26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第2课时 总结提升与综合应用复习）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质综合应用，通过温故知新复习配方步骤、对称轴公式等旧知，新知自研分解析式确定、系数与图象关系等模块，搭建递进式学习支架。 导学案以体系化梳理、高阶典例探究及实际应用问题为特色，通过分类讨论区间最值、数形结合比较函数值等设计，提升学生抽象能力和推理意识，培养模型观念，助力突破中档难点，规范答题习惯。

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第二课时 总结提升与综合应用复习） （导学案） (1)系统熟记二次函数一般式全套图象与性质，精准掌握a、b、c对抛物线的影响；能熟练用配方法、公式法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等高阶综合问题，规避常见易错点. (2)通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范. (3)通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识. 重点:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质的综合拔高应用；由a、b、c、△的符号判断抛物线图象特征，由图象特征反推系数符号；闭区间内动态最值问题、多点函数值大小比较高阶方法. 难点：对称轴在区间内外、区间内部的分类最值讨论；利用“点到对称轴的距离”比较任意多点函数值大小；数形结合双向推理的综合应用. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数一般式配方的关键步骤是什么？ （2）对称轴、顶点坐标公式是什么？ （3）比较抛物线上两个点的函数值，除了代入计算，有没有更快捷的方法？ 快速复盘：开口规律、对称轴公式、顶点、增减性、基础最值，引出本节课拔高内容：区间分类最值、对称轴距离比较函数值. 【学法指导】 新知自研：自研课本第44-45页的内容 【学法指导】自研课本P44-45页内容 （一）二次函数解析式的确定 根据二次函数解析式的一般式、顶点式等特点，用待定系数法求抛物线解析式． 问题1：已知抛物线经过，，两点，求抛物线的解析式． 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式．正确运算是解题的关键． 待定系数法求抛物线解析式即可． 【详解】解：∵抛物线经过，，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （二）系数与图象的对应关系 结合图象系统归纳核心规律： 1. a：开口方向、开口大小； 2. a、b（左同右异）：对称轴位置； 3. c：y轴截距. 问题2.如图，在直角坐标系中，已知函数． (1)完成以下列表： … 0 1 2 3 4 … … … (2)画出这个函数的图象； (3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴． 【分析】（1）把x代入二次函数即可求解； （2）根据列表即可作图； （3）根据二次函数图象即可求出坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴． 此题主要考查二次函数图象，解题的关键是根据表格画出函数图象． 【详解】（1）如图，列表如下 … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 5 … 故答案为：5，0，，，，0，5； （2）如图，函数的图象如下： （3）由图可知：与x轴交于，，与y轴交于，顶点坐标，对称轴． （三）二次函数的综合应用 二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象性质的综合应用. 问题3.已知抛物线经过点，． (1)求，的值； (2)若是抛物线上的点，求的值． 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、根据自变量值求函数值等知识，熟记二次函数图像与性质，掌握待定系数法及点在图像上的含义是解决问题的关键． （1）利用待定系数法，将，代入函数表达式，解二元一次方程组即可得到答案； （2）由（1）中所得，确定函数表达式，将代入即可得到值． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ，解得； （2）解：由（1）知抛物线表达式为， 若是抛物线上的点，则． （四）二次函数的实际应用 建立合适的平面直角坐标系，转化为二次函数型问题. 问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解； （2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可； （3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解． 【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，    ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 自研课本P42-43页内容 典型例题 例1：已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤，准确计算． 【详解】解：∵抛物线的顶点是， ∴可设抛物线的函数解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． 例2.已知二次函数y=-x²+2x+3，完成下列问题： （1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标； （2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数； （3）当0≤x≤3时，求函数的最大值和最小值； （4）若点A(1,)、B(2,)在抛物线上，比较、的大小. 【分析】本题为综合性复习典例，全覆盖本节课核心考点：配方变形、公式应用、系数图象对应关系、区间最值、函数值大小比较。解题核心逻辑：先通过配方或公式确定抛物线基础特征，再结合对称轴、开口方向分析增减性，最后结合自变量取值区间求解最值、比较函数值，完整复刻二次函数综合题解题流程，规范答题步骤. 【详解】解:（1）配方化为顶点式，求对称轴、顶点 y=-x²+2x+3=-(x²-2x)+3=-(x²-2x+1-1)+3=-(x-1)²+4 可得：对称轴为直线x=1，顶点坐标(1,4). （2）判断开口与坐标轴交点a=-1<0，抛物线开口向下； 判别式△=b²-4ac==4+12=16>0， 因此抛物线与x轴有两个交点； 当x=0时，y=3，抛物线与y轴交于正半轴。 （3）抛物线开口向下，对称轴x=1,当0≤x≤3内； ∴ 当x=1时，函数取得最大值，； 分别计算区间端点函数值： x=0时，y=3；x=3时，y=-9+6+3=0； 对比可得：当x=3时，函数取得最小值， （4）比较函数值大小 对称轴x=1，开口向下， ∴ 当x>1时，y随x增大而减小； ∵ 1<2，∴ >. 例3.阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“问真二次函数”．； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求a的值． 【分析】本题考查二次函数的性质． （1）先将配方求出顶点坐标，然后根据题干中“问真二次函数”定义求解． （2）由二次函数可得顶点坐标为，二次函数的顶点坐标为，根据题干中“问真二次函数”定义求解即可． 解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解． 【详解】（1）解：设二次函数的一个“问真二次函数”为， ， ，， ，， 两个函数图像开口方向相反， 的值可以是， 二次函数的一个“问真二次函数”可以是， 即（答案不唯一）； （2）∵图象的顶点为． 的顶点坐标为． ∵，且 ∴． 例4.如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)试写出的面积与之间的函数表达式； (2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出，的长是解题关键． （1）利用两点运动的速度表示出，的长，进而表示出的面积即可； （2）利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：，， ； ； （2）， 当时，的面积最大，最大值是． 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数解析式的求法. 2. 讨论二次函数 y=ax²+bx+c的图象和性质及综合应用. 3. 讨论如何将实际问题转化为二次函数型问题. 拓展提升： 1.如图，已知女排球场的长度为米，位于球场中线处的球网的高度米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)写出点坐标___________；点坐标___________． (2)若排球运行的最大高度为米，求排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． 【详解】（1）∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：由排球运行的最大高度为米，则顶点的坐标点， 则设抛物线的解析式为， ∵点坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， （3）这次发球可以过网且不出边界， 理由：当时，， 当时，． 故这次发球可以过网且不出边界． 1．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； 【详解】（1）． （2）∵抛物线， ∴对称轴为直线， 顶点坐标为． 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2﹣3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 2．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5， 得：1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5， ∴对称轴为直线， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xc＝2xB， ∴， ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5， 得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，m，n为直线与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， 即n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 3．（2026·江门校考期中）如图，在中，，，，点从出发沿向点以1厘米/秒的速度匀速移动；点从出发沿向点以2厘米/秒的速度匀速移动．点、分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为秒． (1)填空：_______，_______． (2)当为何值时，的面积等于？ (3)当为何值时，的面积最大． 【详解】（1）由题意得，，， ∴； 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得：； ∵点从出发沿向点以1厘米/秒的速度匀速移动；点从出发沿向点以2厘米/秒的速度匀速移动， ∴，， ∴， ∴当时，的面积等于； （3）， ∴当时，的面积最大． 知识技能:（1）熟练完成一般式与顶点式互化，熟记核心公式；（2）掌握a、b、c、△数形双向判断；（3）掌握区间分类讨论求最值方法；（4）掌握对称轴距离法快速比较多点函数值. 思想方法:（1）数形结合：以形助数、以数释形；（2）分类讨论：区间位置分类求最值；（3）模型思想：固化二次函数综合题解题模板. 易错提醒:（1）区间最值必须对比顶点和端点，不能只看顶点；（2）开口方向不同，距离对称轴远近对应的函数值大小规律相反；（3）配方提取系数后，常数项极易算错. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第二课时 总结提升与综合应用复习） （导学案） (1)系统熟记二次函数一般式全套图象与性质，精准掌握a、b、c对抛物线的影响；能熟练用配方法、公式法解决图象符号判断、含区间限定最值、多点函数值比较、参数分析等高阶综合问题，规避常见易错点. (2)通过体系梳理、拔高典例探究、错题复盘，提升知识归纳能力、数形结合分析能力、分类讨论推理能力，掌握二次函数中档综合题的解题思路与答题规范. (3)通过知识整合构建完整知识体系，突破中档难点题型，消除畏难心理，提升解题自信心；培养严谨的数学思维、规范的答题习惯，养成复盘纠错的学习意识. 重点:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象与性质的综合拔高应用；由a、b、c、△的符号判断抛物线图象特征，由图象特征反推系数符号；闭区间内动态最值问题、多点函数值大小比较高阶方法. 难点：对称轴在区间内外、区间内部的分类最值讨论；利用“点到对称轴的距离”比较任意多点函数值大小；数形结合双向推理的综合应用. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习回顾：（1）二次函数一般式配方的关键步骤是什么？ （2）对称轴、顶点坐标公式是什么？ （3）比较抛物线上两个点的函数值，除了代入计算，有没有更快捷的方法？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第44-45页的内容 【学法指导】自研课本P44-45页内容 （一）二次函数解析式的确定 根据二次函数解析式的一般式、顶点式等特点，用待定系数法求抛物线解析式． 问题1：已知抛物线经过，，两点，求抛物线的解析式． （二）系数与图象的对应关系 结合图象系统归纳核心规律： 1. a：开口方向、开口大小； 2. a、b（左同右异）：对称轴位置； 3. c：y轴截距. 问题2.如图，在直角坐标系中，已知函数． (1)完成以下列表： … 0 1 2 3 4 … … … (2)画出这个函数的图象； (3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴． （三）二次函数的综合应用 二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象性质的综合应用. 问题3.已知抛物线经过点，． (1)求，的值； (2)若是抛物线上的点，求的值． （四）二次函数的实际应用 建立合适的平面直角坐标系，转化为二次函数型问题. 问题4.一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 自研课本P42-43页内容 典型例题 例1：已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的函数解析式． 例2.已知二次函数y=-x²+2x+3，完成下列问题： （1）将函数化为顶点式，写出对称轴、顶点坐标； （2）判断抛物线的开口方向、与坐标轴交点个数； （3）当0≤x≤3时，求函数的最大值和最小值； （4）若点A(1,)、B(2,)在抛物线上，比较、的大小. 例3.阅读材料：设二次函数，的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“问真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“问真二次函数”．； (2)已知关于x的二次函数和二次函数，若函数恰是的“问真二次函数”，求a的值． 例4.如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)试写出的面积与之间的函数表达式； (2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 第二环节 合作探究 讨论交流: 1. 讨论怎样画二次函数解析式的求法. 2. 讨论二次函数 y=ax²+bx+c的图象和性质及综合应用. 3. 讨论如何将实际问题转化为二次函数型问题. 拓展提升： 1.如图，已知女排球场的长度为米，位于球场中线处的球网的高度米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方米的点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点的水平距离为米时，到达最高点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)写出点坐标___________；点坐标___________． (2)若排球运行的最大高度为米，求排球飞行的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． 1．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式； (2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； 1.（2025•河南）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 2．（2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 3．（2026·江门校考期中）如图，在中，，，，点从出发沿向点以1厘米/秒的速度匀速移动；点从出发沿向点以2厘米/秒的速度匀速移动．点、分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为秒． (1)填空：_______，_______． (2)当为何值时，的面积等于？ (3)当为何值时，的面积最大． 知识技能:（1）熟练完成 与 互化，熟记核心公式；（2）掌握 ；（3）掌握区间 ；（4）掌握 值. 思想方法:（1）数形结合：以 、以 ；（2）分类讨论： ；（3）模型思想：固化 模板. 易错提醒:（1）区间最值必须对比 点，不能只看 ；（2）开口 ，距离对称轴 ；（3）配方提取系数后，常数项 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $