）将点A（1，m），点B（n，﹣1）分别代入y＝x+2之中， 得：m＝1+2，﹣1＝n+2， 解得：m＝3，n＝﹣3， ∴点A（1，3），点B（﹣3，﹣1）， 将点（1，3）代入y之中，得：a＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为：y， 故得m＝3，n＝﹣3，反比例函数的解析式为：y． （2）作点B关于x轴的对称点B'，连接A'B'交x轴于点P，连接PB，如图： 则PA'+PB为最小， 故得点P为所求作的点．理由如下： 在x轴上任取一点M，连接MB，MB'，MA'， ∵点B关于x轴的对称点B'， ∴x轴为线段BB'的垂直平分线， ∴PB＝PB'，MB＝MB'， ∴MA'+MB＝MA'+MB'，PA'+PB＝PA'+PB'＝A'B'， 根据“两点之间线段最短”得：A'B'≤MA'+MB'， 即：PA'+PB≤MA'+MB， ∴PA'+PB为最小． ∵点A（1，3），点A与点A'关于原点O对称， ∴点A'的坐标为（﹣1，﹣3）， 又∵点B（﹣3，﹣1），点B和点B'关于x轴对称， ∴点B'点的坐标为（﹣3，1）， 设直线A'B'的解析式为：y＝kx+b， 将点A'（﹣1，﹣3），B'（﹣3，1）代入y＝kx+b， 得：，解得：， ∴直线A'B'的解析式为：y＝﹣2x﹣5， 对于y＝﹣2x﹣5，当y＝0时，x＝﹣2.5， ∴点P的坐标为（﹣2.5，0）． 【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，利用轴对称求最短路线，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解利用轴对称求最短路线的思路和方法是解答此题的关键． 2．（2024•西藏）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y（a≠0）的图象相交于A（﹣3，1），B（﹣1，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足kx+b的x取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象，直接写出不等式解集即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣3，1），B（﹣1，n）两点都在反比例函数图象上， ∴n＝3， ∴a＝﹣3， ∴反比例函数解析式为y， ∵A（﹣3，1），B（﹣1，3）两点都在一次函数y＝kx+b图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+4； （2）根据函数图象及交点坐标可知，不等式kx+b的x取值范围为：﹣3＜x＜﹣1或x＞0． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 1．（2025•当雄县一模）如图，P是反比例函数y图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP．若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为　 　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积|k|，再根据图象所在象限求出k的值即可． 【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得， △PAO面积等于|k|， 即|k|＝1， k＝±2， 由于函数图象位于第一、三象限，则k＝2， ∴反比例函数的解析式为y； 故答案为：y． 【点评】本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 2．（2024•拉萨一模）A，B两地相距300km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1h．如图是甲、乙行驶路程y甲（km），y乙（km）随行驶时间x（h）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： （1）填空：甲的速度为 　 　 km/h； （2）分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式； （3）求出点C的坐标． 【分析】（1）观察图象，甲从A地出发前往B地，全程所行路程为300km，所用时间为5h，用路程除以时间求速度即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）用y甲（km），y乙（km）之间的函数解析式联立，求解即可． 【解答】解：（1）由图可知，甲从A地出发前往B地，全程所行路程为300km，所用时间为5h， 甲的速度为：300÷5＝60（km/h）， 故答案为：60； （2）设y甲与x之间的函数表达式为：y甲＝k1x+b1， 将点（0，0）和（5，300）代入得：， 解得：， ∴y甲＝60x（0＜x≤50）； 设y乙与x之间的函数表达式为：y乙＝kx+b， 将点（1，0）和（4，300）代入得：， 解得， ∴y乙＝100x﹣100（1＜x≤4）； （3）根据题意，得60x＝100x﹣100， 解得x＝2.5，60×2.5＝150（km）， ∴点C的坐标为（2.5，150）． 【点评】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求函数的解析式，求直线交点坐标等知识，读懂题意，从图象中找到相关信息是解答本题的关键． 3．（2025•西藏一模）如图，直线y1＝2x+2与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且DA＝AB＝BC． （1）求反比例函数的解析式； （2）当y1≥y2时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； 【分析】（1）先求得点A、B的坐标，再根据DA＝AB＝BC，且A、B、C、D四点共线，得到点A是线段BD的中点，从而求出点D的坐标为（1，4），再将点D的坐标代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （2）联立，求出点C的坐标，再由图象即可得到答案． 【解答】解：（1）在直线y1＝2x+2中，当x＝0时，y1＝2， ∴点A的坐标为（0，2）， 当y1＝0时，2x+2＝0， 解得：x＝﹣1， ∴点B的坐标为（﹣1，0）， ∵DA＝AB＝BC，且A、B、C、D四点共线， ∴点A是线段BD的中点， 设点D的坐标为（x，y）， 则， 解得：， ∴点D的坐标为（1，4）， 将点D的坐标（1，4）代入反比例函数解析式得：， 解得：k＝4， ∴反比例函数解析式为：； （2）联立， 解得：或， ∴C（﹣2，﹣2）， 观察图象可得：当y1≥y2时，x的取值范围为﹣2≤x＜0或x≥1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 4．（2025•西藏二模）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数图象交于点A（﹣3，a），B（1，3）， ∴k＝3，a＝﹣1， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数y＝mx+n（m≠0）图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为y＝x+2； （2）根据解析式可知C（﹣2，0），D（0，2）， ∴， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4， 设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点或． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． 23．（2025•当雄县一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b的解集； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC． 【分析】（1）由一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象，观察即可求得答案； （3）因为以BC为底，则BC边上的高为3+2＝5，所以利用三角形面积的求解方法即可求得答案． 【解答】解：（1）∵点A（2，3）在y的图象上， ∴m＝6， ∴反比例函数的解析式为：y， ∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上， ∴n2， ∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y＝kx+b上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：y＝x+1； （2）﹣3＜x＜0或x＞2； （3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2＝5， ∴S△ABC2×5＝5． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．注意待定系数法的应用是解题的关键． 5．（2025•城关区一模）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式； （2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　 　 ； （3）点P是x轴上一点，当S△PACS△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　 　 ． 【分析】（1）由待定系数法即可得到结论； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）先求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PACS△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标． 【解答】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y1＝ax+b得， 解得， ∴一次函数为y1＝﹣x+10， 将A（2，8）代入y2得8，解得k＝16， ∴反比例函数的解析式为y2； （2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2， 故答案为x＞8或0＜x＜2； （3）由题意可知OA＝OC， ∴S△APC＝2S△AOP， 把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10， ∴D（10，0）， ∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD30， ∵S△PACS△AOB30＝24， ∴2S△AOP＝24， ∴2yA＝24，即2OP×8＝24， ∴OP＝3， ∴P（3，0）或P（﹣3，0）， 故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键． 6．（2025•曲水县一模）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式； （2）根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式，利用三角形面积公式列式计算． 【解答】解：（1）把A（m，2）代入 得： ， 解得m＝4， ∴A（4，2）， 把A（4，2）代入 得： ， 解得k＝8， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图： 将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 ， 当x＝0时，y＝3， ∴点B的坐标为（0，3）， 设直线AB的函数解析式为y＝mx+n， 将A（4，2），B（0，3）代入可得： ， 解得：， ∴直线AB的函数解析式为yx+3， 联立解析式得： 解得：， ∴C点坐标为（2，4）， 在yx+3中，当 x＝2时，， ∴CN＝4， ∴S△ABC4＝3； ∴△ABC的面积为3． 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键． 7．（2025•林周县一模）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y的图象相交于点A（1，6）和点B（n，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）结合图象直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）把A点坐标代入y得m＝6，则反比例函数解析式为y，再利用反比例函数解析式确定B点坐标；进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）把A（1，6）代入y得m＝1×6＝6； ∴反比例函数解析式为y， 把B（n，﹣2）代入y得﹣2，解得n＝﹣3， ∴B（﹣3，﹣2）， 把A（1，6），B（﹣3，﹣2）分别代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝2x+4； （2）由图象可知不等式kx+b的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $