湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026学年度第二学期 八年级期末考试·数学 时量：120分钟总分：120分命题：王志远、宋翔飞审题：彭傲、柏雨薇 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（) A.x+y=2B.x-1=1 C.x2-13=0 D.2x+1=0 2.下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A.V0.5 B.V7 c目 D.v4 3.关于x的一元二次方程4x2-3x+1=0的根的情况是（) A.必有两个相等的实数根 B.必有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.必有实数根 4.如下图，四边形ABCD是平行四边形，若∠A+∠C=80°，则∠A的度数是() A.100° B.80° C.60° D.40° 5.在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数y=2x-3的图象的是() 6.如下图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是() A.当∠BAD=90°时，它是矩形 B.当AC=BD时，它是矩形 C.当OA=OB时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是矩形 D A 第4题图 第6题图 7.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x,则下 面所列方程正确的是() A.289(1-x)2=256 B.256(1-x)2=289 C.2891-x2)=256 D.2561-x2)=289 试卷第1页，共5页 8.将抛物线y=x2-2向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是() A.y=x2-3 B.y=(x-1)2-2 C.y=x2-1 D.y=(x+1)2-2 9.如图，直线y=2x+m与y=nx-1（n≠0)的交点的横坐标为-2，则关于x的不等式 2x+m>x-1的解集为() A.x<-2 B.x≤-2 C.x>-2 D.x≥-2 10.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x=1,图象 与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①bc<0;②2a+b=0;③方程ax2+bx+c=0一定有 个根在2和3之间：④若m为任意实数，则a(m-(m+山≤b1-m:⑤a<、其中正 结论的个数为() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 y=nx- D -2 y=2x+m 第9题图 第10题图 第14题图 第16题图 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分) 11.若式子√x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 12.一个多边形的内角和与它的外角和之比为3：1，则这个多边形的边数是 13.若x=2是一元二次方程x2-ax+6=0的一个根，则另一个根为 14.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5,BC=8,则EF 的长为 15.若关于x的一次函数y=(2-m)x+3的图象经过点P(1,y1)和Q(2,y2),若y>2, 则m的取值范围是 16.如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正 方形的面积是25，若用x,y表示直角三角形的两条直角边(x>y),请观察图案，求xy= 三、解答题（共9小题，17,18,19每小题6分，20,21每小题8分，22,23每小题9分， 24,25每小题10分，一共72分) 17.计算：2-V2+()1-2026°-V9 18.解方程：(1)(x-1)2=25;(2)x(x+6)=-5(x+6). 试卷第2页，共5页 19.如图，直线：y=-x+3分别与x轴、y轴交于人、B两点.过点B的直线6：y=x+3交 2 x轴于点C. (1)求点A、点B的坐标； (2)求△ABC的面积. 20.若x,x2是关于x的一元二次方程x2-4x+k-2=0的两个实数根. (1)求出实数k的取值范围： (2)若方程的两个实数根满足x+x2一x·x2=1,求k的值. 21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=AD,对角线AC平分∠BAD,过点D作 DE⊥BC,垂足为E. (1)求证：四边形ABCD为菱形； (2)若BE=8,DE=4,求CD的长. 22.为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以 看作是抛物线的一部分.如图，在某次练习中，小明投掷时出手点P距水平地面的高度OP为 1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地 点为M,以O为原点，OM所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. (I)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次 Ay/m 练习小明同学能否得满分 3m 0k-4m M x/m 试卷第3页，共5页 23.已知关于x的一次函数y1=(k+1)x-2k+3,其中k≠-1. (1)若点(3,9)在y1的图象上，则k的值是 ； (2)当-2≤x≤3时，若函数有最大值8，求y1的函数表达式： （3)对于关于x的一次函数y2=m(x+1)+6,其中m≠0.当k<-1时，若对一切实数x, y1<2都成立，直接写出k的取值范围. 24.定义：在菱形ABCD中，若直线MN平行于菱形ABCD的一条对角线，其中点M,N为凸四 边形ABCD边上的点（异于项点），则称线段MN为菱形ABCD中关于此对角线的“中轴弦”. 如图1，若MNIIAC,则称线段MN为菱形ABCD中关于AC的“中轴弦” (1)若AB=8,BD=8V2,线段MN为菱形ABCD中关于AC的“中轴弦”，且M、N分别是 各边上的中点，∠B的度数为；MN的长度为 (2)如图2，在菱形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，连接AN、CM相交于点O,连 接BO,∠ABO=∠OBC,求证：MN为菱形ABCD中关于AC的“中轴弦”. (3)如图3，EF、GH是菱形ABCD中关于AC的“中轴弦”，且位于AC异侧，AC与BD交于 点I,连接IE、IF、IH、IG、EH、FG,记凸四边形EFGH,△IEF,△IGH的面积依次为S, S1,S2,四边形EFGH的周长为C,若S+S2=S,试用含C与S的式子表示1E+1G. M 图1 图2 图3 试卷第4页，共5页 25.如图，抛物线y=mx2-8mx+12m(m>0)与x轴交于A,B两点（点B在点A左侧)，与 y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD,延长 AD交y轴于点E. (1)若m=2,求点C的坐标和线段AB的长度； (2)若对任意m>0,C、E两点总关于x轴对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）： (3)当点D运动到某一位置时，恰好使得点D是线段AE的中点。 ①求证：OC=2OE; ②该抛物线上存在任意一点P(0,o),若此时恰好满足OD-三，且对于动点P(x,) OA-OB6 总有实数n满足-n2+3n≤y+9my。-16m2恒成立，求实数n的取值范围。 试卷第5页，共5页 湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026学年度第二学期 八年级期末·数学答案 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C B C D A D A B C B 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.x≥2 12.8(八) 13.x=3 14.1.5 15.m>2 16.28 三、解答题（共9小题，17,18,19每小题6分，20,21每小题8分，22,23 每小题9分，24,25每小题10分，一共72分) 17.计算：2-2+(2)-1-2026°-V9 解：原式=2-√2+2-1-3 =-V2 18.(1)解：(x-1)2=25 (2)解：x(x+6)=-5(x+6) x-1=±V25 x(x+6)+5(x+6)=0 x-1=5或-5 (x+6)(x+5)=0 x1=6,x2=-4 ∴.x+6=0或x+5=0 .x1=-6,2=-5. 19。(1):直线：y=+3分别与x轴，y轴交于4，B两点 令x0,3:令0，即-x+3=0,解得x=2. .点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,3) (2):直线：y=2+3交x轴于点C, 令0，即x+3=0,解得x=-6. ∴.点C的坐标为(-6,0)， .AC=8. ∴.SABCD=2AC-OB=2×8×3=12. 20.(1)解：由题意得，△=（←4）2-4(k-2) =16-4k+8 =24-4k≥0， 解得k≤6； (2)解：由题意得，x+x=4,xx2=k-2, .x+x2-1x2=1 ∴.4-(k-2)=1, 解得k=5<6,符合题意， 21. (1)证明：.'AD∥BC .AB=AD ∴.∠DAC=∠BCA. ∴.BC=AD ,对角线AC平分∠BAD, 又，AD∥BC '.∠BAC=∠DAC ∴.四边形ABCD为平行四边形 .·∠BAC=∠BCA .AB=AD ∴.AB=BC. ∴.平行四边形ABCD为菱形. (2)解：设CD=x .四边形ABCD为菱形 ∴.BC=CD=x. DE=4,BE=8, D ∴.CE=BE-BC=8-x, ,DE⊥BC ∴.在Rt△DEC中 C ∴.DE2+CE2=CD2 .42+(x-8)2=x2 解得x=5 .CD的长为5. 2 22.（1)解：根据题意可知，抛物线的顶点为(43)，点P坐标为(0,1.8) 设抛物线的顶点式为：y=a(x-4)2+3, ∴.1.8=a(0-4)2+3, .a=-3 0 二抛物线的表达式为：y=一0红-42+3 (2)由《D知抛物线表达式为)=(-4+3，出手点与落地点的水平距离， 即点O和点M之间距离， 当=0时，0=动-4+3， 解得x=4+210,x2=4-210, 点M坐标为(4+210,0)或(4-2i0,0), ,点M在x轴正半轴， ∴.(4-20,0)（不符合题意，舍去）， .0M=4+210, 36<40<49, .6<210<7, .10<4+210<11, ∴小明此次练习能得满分。 23.解：(1)(3,9)代入y1=(k+1)x-2k+3 得3(k+1)-2k+3=9 解得：k=3 (2)当+1>0，即k>-1时，1=(k+1)x-2k+3随x的增大而增大， ∴.当-2≤x≤3时，若x=3,有最大值y=8, 由条件可得3(k+1)-2k+3=8, 解得k=2, 此时一次函数解析式为y=3x-1; 当k+1<0,即k<-1时，y1=(k+1)x-2k+3随x的增大而减小， .当-2≤x≤3时，若x=-2时，有最大值y=8, 由条件可得-2(k+1)-2k+3=8, 解得k=一子 此时一次函数解析式为=一x+号 综上，n的函数表达式为n=3x-1或1=-x+ 2 （3)2=m(x+1)+6=mx+m+6, 对一切实数x,y1<2都成立， 两条直线平行，且y一直在y2下方， ∴.k+1=m且-2k+3<m+6, ∴.-2k+3<k+1+6 “k>-等 又，k<-1 -<k<-1. 24解：(1)∠B=90°，MN=4V2 (2)在菱形ABCD中，AB=BC, ∠CAD=∠ACD .'∠ABO=∠OBC 公 ∴.△ABO≌△CBO(SAS ∴.AO=CO∴.∠OAC=∠OCA ∴.△ACN≌△CAM(ASA) ∴.AN=CM则MO=NO ∴.∠OMN=∠ONM=∠OAC=∠OCA ∴.MN∥AC,即MN为菱形ABCD中关于AC的“中轴弦” (3)由题可知EF∥AC,GH∥AC,∴.EF∥GH 由菱形ABCD可知GH⊥BD,EF⊥BD 设点I到EF的垂线段长为h,点I到GH的垂线段长为h2, 则两条平行线EF与GH之间的距离h=h+h2 S-F%,=古0Ha 1 .梯形EFGH s=EF+GHa+） .S+S2=7S ÷FA+GH%=eF+GH+h) 整理得(EF-GH)(h-h2)=0 A E D ∴.EF=GH或h1=h2 记BD与HG交于点J,与EF交于点K 当h=h2时易证△BJG≌△DKF≌△BJG≌△DKF B G 得EF=GH又EF∥GH ∴.四边形EFGH为平行四边形 ,AC⊥BD 易得∠HGF=90°，可得平行四边形EFGH为矩形 设GH=x,GF=y .'.S=xy,C-2(x+y) Rt△IUG中，1G2=J2+JG2 Rt△IEK中，IE2=EK2+KI2 则E+o=2o=2行+2G=+y :x2+y2=(x+y)2-2xy go-)-2s--s 5 25.解：(1)当m=2时，y=2x2-16x+24, 当y=0时，2x2-16x+24=0 X1=2,x2=6 B(2,0),A(6,0) 则AB的长度为4 当x=0时，y=24 C(0,24) (2)由题可知点C(0,12m), ,对任意m>0,C、E两点总关于原点对称， .必有E（0,-12m), 设直线AE的解析式为y=a+b, 将E(0,-12m),A(6,0)代入，可得 8+2,8解得货二2m2m b=-12m1 ∴.直线AE的解析式为y=2mx-12m, ,点D为直线AE与抛物线的交点， ∴解方程叱=--0，可种化二4n二6（点4合去）， 即点D的坐标为(4，-4m); (3)(I)由题可知点B(2,0),A(6,0)∠AOE=90 ,点D是线段AE的中点 ∴OD=。AE=AD,即点D在AO的线段垂直平分线上 2 .点D的横坐标为3，代入抛物线解析式得D点坐标(3，-3m) 则由线段AE的中点，可得点E坐标(0，-6m) .点C坐标为(0,12m) .'OC=20E (Ⅱ)由(I)可知D点坐标为(3，-3m) 20-月 2 0D2=50A0B=10 6 .根据点到原点的距离公式可得9+9m2=10 m=即m=m>0) 则抛物线解析式为y=亏 +40-4- 12_8 3 ,动点P（xo,yo)在抛物线上 .y2-3 令7=8+93-16m=8+3-9 C 其对称轴%=- 则当%>一2时，T随%的增大而增大 X 4 当时，T有最小值，7641 9 .-n2+3n≤-4，即n2-3n-4≥0 .∴.n≥4或n≤-1 >