4.2 角（九大题型）同步练习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 本同步练习通过基础认知、技能应用、综合探究三层设计，覆盖角的比较、计算、作图等核心知识点，梯度递进培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|角的度数比较、角度四则运算|以选择填空为主，直接考查概念辨析与基本运算，如角的大小比较题| |技能应用层|三角板角度组合、几何图形角度计算、角平分线|结合图形情境，强化推理与运算能力，如三角板摆放角度计算题| |综合探究层|角n等分线、实际问题、尺规作图|设置多问探究与实践操作，发展空间观念与创新意识，如角的四分线计算及作图题|

4.2 角 题型一 角的度数大小比较 1．已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 且， ∴． 2．若，，则与的大小关系为________． 【答案】 【分析】先统一两个角的度数单位，将度分形式的换算为小数形式的度数，再比较两个角的度数大小即可． 【详解】解：根据度分秒的换算关系，可得，即， ， 因此， 已知， 所以． 3．一副三角板（含、、、角）可以作为测量工具，利用它们已有角度进行的组合与分割可以测量更多的角度．若与均是可用三角板通过组合或分割测量的角，且满足（为正整数）． 根据上述规定完成下面问题： (1)若，则___________； (2)若，求的度数和的值，并在虚框中画出（可利用三角板的组合或分割方式画出）； (3)列出的所有可能值，及其对应的度数． 【答案】(1) (2)，；可由画出 (3)时；时；时；时 【分析】本题考查角度的和差计算，关键是利用三角板的基础角度()及其和差得到的整数倍角度，结合方程思想求解角度与参数． （1）直接代入已知角度，通过等式计算未知角度； （2）代入已知角度解方程求未知角度，再求比例系数，并说明角度的画法； （3）通过等式变形得到角度与的表达式，结合三角板角度的特征(的整数倍)，分析的所有可能值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，且， ∴，解得． 又∵， ∴． 如图，可通过三角板的角减去角得到： （3）解：∵，且， ∴，∴． ∵与均为三角板通过组合或分割测量的角(即角度为的整数倍)，且为正整数， ∴必须是的整数倍． 设(为正整数)，则，∴． ∵为正整数，∴，即． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 综上，的所有可能值为，对应的度数分别为． 题型二 角的比较 4．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 5．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，在平面上有三个点A，B，C，根据下列要求画图并作答： (1)作直线，射线； (2)作线段，延长至点，使得； (3)比较线段长短：_______，比较角的大小：_______（填“”，“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查直线，射线，线段的作图，三角形外角的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）以为圆心，以的长为半径画弧交延长线于，点即为所求，连接即可； （3）根据，三角形外角的性质即可判定． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）由题意得，． 故填：，． 题型三 三角板中角度计算问题 7．将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 8．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 9．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 题型四 几何图形中角度计算问题 10．如图，三条直线相交于点O．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 11．如图，直线，相交于点，，若，则_________． 【答案】/度 【详解】解：∵直线，相交于点，，， ∴． 12．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 题型五 角度的四则运算 13．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算与角度运算，依据的换算关系，对每个选项逐一计算验证即可． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确； 故选：D． 14．小红测得一个角的度数为，小敏测得一个角的度数为，小红想知道他们测得的两个角的度数之和是________． 【答案】 【详解】解：． 15．（1）计算：； （2）如图，点在线段上，点是的中点，，．在线段上取一点，使得，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角度的运算，线段的中点计算，以及比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握角度的计算法则以及线段的和差计算． （1）根据角度的运算计算即可； （2）先求解出的长度，再由中点以及比例的性质求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵点在线段上，，， ， ∵点是的中点， ， ∵点在线段上，， ， 又∵， ∴， ∴． 题型六 实际问题中角度计算问题 16．如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键是掌握平角为．根据平角为，减去和的度数即可． 【详解】解：． 故选：A． 17．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 18．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 题型七 角平分线的有关计算 19．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 20．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． 21．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解； （2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：设，则， ， 平分， ，， ， ， ， ， 解得， ． 题型八 角n等分线的有关计算 22．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 23．如图，已知，平分，且，则的度数为______． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 24．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 题型九 尺规作一个角等于已知角 25．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 26．如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：根据作图可知，， 所以． 27．已知，如图，点为直线上的一点，射线在同侧，在内部． (1)在直线上方作，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)当为的平分线时，求的度数． 【答案】(1) 如图： (2) 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的基本方法，通过截取等弧即可完成作图； （2）先根据平角求出的度数，再结合和角平分线，推导得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【详解】（1）解：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点； ③连接，则即为所求作的角． （2）解：， ． 为的平分线， ． 又， ， ∴， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 角 题型一 角的度数大小比较 1．已知，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．若，，则与的大小关系为________． 3．一副三角板（含、、、角）可以作为测量工具，利用它们已有角度进行的组合与分割可以测量更多的角度．若与均是可用三角板通过组合或分割测量的角，且满足（为正整数）． 根据上述规定完成下面问题： (1)若，则___________； (2)若，求的度数和的值，并在虚框中画出（可利用三角板的组合或分割方式画出）； (3)列出的所有可能值，及其对应的度数． 题型二 角的比较 4．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 5．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 6．如图，在平面上有三个点A，B，C，根据下列要求画图并作答： (1)作直线，射线； (2)作线段，延长至点，使得； (3)比较线段长短：_______，比较角的大小：_______（填“”，“”或“”）． 题型三 三角板中角度计算问题 7．将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 9．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 题型四 几何图形中角度计算问题 10．如图，三条直线相交于点O．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，直线，相交于点，，若，则_________． 12．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型五 角度的四则运算 13．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．小红测得一个角的度数为，小敏测得一个角的度数为，小红想知道他们测得的两个角的度数之和是________． 15．（1）计算：； （2）如图，点在线段上，点是的中点，，．在线段上取一点，使得，求线段的长． 题型六 实际问题中角度计算问题 16．如图，点A，B，C在同一直线上，是直角，若，则（    ） A． B． C． D． 17．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 18．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 题型七 角平分线的有关计算 19．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 20．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 21．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 题型八 角n等分线的有关计算 22．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 23．如图，已知，平分，且，则的度数为______． 24．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 题型九 尺规作一个角等于已知角 25．如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 26．如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交射线左侧弧于点，连接，则的度数为________． 27．已知，如图，点为直线上的一点，射线在同侧，在内部． (1)在直线上方作，使．（不写作法，保留作图痕迹） (2)当为的平分线时，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $