精品解析：北京市陈经纶中学2025-2026学年第二学期期末检测七年级数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末检测 七年级陈经纶中学教育集团数学学科试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知 1．本试卷共6页，共四道大题，27道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分6分，计入总分，但卷面总分不超过100分． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标也为负，符合第三象限点的坐标特征， ∴点位于第三象限． 2. 如图，直线，在线段，，，中，最短的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一性质进行判断即可． 【详解】解：由图可知   ∴  是点  到直线  的垂线段，、 是斜线段 ∵ 垂线段最短 ，  ∵ ，  ∴   ∴  是点  到直线  的垂线段， 是斜线段 ∴  综上所述，线段  最短 ． 3. 在以下调查中，适宜用抽样调查的是（ ） A. 我国进行的全国人口普查 B. 了解全班同学的身高情况 C. 选出学校短跑最快的学生参加全市比赛 D. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 【答案】D 【解析】 【分析】根据调查范围，是否具有破坏性，对结果精度的要求区分两种调查方式． 【详解】∵ 普查适合调查范围小，要求结果准确，调查无破坏性的情况，抽样调查适合调查范围大，调查具有破坏性或不需要极高精度的情况. A选项我国人口普查要求结果完全准确，需采用普查； B选项全班同学人数少，调查范围小，可采用普查； C选项选出学校短跑最快的学生，要求结果准确，范围小，需采用普查； D选项调查草莓农药残留时，检测过程会破坏被检测的草莓，调查具有破坏性，因此适宜用抽样调查． 4. 如图，直线与相交于点，且，则可为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平角的概念，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据结合平角的概念得到，然后利用对顶角相等得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 5. 已知，，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知，，根据不等式的基本性质和不等关系的传递性，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A选项一定成立，不符合题意； ∵，，由不等式的传递性可得，故B选项一定成立，不符合题意； 当时，，此时不成立，故C选项不一定成立，符合题意； ∵，， ∴，即，故D选项一定成立，不符合题意． 6. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长尺，木头长尺，根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意梳理出两个等量关系，分别列方程即可得到正确方程组． 【详解】解：设绳子长尺，木头长尺， ∵用整绳量木头，绳子剩余尺，说明绳子长度比木头长尺， ∴可得 ， ∵将绳子对折后量木头，木头剩余尺，对折后绳长为，说明木头长度比对折后的绳子长尺， ∴可得， 因此所列方程组为， 对应选项为A． 7. 有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 8. 《中国气候变化蓝皮书（2025）》由中国气象局于2025年6月发布．下图是年中国地表年平均气温距平统计图（距平是指某一个数值与参照平均值的差，此图中的参照平均值为年的平均值）． 根据统计图信息，下列说法中不合理的是（ ） A. 从1901年到2024年，2024年中国地表年平均气温最高 B. 近10年（年）是1901年以来最暖的十年 C. 要预测2030年中国地表年平均气温的距平值，在这两条趋势线中，选择年的趋势线更合适 D. 根据年的趋势线估算，在这期间中国地表年平均气温平均每10年升高约 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图中气温距平折线的最高点判断A；根据近期折线的位置判断B；根据预测的时效性和趋势线的代表性判断C；根据年趋势线的斜率估算升温速率判断D，即可解答 【详解】解：A．观察气温距平实线，2024年对应的纵坐标值最大，故2024年气温最高，说法合理； B．观察气温距平实线，年期间的数值整体处于历史最高位，故是最暖的十年，说法合理； C．预测短期未来（2030年）的气温变化，近期的数据趋势更能反映当前的变化规律． 图中年的趋势线斜率更大，反映了近期升温加速的趋势， 因此选择年的趋势线更合适，说法不合理； D．观察1961－2024年的趋势线，1961年距平约为，2024年距平约为，时间跨度约为63年，温升约为，平均每10年升高约，说法合理． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键． 10. 与3的和是负数，用不等式表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】“与3的和”，则；“负数”，则＜0； 【详解】解：根据题意，得． 故答案是：． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准关键字，把文字语言转换为数学语言． 11. 在平面直角坐标系中，长方形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知三个顶点的横纵坐标特征，利用长方形对边平行邻边垂直的性质，推导顶点的横纵坐标与已知顶点坐标的关系，求解得到的坐标． 【详解】解：设第四个顶点的坐标为， ，，点 和点的横坐标相同， 轴， ，， 和的纵坐标相同， 轴， 四边形是长方形， ，即轴，，即轴， 的纵坐标与的纵坐标相同， 即， 的横坐标与的横坐标相同， 即， 顶点的坐标为． 12. 可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，即找到一个正数，使它的算术平方根不大于它的立方根． 【详解】解：当时，的算术平方根为，的立方根为，此时的算术平方根等于它的立方根，不满足原命题的结论，因此可以说明原命题是假命题．故这个值可以是． 13. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则__________°． 【答案】37 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 15. 画频数分布直方图时，要先决定组距与组数．已知样本数据中的最大值是，最小值是，若取组距为，则组数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：首先计算极差，得． 将极差除以组距，得． 因为组数为正整数，且需包含所有样本数据， 因此对结果向上取整，得组数为． 16. 在平面直角坐标系中有两点，，将线段平移得到线段，则点的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据点与对应点的坐标确定平移规律，再根据平移规律计算点的坐标即可． 【详解】将线段平移得到线段，点的对应点为， 平移规律为向右平移个单位，向下平移个单位， 的对应点的坐标为，即． 三、解答题（共52分，第17-24题每题5分，第25-26题每题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程组即可 【详解】解： 由①+②得，4x=8 x=2； 把x=2代入①得：y=1 方程组的解是 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 19. 解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的常规求解步骤计算，系数化为1时注意不等号方向改变，最后将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：原不等式为   移项，得   合并同类项，得   系数化为1，得   将不等式的解集在数轴上表示为： ． 20. 取哪些整数值时，不等式与都成立． 【答案】、、 【解析】 【分析】按照不等式的性质，解两个不等式，然后按照大小小大取中间求解集，利用整数确定最终的取值． 【详解】解：， ， ， ． ， ， ， ． ， 取整数值， ． 21. 已知：如图，，． 求证：． 补全下面的证明过程，括号内填推理的依据． 证明：， ____________________（__________）． ， ____________________（__________）． （ ） 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【解析】 【分析】根据同旁内角互补证，再根据同位角相等证，最后利用平行的传递性推出，并填写每一步对应的推理依据． 【详解】证明：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 22. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，三角形的三个顶点都是格点，以某条水平直线为轴，建立平面直角坐标系，使三角形的顶点尽可能多地落在坐标轴上． （1）在图中画出满足条件的平面直角坐标系； （2）写出点，的坐标； （3）轴上有一点，三角形与三角形的面积相等，写出点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）图中的三角形是直角三角形，要使三角形的顶点尽可能多地落在坐标轴上，以两条直角边的交点为原点建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系可以直接得出点，的坐标； （3）利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点P坐标为或． 23. 体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的常用指标．某公司为了解员工的胖瘦状况，随机抽取了60名员工的体检数据．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分． 根据以上信息完成下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中的值为__________（结果保留小数点后一位），“超重”对应扇形的圆心角为__________． （3）若该公司有1200名员工，估计其中肥胖的约有__________人． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先根据扇形统计图求出超重人数和肥胖人数，再进行补全统计图即可； （2）根据体重正常的人数即可求出的值，再根据“超重”人数的占比求出其对应的扇形的圆心角即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，超重人数为（人）， 肥胖人数为（人）； 图略． 【小问2详解】 解：∵体重正常的人数为38人， 体重正常的人数占总人数的百分比为， ； 由扇形统计图可得，“超重”对应扇形的圆心角为． 【小问3详解】 解：∵肥胖员工占比约为， ∴1200名员工中肥胖人数约为（人）． 24. 一家小型超市的账目记录显示，第一天卖出4支牙刷和5盒牙膏，收入72元；第二天，以同样的价格卖出同样的牙刷3支和牙膏4盒，收入54元，店长在查账时发现这个记录有误． （1）请说明这个记录有误的理由； （2）通过进一步核查发现，两次的收入没有错误，在四项卖出数量的数据中也只有一项数据的记录有误，其他数据的记录都是正确的，若牙刷和牙膏的售价都是整数，请直接指出哪一项数据的记录可能有误，并写出正确的数据． 【答案】（1）原记录计算得到牙膏单价为0元，不符合实际意义，因此该记录有误，理由如下： 设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得： ，解得：，故不符合实际意义； ∴这个记录有误； （2）两种可能情况：①第一天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为6；②第二天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为2 【解析】 【分析】（1）设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：，进而求解即可； （2）根据题意可分两种情况：①假设第一天卖出的记录无误，说明第二天卖出的记录有误，②假设第一天卖出的记录有误，说明第二天卖出的记录无误，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：假设第一天卖出的记录无误，说明第二天卖出的记录有误，设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：， ∴， ∵都为整数，且牙刷和牙膏的售价都是整数， ∴或或，相对应的值为或或， 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（符合题意）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 假设第一天卖出的记录有误，说明第二天卖出的记录无误，设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：， ∴， ∵都为整数，且牙刷和牙膏的售价都是整数， ∴或或或，相对应的值为或或或， 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（符合题意）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：两种可能情况：①第一天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为6；②第二天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为2． 25. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则称此二元一次方程组为优解方程组．例如：是优解方程组，不是优解方程组． （1）若关于，的二元一次方程组是优解方程组，求的取值范围； （2）已知，请判断关于，的二元一次方程组是否是优解方程组，并说明理由． 【答案】（1） （2）该方程组不是优解方程组，理由如下： 解方程组得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（不满足题意）， ∴该方程组不是优解方程组． 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据题中所给新定义可得，进而求解即可； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为， ∵关于，的二元一次方程组是优解方程组， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 略 26. 如图，在三角形中，，直线． （1）求证：平分； （2）为直线上一点（不与点重合），连接，作平分，交直线于点，作，交直线于点． ①当点在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； ②当点在线段的延长线上时，直接用等式表示和的数量关系． 【答案】（1）证明：， ． ， ， 平分． （2）①由题意，补全图形如下： ， ，证明如下： ， ． 平分， ． ，， ， ． ， ． ② 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，利用等量代换，即可得证； （2）先根据题意补全图形，再根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②如图， ， ， ． ， ，， ． 平分， ． ， ， ， 即． 四、选做题（共6分） 27. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：已知点，令则点称为点经过变换得到的对应点．例如：当，时，原点经过变换得到的对应点为．某图形上所有的点经过变换得到的对应点所组成的图形称为图形的变换图形． （1）若坐标系内任意一点经过变换得到的对应点都是同一个点，直接写出满足条件的点的坐标； （2）已知图形为正方形（边与坐标轴平行或垂直），其面积为，周长为． ①若图形的变换图形的面积仍为，直接写出，满足的条件； ②若图形的变换图形的周长仍为，直接写出，满足的条件； ③若图形的变换图形仍是正方形，直接写出，满足的条件． 【答案】（1） （2）①；②；③且． 【解析】 【分析】（1）设任意一点，经过点变换得到的对应点，则有，然后根据题意进行求解即可； （2）设正方形的边长为，则有，设正方形的四个顶点坐标分别为，经过点变换后，四个顶点的坐标为，则有变换后图形的水平边长为，垂直边长为，然后分别求解①②③即可． 【小问1详解】 解：设任意一点，经过点变换得到的对应点，则有， ∵坐标系内任意一点经过变换得到的对应点都是同一个点， ∴的值与无关， ∴当时，则有，当时，则有， ∴满足条件的点的坐标为； 【小问2详解】 解：设正方形的边长为，则有， ∴； 设正方形的四个顶点坐标分别为，经过点变换后，四个顶点的坐标为， ∴变换后图形的水平边长为，垂直边长为， ①当图形的变换图形的面积仍为时，则有变换后的面积为， ∴， ∵， ∴； ②当图形的变换图形的周长仍为时，则有变换后的周长为， ∴， ∵， ∴； ③当图形的变换图形仍是正方形时，则有， ∵， ∴且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末检测 七年级陈经纶中学教育集团数学学科试卷 （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知 1．本试卷共6页，共四道大题，27道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分6分，计入总分，但卷面总分不超过100分． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名、考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图，直线，在线段，，，中，最短的是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 在以下调查中，适宜用抽样调查的是（ ） A. 我国进行的全国人口普查 B. 了解全班同学的身高情况 C. 选出学校短跑最快的学生参加全市比赛 D. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 4. 如图，直线与相交于点，且，则可为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长尺，木头长尺，根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 《中国气候变化蓝皮书（2025）》由中国气象局于2025年6月发布．下图是年中国地表年平均气温距平统计图（距平是指某一个数值与参照平均值的差，此图中的参照平均值为年的平均值）． 根据统计图信息，下列说法中不合理的是（ ） A. 从1901年到2024年，2024年中国地表年平均气温最高 B. 近10年（年）是1901年以来最暖的十年 C. 要预测2030年中国地表年平均气温的距平值，在这两条趋势线中，选择年的趋势线更合适 D. 根据年的趋势线估算，在这期间中国地表年平均气温平均每10年升高约 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 的相反数是______． 10. 与3的和是负数，用不等式表示为__． 11. 在平面直角坐标系中，长方形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__________ 12. 可以用一个的值说明命题“正数的算术平方根一定大于它的立方根”是假命题，这个值可以是__________ 13. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则__________°． 14. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 15. 画频数分布直方图时，要先决定组距与组数．已知样本数据中的最大值是，最小值是，若取组距为，则组数为__________． 16. 在平面直角坐标系中有两点，，将线段平移得到线段，则点的坐标为__________ 三、解答题（共52分，第17-24题每题5分，第25-26题每题6分） 17. 计算：． 18. 解方程组 19. 解不等式，并在数轴上表示解集． 20. 取哪些整数值时，不等式与都成立． 21. 已知：如图，，． 求证：． 补全下面的证明过程，括号内填推理的依据． 证明：， ____________________（__________）． ， ____________________（__________）． （ ） 22. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，三角形的三个顶点都是格点，以某条水平直线为轴，建立平面直角坐标系，使三角形的顶点尽可能多地落在坐标轴上． （1）在图中画出满足条件的平面直角坐标系； （2）写出点，的坐标； （3）轴上有一点，三角形与三角形的面积相等，写出点的坐标． 23. 体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的常用指标．某公司为了解员工的胖瘦状况，随机抽取了60名员工的体检数据．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分． 根据以上信息完成下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中的值为__________（结果保留小数点后一位），“超重”对应扇形的圆心角为__________． （3）若该公司有1200名员工，估计其中肥胖的约有__________人． 24. 一家小型超市的账目记录显示，第一天卖出4支牙刷和5盒牙膏，收入72元；第二天，以同样的价格卖出同样的牙刷3支和牙膏4盒，收入54元，店长在查账时发现这个记录有误． （1）请说明这个记录有误的理由； （2）通过进一步核查发现，两次的收入没有错误，在四项卖出数量的数据中也只有一项数据的记录有误，其他数据的记录都是正确的，若牙刷和牙膏的售价都是整数，请直接指出哪一项数据的记录可能有误，并写出正确的数据． 25. 若关于，的二元一次方程组的解满足，则称此二元一次方程组为优解方程组．例如：是优解方程组，不是优解方程组． （1）若关于，的二元一次方程组是优解方程组，求的取值范围； （2）已知，请判断关于，的二元一次方程组是否是优解方程组，并说明理由． 26. 如图，在三角形中，，直线． （1）求证：平分； （2）为直线上一点（不与点重合），连接，作平分，交直线于点，作，交直线于点． ①当点在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； ②当点在线段的延长线上时，直接用等式表示和的数量关系． 四、选做题（共6分） 27. 在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：已知点，令则点称为点经过变换得到的对应点．例如：当，时，原点经过变换得到的对应点为．某图形上所有的点经过变换得到的对应点所组成的图形称为图形的变换图形． （1）若坐标系内任意一点经过变换得到的对应点都是同一个点，直接写出满足条件的点的坐标； （2）已知图形为正方形（边与坐标轴平行或垂直），其面积为，周长为． ①若图形的变换图形的面积仍为，直接写出，满足的条件； ②若图形的变换图形的周长仍为，直接写出，满足的条件； ③若图形的变换图形仍是正方形，直接写出，满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $