专题06 导数的同构问题11种常见考法归类（核心题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦导数的同构问题专题，系统涵盖结构一致同构、指对同构（和差型、乘积型、商型）、切线不等式结合、比较大小、求值、恒成立、最值、证明、零点问题等11类核心题型，构建了从基础变形到综合应用的完整知识体系。 清单以题型脑图构建知识框架，考法深研标注解题技能，如指对同构分和差、乘积、商型分类解析，培养学生数学思维与模型观念。特设例题关联高考真题、重难点提示（如单调函数构造要点），助力学生自主梳理逻辑，教师可据此精准指导，提升复习针对性与效率。

专题06 导数的同构问题 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 结构一致同构 1、 地位等同同构，主要针对双变量 （1） 构造为增函数 （2） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握。 1．（2026高三·福建宁德·期末）若，，不等式恒成立，则________． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 3．（2026高三·湖北·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为______． 4．（2026高三·北京·期中）已知函数，，有成立，则的取值范围是________． 5．（2026高三·浙江杭州·期中）已知函数，，，恒成立，则实数m的取值范围______． 6．（2026高三·湖北·期中）已知对定义域内任意，都有成立，则的取值范围为____________． 7．（2026高三·江西赣州·期中）已知函数，若对任意，且，都有恒成立，则实数的取值范围是________. 8．（2026高三·山西运城·期末）已知函数，若，都有，则______________. 题型02 指对同构——和差型 和差型： 9．（2026高三·湖南岳阳·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 10．（2026高三·湖北·期末）已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 11．（2026高三·安徽合肥·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 12．（2026高三·湖北·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 13．（2026高三·河北唐山·期中）若不等式，对恒成立，则正实数a的取值范围是________． 14．（2026高三·湖北·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 15．（2026高三·河北石家庄·期中）对于任意的，恒有，则实数的最小值为______. 16．（2026高三·上海·期中）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________. 17．（2026高三·安徽阜阳·期中）若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______. 18．（2026高三·福建龙岩·期中）若对任意的恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______. 19．（2026高三·陕西西安·阶段检测）已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围是__________. 20．（2026高三·安徽安庆·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______. 21．（2026高三·山东聊城·期中）若对恒成立，则正实数的最小值是______． 题型03 指对同构——乘积型 积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。 22．（2026高三·四川攀枝花·期末）不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______ 23．（2026高三·湖北·阶段检测）时对恒有，则实数的取值范围为________． 24．（2026高三·重庆·阶段检测）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 25．（2026高三·江苏南通·阶段检测）若，都有，则a的取值范围为______． 26．（2026·山西晋城·模拟预测）当时，，则实数的最小值为__________． 27．（2026高三·江苏无锡·期中）已知函数，若曲线上任意一点处切线的斜率非负，则的最小值为_______. 28．（2026·河北邢台·模拟预测）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________. 29．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 题型04 指对同构——商型 商型： 30．（2026高三·河北衡水·阶段检测）已知时，，则正实数的取值范围是_____________ 31．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 32．（2026高三·广东东莞·期末）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)当时，证明：曲线恒在曲线的上方； (3)当恰有四个零点时，证明：． 题型05 与切线不等式结合 利用切线放缩 同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】 利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形） 33．（2026高三·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________． 34．（2026高三·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 35．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 36．（2026高三·全国·一轮复习）若时，恒有成立，则实数的取值范围是________． 37．（2026高三·湖北武汉·期中）已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________. 题型06 同构应用——比较大小 1. 题干特征：多个含指数/对数实数，无方程，仅比 、、 大小； 2. 操作步骤： ① 对每个式子变形，整理成完全相同结构； ② 构造统一函数 ； ③ 求导判断 单调性； ④ 比较自变量大小，推出函数值大小； 3. 高频构造：、、； 4. 技巧：自变量不在同一区间时，利用对称性、换元转换到同一单调区间。 38．（江西萍乡市2025-2026学年第二学期期末考试高三数学试卷）已知实数，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 39．（2026高三·福建三明·期末）已知正实数x，y，z，，则（   ） A． B． C． D． 40．（2026高三·江西吉安·期末）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 41．（2026高三·福建泉州·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 42．（2026高三·山西晋城·阶段检测）已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型07 同构应用——求值 1.特征：给出含、混合指对方程，求代数式定值； 2.步骤： ①移项配凑，两侧构造相同单调函数； ②单调函数满足； ③得到与参数等量关系，直接代入目标式求值； 3.关键：必须证明严格单调，才能由函数值相等推出自变量相等； 4.常见结论：。 43．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知是方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 44．（2026高三·江西南昌·阶段检测）设为正实数，若实数是关于的方程的解，则_______ 45．（2026·广东·模拟预测）已知满足 ，则_______． 46．（2026高三·吉林长春·期末）已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是_________． 47．（2026高三·山东枣庄·期中）已知实数满足，则_____________. 题型08 同构应用——解决不等式恒成立问题 1.通用四步： ①移项变形，将所有项整理为两侧同构形式； ②构造单调辅助函数； ③由脱去外层函数，化简代数不等式； ④参变分离，构造单变量函数，求最值确定参数范围； 2.区分： 恒成立区间最值满足不等式； 存在性区间存在值满足不等式； 3.避坑：同构脱去外壳后，必须保留原函数定义域约束。 48．（2026高三·江苏南京·期末）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 49．（2026·四川巴中·模拟预测）若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 50．（专题07函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（专题专练））若不等式恒成立，则正数a的取值范围是______. 51．（2026·云南大理·模拟预测）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________． 52．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 题型09 同构应用——求最值 1.题干：两个变量满足同构型等式，求、等代数式最值； 2.流程： ①等式配凑同构，构造单调； ②由得等量关系； ③消元，将目标式化为单变量函数； ④导数求区间最值； 3.适用：、分别在指数、对数两侧的约束条件。 53．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 54．（2026·江西·模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 55．（2025届高三数学信息检测原创卷（二））已知函数，，若，，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 56．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数的零点为，零点为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 57．（2026高三·浙江嘉兴·期末）已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 58．（2026高三·山西太原·阶段检测）已知函数，，若，其中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 59．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）已知函数，，若，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 60．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型10 同构应用——证明不等式 1.思路一（纯同构）： 左右配相同结构，构造单调函数，利用单调性直接比较； 2.思路二（同构+放缩）： 无法完全同构时，先用、局部放缩，再同构； 3.证明规范： ①写出构造函数，求导证单调； ②利用单调脱去函数符号； ③逐步逆推，还原原不等式； 4.注意放缩等号条件不能冲突。 61．（2026高三·河南新乡·开学考试）已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 62．（2026高三·河南·阶段检测）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 题型11 同构应用——解决函数零点问题 1.核心转化：函数零点，移项配指对同构； 2.操作： ①零点方程变形，统一构造； ②由单调性，得到零点满足的等量关系； ③转化为单变量方程，结合函数图像、极值判断零点个数； 3.考法： ①已知零点个数求参数范围； ②两零点满足等式证明； 4.关键：同构简化复杂超越方程，避免多次求导讨论。 63．（2026高三·山东菏泽·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．（2026高三·福建龙岩·期中）已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 65．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 66．（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 67．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科押题卷（六））已知函数的单调递增区间为． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数的同构问题 题型脑图·核心考法构建 考法深研·解题技能通关 题型01 结构一致同构 1、 地位等同同构，主要针对双变量 （1） 构造为增函数 （2） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握。 1．（2026高三·福建宁德·期末）若，，不等式恒成立，则________． 【答案】1 【分析】若，不等式恒成立可转化为恒成立，构造函数，利用导数分析的单调性，即可求得的值. 【详解】若，，不等式恒成立， 则恒成立， 即， 即恒成立. 令，则在上单调递减. . 令，得，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 又，所以. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 3．（2026高三·湖北·期中）已知函数，在区间内任取两个实数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】 【分析】由转化为恒成立，构造函数，通过的单调性得到在恒成立，找到的满足条件，从而求出的最大值. 【详解】． 因为，，亦即． 令， 则问题等价转化为是增函数． 所以在恒成立， 即在恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立． 令， 则， 因为二次函数在上单调递增， 所以当时，， 即，所以是增函数， 所以，即，所以实数的最大值为． 4．（2026高三·北京·期中）已知函数，，有成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将原不等式移项整理得，构造函数，将条件转化为在单调递增，求导后转化为导数非负恒成立，分离参数求的范围. 【详解】原不等式，，移项得， 说明函数在上单调递增， 即对任意恒成立. 对求导得， 整理不等式，两边同乘得. 对二次函数，时，的最大值为. 要使恒成立，只需，即的取值范围是. 5．（2026高三·浙江杭州·期中）已知函数，，，恒成立，则实数m的取值范围______． 【答案】 【分析】先假设，由可得，令，然后可得函数在上单调递增，然后可得在上恒成立，然后分离变量转化为求最值即可. 【详解】先假设，由，得. 令，则问题可以转化为： 对任意，恒成立， 即函数在上单调递增， 对于，同理可得即函数在上单调递增， 因为，所以转化为在上恒成立， 因为，所以在上恒成立，即转化为 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 6．（2026高三·湖北·期中）已知对定义域内任意，都有成立，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】因为，所以， 又，则，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即， 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 因为，所以， 显然恒成立； 当时，单调递增，恒成立等价于恒成立， 两边取对数得，故，令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，正实数的取值范围为. 7．（2026高三·江西赣州·期中）已知函数，若对任意，且，都有恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，由题意可得函数在上单调递增，即在上恒成立，令，可化为，根据的单调性得到，令，求出的最小值即可求出答案. 【详解】可化为， 令，则不等式可化为， 所以函数在上单调递增， ， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 易知在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以， 所以实数的取值范围是. 8．（2026高三·山西运城·期末）已知函数，若，都有，则______________. 【答案】 【分析】根据不等式可求得函数在上单调递减，即在上恒成立，构造函数，对参数分类讨论，求出函数极值并利用不等式恒成立可得只有当时符合题意，即可得. 【详解】不妨取，由可得，即， 令，可得，， 即可得在上单调递减，所以在上恒成立， 又易知，则， 令，则； 当时，易知恒成立，此时在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以当时，，不合题意； 当时，易知当时，，当时，， 即可得在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 若在上恒成立，即在上恒成立， 所以只需保证恒成立即可， 令，则， 显然当时，，当时，， 即可得，即在处取得极小值，又，即， 所以，即. 故答案为： 题型02 指对同构——和差型 和差型： 9．（2026高三·湖南岳阳·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 10．（2026高三·湖北·期末）已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数a的最小值为______． 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，然后通过研究，单调性可得答案. 【详解】∵对任意的，恒成立， 即，在上恒成立， 即在上恒成立， 即，. 设函数，，则在R上为增函数， 则在上恒成立， 则. 令，， 则在上递增，在递减， 则. 11．（2026高三·安徽合肥·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先将不等式整理为，构造同构函数，由是上的单调递增函数，将问题转化为恒成立；再求的最大值，从而得到实数的取值范围. 【详解】原不等式整理得：. 构造函数，原不等式等价于对任意恒成立. 对求导得：恒成立，因此是上的单调递增函数， 不等式等价于：. 将不等式变形为对任意恒成立，令，求导得， 令，得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为，故，即. 综上，的取值范围是. 12．（2026高三·湖北·期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】． 【分析】首先确定，再通过同构思想得到函数，再讨论即可. 【详解】由，则， 因为，所以， 因为恒成立， 即恒成立， 整理得恒成立， 即恒成立， 构造函数，根据单调性的性质可知，函数单调递增， 故原不等式等价于，即， 令，则，求导得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此在处取得最小值；，即， 从而可得，即的取值范围是． 13．（2026高三·河北唐山·期中）若不等式，对恒成立，则正实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据同构构造函数，利用函数单调性计算即可. 【详解】由题可知，对恒成立， 令， 则，， 即求，对恒成立时，正实数a的取值范围 因为， 则当时， 在上单调递增， 又因为当时，， 所以对恒成立， 则， 令，， 令，解得， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以. 14．（2026高三·湖北·阶段检测）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，构造函数，可知函数在上为增函数，可得出，利用导数求出函数在其定义域上的最大值，即可求得实数的取值范围． 【详解】由题意得，由，可得， 即， 设，则， 因为，所以是单调递增函数， 所以，整理得， 令，， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，只需要，解得． 15．（2026高三·河北石家庄·期中）对于任意的，恒有，则实数的最小值为______. 【答案】 【分析】转化问题为对于任意的恒成立，结合在上单调递增，可得，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于任意的恒成立， 由在上单调递增，且 ， 可得 ，即，， 令，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即，则实数的最小值为. 16．（2026高三·上海·期中）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】同构变形给定不等式，构造函数并利用导数确定单调性建立不等式，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】不等式 由，得，令函数，求导得， 函数在上单调递增，不等式 ，令函数，依题意，对，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以的取值范围是. 17．（2026高三·安徽阜阳·期中）若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______. 【答案】 【分析】当时，条件显然成立，所以只需处理的情况即可，此时，令，求导，利用函数的单调性转换求解即可. 【详解】， 又，所以， 当时，上式显然成立， 所以只需处理的情况即可， 此时， 令， 恒成立，所以严格递增， 在恒成立即可， 令，则， 令， 当时，，严格递增， 当时，，严格递减， 所以，所以， 故答案为：. 18．（2026高三·福建龙岩·期中）若对任意的恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据已知化简，再构造函数应用单调性列式，最后参数分离，应用导函数得出函数单调性得出最值即可求解. 【详解】依题意得对任意的恒成立， 令， 因为在上单调递增，所以， 所以对任意的恒成立， 令，则. 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减. 故，所以. 19．（2026高三·陕西西安·阶段检测）已知不等式对任意的恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将原不等式化成，构造函数，由其单调性得到，再构造函数，求导确定单调性，进而可求解. 【详解】不等式对任意的恒成立， 即， 即. 设，由解析式可知该函数单调递增， 则对任意的恒成立， 所以， 所以， 令， 所以， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 20．（2026高三·安徽安庆·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______. 【答案】 【分析】先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求导分析函数的单调性，进而求出实数的最大值. 【详解】将不等式移项可得，进一步变形得， 即. 设，对函数求导得，所以在上单调递增， 所以，则有，即， 即在上恒成立. 设，对函数求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 因此，在处取得最小值，. 因为，所以，即实数的最大值为. 21．（2026高三·山东聊城·期中）若对恒成立，则正实数的最小值是______． 【答案】 【分析】整理可得，结合函数的单调性可得，参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】因为，则等价于， 可得，且， 令，，可得， 因为在定义域内单调递增，则，可得， 令，，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以正实数的最小值是. 题型03 指对同构——乘积型 积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。 22．（2026高三·四川攀枝花·期末）不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】首先确定参数的符号，然后对不等式进行同构变形，，构造函数，将问题转化为在上恒成立等价于在上恒成立，然后根据导数求函数分最值即得. 【详解】若，当时，左边，右边，不等式不成立，因此必有. 不等式两边同乘正数，得： , 构造函数，求导得， 故在上单调递增，在上单调递减， 因，当时恒成立， 当时，由单调性可得， 原不等式等价于，由单调性得：在上恒成立. 不等式变形为对任意恒成立， 令，求导得： ，令得, 当，单调递增，当，单调递减， 所以的最大值为，故， 即的取值范围是. 23．（2026高三·湖北·阶段检测）时对恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】若，不等式恒成立， 若时，两边同乘以，可得， 两边同构，令，则， 由，所以在单调递增，所以， 所以，所以 令，求导得， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以＝1，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 24．（2026高三·重庆·阶段检测）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 【答案】 【分析】将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答. 【详解】不等式， 令，则， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在上单调递增， 则， 令，则， 当时，；当时，， 于是得函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，即得， 所以实数的最小值为. 25．（2026高三·江苏南通·阶段检测）若，都有，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先将不等式化为，再构造，利用导数研究其单调性，结合恒成立得，进而有，进而问题化为在上恒成立，最后应用导数求最大值，即可得． 【详解】由题设，都有，即， 因为，所以，即， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，此时，则，即不合题设； 故，所以，而在上单调递增，则， 问题化为，在上恒成立， 令且，则， 当时，，即在上单调递减， 所以，故． 则a的取值范围为． 26．（2026·山西晋城·模拟预测）当时，，则实数的最小值为__________． 【答案】 【分析】将原不等式转化为，令，换元后，分离参数，转化为，再求的最大值即可. 【详解】，因为，故，也即， 对，，故其在单调递增， 且当时，；当趋近于时，趋近于； 令，则；原不等式等价于，又， 故，令，则， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为. 27．（2026高三·江苏无锡·期中）已知函数，若曲线上任意一点处切线的斜率非负，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义转化为在上恒成立，通过同构转化不等式后进行参变分离，再构造新函数利用导数求最值得解. 【详解】的定义域为， ，． 由题意，得在上恒成立， 即时，恒成立. 令， ，在单调递增， 若，则恒成立， 若，则由的单调性可得， 故恒成立. 即，令，则， 令，得， 当时，；当时，. 所以在单调递增，在单调递减， ． 所以，即m的最小值为． 28．（2026·河北邢台·模拟预测）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过换元构造同构函数，利用函数单调性脱去函数符号，将原不等式转化为恒成立问题，分离参数后求函数最小值得到的取值范围. 【详解】原不等式整理得，等价于， 令，则恒成立，所以在上单调递增. 故原不等式等价于， 由的单调性，不等式等价于，即， 故原不等式恒成立等价于对所有恒成立，变形得，即： ， 令，求导得，当时， 故在上单调递增，最小值为，所以. 又，得的取值范围是. 29．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题知，对于恒成立，等价转化为对于恒成立，构造函数，根据单调性得，分离参数得对于恒成立，再构造函数，对求导，借助单调性求最小值，继而得解. 【详解】由题知，恒成立， 即，即对于恒成立， 令，则， 而在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即得，即，所以对于恒成立， 令，则， 所以当时，； 当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，又. 所以实数的取值范围是. 题型04 指对同构——商型 商型： 30．（2026高三·河北衡水·阶段检测）已知时，，则正实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】借助同构变形构造辅助函数，由单调性化简不等式，再通过导数分析新函数的最值，反向锁定参数的取值边界. 【详解】原不等式整理可得， 因为，所以不等式等价于. 设函数，求导得. 时，在单调递增. 令，，原不等式等价于， 即在上恒成立. 记，，，. 时，在单调递增，，恒成立； 时，存在满足，时，，与条件矛盾. 综上所述，正实数的取值范围是. 31．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为，，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）首先得到，再求出导函数，即可得到切线的斜率，再由两点的斜率公式求出，再利用导数求出的单调区间； （2）依题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，结合（1）中函数的单调性，得到在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数说明，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 又函数的图象在处的切线经过点， 所以，解得， 所以，函数的定义域为，又， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以当时恒成立，即恒成立， 所以在，上单调递增. 即的单调递增区间为，，无单调递减区间. （2）因为不等式在区间上恒成立， 因为，则， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 又，所以， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 由（1）可知在上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，， 则， 所以在上单调递减， 所以，即区间上恒成立， 所以时在区间上恒成立， 即对任意关于的不等式在区间上恒成立. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 32．（2026高三·广东东莞·期末）已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)当时，证明：曲线恒在曲线的上方； (3)当恰有四个零点时，证明：． 【答案】(1)在上单调递增，在和上单调递减 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由解析式得到函数定义域，由导数得到函数的单调区间. （2）作差得，令，由导数得到函数的单调性，从而证明，结合（1）中结论得到，从而得证； （3）令，求得，将问题转化为直线与曲线共有四个交点，由导数求得函数的单调区间，由（2）中结论，通过数形结合，得到，由，得，由函数在上单调性得，即可求得，同理由，通过函数在上单调性得，即可求得，即可得证. 【详解】（1）由得函数定义域为， 且，令，即，∴． 当时，，当或时，， 所以在上单调递增，在和上单调递减. （2）． 令， ，故在上单调递增． ，即． 由（1）可知在单调递增，，∴， 即，即曲线恒在曲线的上方． （3）令，得或 由题意得直线与两条曲线共有四个交点． 对于且， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递减，             同（2）可证，当时，曲线恒在曲线的下方 如图所示，，且． 由，得． ，且在上单调递减， ，即．． 同理：，得， ∵，且在上单调递增， ∴，即，∴. 故，即，得证． 题型05 与切线不等式结合 利用切线放缩 同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】 利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形） 33．（2026高三·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案. 【详解】因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又， 所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即. 34．（2026高三·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，即可得出，参变分离可得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，恒有，则， 即， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，且， 由可得，则， 参变分离可得，构造函数，其中， ， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即实数的取值范围是. 35．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用 将原不等式变形，结合重要不等式 进行求解，推得 ，并验证该范围恒成立，求得实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以原不等式转化为， 将 代入，得：，整理得：， 设，则，令，可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以对任意 ， 所以，当且仅当 时，等号成立， 当 时，， 不等式变为：， 因为 ，所以必须满足：，即， 当 时，原不等式为：，即：， 令 ，则不等式化为 ，显然恒成立， 当且仅当 （即 ）时取等号， 当 时，在 （即 ）处，左边为 ，右边为 ，不等式不成立， 所以实数 的取值范围为. 36．（2026高三·全国·一轮复习）若时，恒有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先对已知不等式进行等价变形，构造常数函数并求导，进而转化不等式为，令，求导并分析函数单调性，利用零点存在定理得出，进而讨论求解． 【详解】已知时，恒有， 原式等价于， 令，构造辅助函数， 求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，即为最小值，故， 不等式变形为， 令，求导得，单调递增， 时，，时，， 则存在使得， 当时， ，，， 对任意恒成立； 当时，记，， 则，，由得，与矛盾； 综上． 37．（2026高三·湖北武汉·期中）已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【分析】先将不等式变形为，令，化简不等式，设，求导判断单调性，得到等价于，即，令，求导判断单调性，求出的最小值，进而求得结果. 【详解】化简不等式为，即. 令，则不等式变为. ，求导得，所以在上单调递增， 又，所以等价于，即. 变形得，令，求导得. 令，解得，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以在处取得最小值，即. 所以要使得不等式恒成立，则，所以. 所以实数的最大值为. 题型06 同构应用——比较大小 1. 题干特征：多个含指数/对数实数，无方程，仅比 、、 大小； 2. 操作步骤： ① 对每个式子变形，整理成完全相同结构； ② 构造统一函数 ； ③ 求导判断 单调性； ④ 比较自变量大小，推出函数值大小； 3. 高频构造：、、； 4. 技巧：自变量不在同一区间时，利用对称性、换元转换到同一单调区间。 38．（江西萍乡市2025-2026学年第二学期期末考试高三数学试卷）已知实数，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】即，，同理可得，，构造函数，通过求导判断函数单调性即可判断. 【详解】即，，同理可得，，设，那么， 当时，，故， 当时，，故， 在上单调递增，时单调递减， 所以， 由于， 所以，，又，，， 又在上单调递增， 所以，即. 39．（2026高三·福建三明·期末）已知正实数x，y，z，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数，将x，y，z表示出来，通过构造函数比较大小． 【详解】设，因为x，y，z为正实数，故； 则，，； 则，，； 只需比较即可；设； 则，当时，，单调递增， 故， 故； 因为，故，， 故，故． 40．（2026高三·江西吉安·期末）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，令，求导得， 令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因为，所以， 所以，即， 综上，． 41．（2026高三·福建泉州·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，根据单调性比较其大小. 【详解】设，则，令，得. 当时，，所以在上单调递减， 由，且， 所以，即. 令，所以， 设，，令，得， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以. 又为增函数，所以， 即，所以. 42．（2026高三·山西晋城·阶段检测）已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给的值有相同的形式，进而构造函数，并用函数的导数判断函数的单调性，再利用单调性判断函数值的大小可得. 【详解】因为，， ， 令，则. 又因为，令，得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因为，所以， 因此. 题型07 同构应用——求值 1.特征：给出含、混合指对方程，求代数式定值； 2.步骤： ①移项配凑，两侧构造相同单调函数； ②单调函数满足； ③得到与参数等量关系，直接代入目标式求值； 3.关键：必须证明严格单调，才能由函数值相等推出自变量相等； 4.常见结论：。 43．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知是方程的一个根，则的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】化简方程，利用构造函数法，结合导数求得，由此求得的值. 【详解】依题意，， 由，得， ， 设单调递增， 由得， 即，即，所以， 所以. 故选：B 44．（2026高三·江西南昌·阶段检测）设为正实数，若实数是关于的方程的解，则_______ 【答案】0 【分析】根据题意，化简得，令，求得为增函数，转化为，得到，进而得到，求得，即可求解. 【详解】由方程，变形可得， 即， 令，则，所以为单调递增函数， 因为，可得，可得，即， 又因为实数是关于的方程的解， 可得，可得，所以0. 故答案为：0 45．（2026·广东·模拟预测）已知满足 ，则_______． 【答案】3 【分析】原方程可化为，结合函数的单调性可得，故可求目标代数式的值. 【详解】因为，故， 因为，故，所以，设 则，故在上为增函数， 故，故，且，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：对于与指数、对数都出现的代数式，注意利用同构结合新函数的单调性进行转化. 46．（2026高三·吉林长春·期末）已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】由题设得，且，构造且并应用导数研究其单调性得，再将问题化为求直线（为参数）上的点到原点距离的平方的最小值，即求且的最小值，应用导数研究其最小值即可. 【详解】由题设，则，， 由，可得，即， 令且，则，故在上单调递减， 由上，故，依题意即在区间上有解， 所以表示直线（为参数）上的点到原点距离的平方， 由原点到直线的距离，故， 令且，则， 所以在上单调递增，则，即的最小值为. 故答案为： 47．（2026高三·山东枣庄·期中）已知实数满足，则_____________. 【答案】 【分析】令，求出，根据证明，令，求出的递增区间，根据，求出，求出. 【详解】由条件得，， 令，，则， 因为，所以， 令，则， 显然当时，， 在上单调递增， 因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 题型08 同构应用——解决不等式恒成立问题 1.通用四步： ①移项变形，将所有项整理为两侧同构形式； ②构造单调辅助函数； ③由脱去外层函数，化简代数不等式； ④参变分离，构造单变量函数，求最值确定参数范围； 2.区分： 恒成立区间最值满足不等式； 存在性区间存在值满足不等式； 3.避坑：同构脱去外壳后，必须保留原函数定义域约束。 48．（2026高三·江苏南京·期末）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调递增性将问题转化为对恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围. 【详解】原不等式移项得：， 令，则，， 设，， 故在上单调递增； ， 原不等式等价于： 又单调递增，则， ，令， 求导：，令，得， 当时，，递增；当时，，递减， 因此， 要使得对所有成立，只需. 故答案为： 49．（2026·四川巴中·模拟预测）若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 【答案】 【分析】将原不等式变形为，构造函数，得到在R上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】左右两边同时加，并将移项得 ， 整理得， 设，，故在R上单调递增， 则原不等式可化为， 所以， 整理得， 令，，设，， 则，令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 对方程，，故存在实数使成立， 所以，即. 故答案为：. 50．（专题07函数与导数核心考点深度剖析与压轴题解答策略（专题专练））若不等式恒成立，则正数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】令，得到关于的函数，求导结合题意需满足，求解即可. 【详解】将变形为， 令，又和在上都是单调递增， 故在上是单调递增且， 原不等式化为， 设，则， 由题意知，令，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故函数在处取最小值，， 由题意可知不等式恒成立，需满足， 即，可知， 故答案为：. 51．（2026·云南大理·模拟预测）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】将问题转化为恒成立，根据的单调性得出，再利用导函数求出的最小值即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 即恒成立， 令，因为在上单调递增，所以，故， 即在时恒成立即可， 设，，则，， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增，则，所以， 又，所以a的取值范围为． 故答案为： 52．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将不等式变形构造得到恒成立，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数研究函数的最大值. 【详解】因为且， 所以，即， 令，易知恒成立，则单调递增． 因为， 所以， 则，即， 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为． 故答案为： 题型09 同构应用——求最值 1.题干：两个变量满足同构型等式，求、等代数式最值； 2.流程： ①等式配凑同构，构造单调； ②由得等量关系； ③消元，将目标式化为单变量函数； ④导数求区间最值； 3.适用：、分别在指数、对数两侧的约束条件。 53．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值. 【详解】由题意，，得， ∴，即， 又，得 ∵在上单调递增， ∴综上知：， ∴， 令，，则 ∴，得；，得； 故在上单调递减，在上单调递增. ∴， 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值. 54．（2026·江西·模拟预测）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过、解析式，的值求得关于的表达式，结合导数求得所求的最小值. 【详解】的定义域为，所以，.. ，，则， 又因为，所以， 令，则， ，当时，，递增， 所以，则， ，， 所以在区间递减；在区间递增， 所以的最小值为，即B选项正确. 故选：B 【点睛】含参数的多变量的题目，结合方法是建立变量、参数之间的关系式，主要方法是观察法，根据已知条件的结构来进行求解. 55．（2025届高三数学信息检测原创卷（二））已知函数，，若，，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据，构造函数，根据可得，构造函数求导可得解． 【详解】因为，所以， 所以． 因为，且， 所以． 令，则，， 当时，，则单调递增，所以，即， 则．令，则， 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，所以，即的最大值为， 故选：B． 56．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数的零点为，零点为，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和的零点求得的关系式，由此化简，再结合导数求得的最大值. 【详解】由题意，可得，所以 则，所以. ，得， 则， 对于函数，， 所以在区间上，函数单调递增，所以， 所以，令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以． 故选：B 【点睛】本题中，和的零点与之间的关系是求解问题的突破口，解题过程中，需要根据零点、对数运算以及结合导数来进行求解. 57．（2026高三·浙江嘉兴·期末）已知函数，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数， ，因为，其中， 所以，，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理. 58．（2026高三·山西太原·阶段检测）已知函数，，若，其中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用条件代入得到和是方程的二根，继而判断单调性及值的分布得到=，化简所求式，再利用单调性研究其最大值即可. 【详解】已知函数，，，故，即，故和是方程的二根. ，时，时， 即在上递减，在上递增，又时， 只有一根，故=，则，而 故，设，，则，得 时，时， 即在上递增，在上递减， 时，取得最大值为，故的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性和最值问题，属于中档题. 59．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）已知函数，，若，，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，由在单调递增得，即，则，利用导数求出的最小值即可. 【详解】，① ， ，② ， 由① ②得， 因为当时，， 所以在单调递增，，则，. 令，则， 令，解得，令，解得， 故在单调递减，在单调递增，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据方程的特点得出，即，将问题化为求得最小值. 60．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用同构的方法，由结合可得，即，构造函数，运用导函数即可求得的最大值. 【详解】，当时，单调递减， 因为，及， 得，所以． 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为，即的最大值为． 故选：B 题型10 同构应用——证明不等式 1.思路一（纯同构）： 左右配相同结构，构造单调函数，利用单调性直接比较； 2.思路二（同构+放缩）： 无法完全同构时，先用、局部放缩，再同构； 3.证明规范： ①写出构造函数，求导证单调； ②利用单调脱去函数符号； ③逐步逆推，还原原不等式； 4.注意放缩等号条件不能冲突。 61．（2026高三·河南新乡·开学考试）已知函数. (1)判断极值点的个数； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先对求导，再构造函数，利用导数研究的图像，从而分类讨论与，得到的正负情况，由此得解； （2）利用同构法得到，再构造函数，从而将问题转化为证明，再构造函数，由此得证. 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，若，则，若，则， 所以只有一个极值点； 当时，存在，，使， 当时，；当时，； 所以若，则；若，则；若，则；若，则； 所以有三个极值点； 综上，当时，只有一个极值点；当时，有三个极值点. （2）， 令，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以， 令，则等价于， 因为，所以等价于， 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为，所以，故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 62．（2026高三·河南·阶段检测）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求证：在上恒成立； （3）求证：当时，． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）方法一：函数定义域为，，进而分，，三种情况讨论即可得函数单调区间； 方法二：函数定义域为，，由于，故分和两种情况讨论求解即可； （2）由（1）得当时，在单增，故．故在上恒成立； （3）方法一：由（2）知，当时，，即，当时，．进而将问题转化为证．故令，研究单调性即可得答案； 方法二：要证，只需证，只需证．故设，只需证．进而研究得在单减，故转化为只需证即可，再设，易得． 【详解】（1）法1：函数的定义域为， ， 当时，在区间成立，故，即在单增； 当时，，在区间成立，故，∴在单增； 当时，，设两根为，则， 当或时，，，当时，，，故在单减，在和单增． 综上：当时，在上是增函数； 当时，在单减，在和单增． 法2： 函数的定义域为， ∵， 当时，，在上是增函数； 当时，，解得， ，解得或． ∴在单减，在和单增． （2）当时，在单增，故在单增， 所以．所以在上恒成立； （3）法1：由（2）知，当时，，即，当时，． 要证，只需证，只需证． 令，， ，， ∴在单增，即． 法2： 要证，只需证，只需证． 设，只需证． 则 令，则，， ，∴在单减．故只需证即可． ，，． 所以原不等式成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于合理利用分类讨论思想求解，再证明求解过程中注意各个问题之间联系.值得注意得是在第三问的求解过程中，利用第二问的结论，将问题适当放缩，转化为成立；或者利用同构式，进行等价变换，将问题转化为证，进而设，研究函数单调区间进一步化简转化为证即可. 题型11 同构应用——解决函数零点问题 1.核心转化：函数零点，移项配指对同构； 2.操作： ①零点方程变形，统一构造； ②由单调性，得到零点满足的等量关系； ③转化为单变量方程，结合函数图像、极值判断零点个数； 3.考法： ①已知零点个数求参数范围； ②两零点满足等式证明； 4.关键：同构简化复杂超越方程，避免多次求导讨论。 63．（2026高三·山东菏泽·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数的零点转化成方程的根，构造函数，再通过同构，构造函数，利用单调性求出的值域，进而得出的值域，从而求出结果. 【详解】因为，由，得到，所以， 令，令，则在区间上恒成立， 即函数在区间上单调递增，又时，，时，，即， 所以，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且当时，，当时，， 又因函数有两个不同的零点，所以，即. 故选：.C 64．（2026高三·福建龙岩·期中）已知且，若函数有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】令，同构可得，构建，令，分析可知与有2个不同的交点，利用导数分析的单调性和最值，结合的图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 令，则，可得， 构建，可得， 令，注意到且，则在内单调递增， 可知与有2个不同的交点， 对于函数， 令，则，解得；令，则，解得； 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于时，趋近于0， 可得的图象如图所示：      由图象可知：，则且，可得且， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 65．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数，. （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可． 【详解】（1）定义域为：， 当时，. ∴在时为减函数；在时为增函数. （2）记，则在上单增，且.∴ .∴在上有两个零点等价于在上有两个零点. ①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点； ③在时，由可知在时有唯一的一个极小值. 若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 66．（2026·福建漳州·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明：由（1）记，可设，则. 令，， 则，所以在上单调递增， 所以. 因为，所以， 即，所以. 又函数在上单调递减，且， 所以，即， 所以， 即. 因为，所以. 又因为，所以. 又由（1）知函数在上单调递增， 所以，即， 所以，所以. 【分析】（1）方程变形为，令，，利用单调性转化方程有两个不等的实根，，引入函数，由导数确定其性质（单调性与极值）后可得结论； （2）记，可设，则，引入函数，，由单调性证得，即，再转化为的不等式，由基本不等式，从而有，即，不等式变形为，利用函数的单调性得出，平方后取对数即证得题设不等式成立． 【详解】（1）函数有两个不同的零点， 即方程有两个不相等的正根， 即方程有两个不相等的正根. 令，， 易知在上单调递增，， 令，则问题等价于方程有两个不等的实根，. 令，，则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，函数取得最小值， 当时，，当时，，所以， 即当时，方程有两个不等的实根. 综上所述，实数的取值范围是. （2）略 【点睛】难点点睛：本题考查函数的零点、不等式恒成立问题，难点在于零点的转化，不等式的证明． （1）本题利用证明中用到的函数的性质，由于的零点与的零点是一对一的，，由，我们构造函数，确定其单调性证得，这是第一个难点， （2）题设不等式可变形为，因此只要能证明即可得证，这是第二个难点（变形）， （3）由，不等式首先利用基本不等式得出，这是第三个难点；（4）证明，这是第四个难点（（2）中转化为证明），然后才能由函数的单调性得结论． 67．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科押题卷（六））已知函数的单调递增区间为． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的单调递增区间为，得出函数在处取到极值，即可求解； （2）由（1），令得，令得，若有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，此时,令的单调性即可求解． 【详解】（1）由题，的定义域为，， 由于函数的单调递增区间为， 因此函数在处取得极值， 故，解得． 因此，令，解得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减，符合题意， 故， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知， 则， 令，得． 令， 则，整理得． 因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，， 所以函数的最大值为，即． 若有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，此时, 令，则， 所以函数在上单调递增，且当时，， 易知若有两个零点，则直线与函数的图象有一个交点， 因此，所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $