第21章 一元二次方程（暑假单元自测）新八年级数学新教材沪教版五四制

**基本信息** 沪教版初中数学一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式及应用等核心知识点，通过基础题与综合探究题梯度设计，适配暑假巩固提升，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|如第1题考一元二次方程定义，第5题结合增长率实际问题|基础概念与应用结合，第6题多选项判断提升推理能力| |填空题|11/22|如第14题球队比赛场次方程，第17题新运算定义|联系生活情境，第16题比较代数式值渗透数学思维| |解答题|7/60|如22题茶叶销售利润计算，24题双二次方程阅读探究|22题体现模型意识，24题通过阅读材料培养创新意识，符合中考命题趋势|

第21章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一验证即可． 【详解】解：选项A：中未说明，当时方程不是一元二次方程， ∴A错误； 选项B：分母含有未知数，是分式方程，且含有两个未知数， ∴B错误； 选项C：整理得，未知数最高次数为3， ∴C错误； 选项D：整理得，符合一元二次方程的定义， ∴D正确． 2．若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，只需计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：选项A：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项B：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项C：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项D：方程整理为，得，，方程有两个不相等的实数根． 4．如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 5．某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设前年该工厂的利润为单位，分别用两种方式表示今年的利润，根据相等关系列出方程即可． 【详解】设前年该工厂的利润为单位， ∵去年利润比前年减少，今年计划比去年增长， ∴今年计划完成后的利润为 ； ∵两年平均增长的百分数为，即从前年到今年经过两年平均增长，年均增长率为， ∴今年的利润也可表示为 ； 由于两种方式表示的今年利润相等，因此可得方程． 6．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．方程的解是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 8．已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 9．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 10．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】因为关于的方程有实数根，当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式，可得，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：当时， 方程为， 解得：， 方程有一个实数根； 当时， 整理可得：， 关于的方程有实数根， ， 解得：； 综上所述，当时，方程有实数根． 11．已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 【答案】1 【分析】将配方后的方程展开为一般形式，根据对应系数相等求出和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将展开，得 ， 一元二次方程可以配方成， 由对应系数相等可得， 解得，， 将，代入，得． 12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】由根与系数的关系求出的值，再把所求式子通分得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 13．设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 14．学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 每两支球队之间比赛一场，总比赛场数为从x支球队中选取2支的组合数，即，根据题意总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 15．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为____米． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米，根据停车位总占地面积为288平方米，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 即车道的宽度为6米． 故答案为：6． 16．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 17．定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义可得，解方程即可． 【详解】解：， 解得， 故答案为． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）解方程： 【答案】，． 【分析】令，得到关于的方程，利用配方法求得，，进而求出的值即可． 【详解】解：令，代入方程得， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，， 当时，， 原方程的解为，．..........................................6分 19．（本题6分）用公式法解方程：． 【答案】 ， 【分析】找准方程各项系数，正确计算判别式后代入求根公式求解即可； 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴代入求根公式得， ∴，．..........................................6分 20．（本题6分）在实数范围内分解因式：． 【答案】 【分析】首先将原式等于，解关于的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解令， ， ， 解得，， ．..........................................6分 21．（本题8分）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴，..........................................4分 ∴， ∴或， 解得或，..........................................6分 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为．..........................................8分 22．（本题8分）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． (1)若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 【答案】(1)这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为． (2)该茶叶礼盒的售价应降价5元． 【分析】（1）设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x，根据“该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒”列方程求解即可； （2）设该茶叶礼盒的售价应降价a元，根据“7月份这款礼盒的总利润达到4600元”列方程求解，再结合降价后的单盒利润不低于24元取合适的解即可． 【详解】（1）解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为．..........................................4分 （2）解：设该茶叶礼盒的售价应降价a元， 由题意得，， 化简，得， 解得，． 因为降价后的单盒利润不低于24元， 所以，即， 所以不合题意，舍去． 答：该茶叶礼盒的售价应降价5元．..........................................8分 23．（本题12分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【答案】(1)见解析 (2)，根为，；或，根为1，2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【详解】（1）证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；..........................................4分 （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或，..........................................9分 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2．..........................................12分 24．（本题14分）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或..........................................4分 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得；..........................................9分 （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得．..........................................14分 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 5．某工厂因生产技术落后等因素，造成去年的利润比前年减少了．该工厂今年年初开展了技术革新，计划今年的利润比去年增长，设该工厂按计划完成任务后今年和去年这两年平均增长的百分数为．则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．方程的解是_____． 8．已知，则______． 9．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 10．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 11．已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 13．设，是方程的两个根，则________． 14．学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 15．如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．则车道的宽为____米． 16．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 17．定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）解方程： 19．（本题6分）用公式法解方程：． 20．（本题6分）在实数范围内分解因式：． 21．（本题8分）解方程：． 22．（本题8分）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒．已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒． (1)若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； (2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒．若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 23．（本题12分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 24．（本题14分）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $