第20章 二次根式（暑假单元自测）新八年级数学新教材沪教版五四制

**基本信息** 沪教版初中数学二次根式单元卷，通过基础题与情境创新题结合，覆盖最简二次根式、运算等核心知识点，适配暑假巩固提升，培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6/18|最简二次根式、有理化因式、运算|第5题结合矩形面积考二次根式应用，体现几何直观| |填空|11/22|倒数、比较大小、同类二次根式|第16题规律探究，培养推理意识；第15题无理数小数部分，发展抽象能力| |解答|7/60|混合运算、化简求值、实际应用|第23题高空抛物情境，联系社会热点，强化应用意识；第24题规律计算，提升数学思维|

第20章 二次根式 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若，则（） A． B． C． D． 5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 6．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．计算：______． 8．的倒数是_____． 9．计算：的结果为___________． 10．计算：__ ． 11．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 12．如果 ，那么 ________． 13．不等式的解集是_______． 14．已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 15．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小林用来表示的小数部分．事实上，小林的表示方法是有道理的，因为，即的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．如果的小数部分为a，的整数部分为b，则______． 16．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 17．规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）计算：． 19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）计算：． 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题8分）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 23．（本题12分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 24．（本题14分）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含分母且每个因式的指数都小于2． 本题考查了最简二次根式，掌握基本概念是解题关键． 【详解】A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． 2．下列各式中互为有理化因式的是（     ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题根据有理化因式的定义解题，即两个含有根式的代数式相乘，若乘积不含有根式，则两个代数式互为有理化因式，计算各选项中两个代数式的乘积，判断乘积是否含有根式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，乘积仍含有根式，因此A不符合题意； 对选项B， ，乘积是不含根式的整式，因此B符合题意； 对选项C，，乘积仍含有根式，因此C不符合题意； 对选项D，，乘积仍含有根式，因此D不符合题意． 3．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A，，A计算错误； 对选项B，，B计算正确； 对选项C，，C计算错误； 对选项D，，D计算错误. 4．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 6．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．计算：______． 【答案】/ 【详解】解：． 8．的倒数是_____． 【答案】/ 【分析】根据倒数的定义写出所求表达式，再利用平方差公式进行分母有理化化简即可得到结果． 【详解】解：的倒数是： ． 9．计算：的结果为___________． 【答案】/ 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 10．计算：__ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先计算分母的差值，通过通分合并为单一分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的规则，最后有理化分母得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 12．如果 ，那么 ________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的非负性求出的值，再代入式子求出的值，最后即可求解． 【详解】∵， ∴据题意可得，，解得：， ∴， ∴，解得：， ∴． 13．不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式步骤求解即可，最后需要进行分母有理化． 【详解】解： ， ． 14．已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 15．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小林用来表示的小数部分．事实上，小林的表示方法是有道理的，因为，即的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．如果的小数部分为a，的整数部分为b，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．先估算出与的大小，可得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． 16．观察下列各式： ，，， 请利用你所发现的规律， 计算， 其结果为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的应用，根据已知规律，每个根式可化为的形式，然后求和，利用裂项相消法计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由规律可知，，其中从开始， 故 ， 故答案为：． 17．规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【答案】2 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．根据题目先判断的整数部分，再根据加减法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先确定、，再根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：∵、中， ∴、， ∴ ．..........................................6分 19．（本题6分）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式乘除运算法则，分别计算系数部分和被开方数部分，再化简即可得到结果． 【详解】解： ．..........................................6分 20．（本题6分）计算：． 【答案】 【分析】先运用二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】解： ..........................................6分 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可． 【详解】解： ；..........................................6分 当时，．..........................................8分 22．（本题8分）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根；..........................................4分 （2）解：∵，， ∴， ∴ ．..........................................8分 23．（本题12分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)小明说物体从的高空落到地面的时间是从的高空落到地面时间的倍，他的说法正确吗？请说明理由； (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（），某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：砸伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)说法不正确，理由见解析； (2)这个鸡蛋在下落过程中所带能量为； 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人． 【分析】本题考查的知识点是二次根式的应用，解题关键是理解公式，正确运算代入求值． （1）将、分别代入公式求出时间，再进行比较即可得解； （2）利用公式求出，代入能量计算公式即可得解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 由题意得，当时，， 当时，， ， 说法不正确；..........................................6分 （2）解：当时，， 解得， 鸡蛋下落过程中所带能量为， ， 启示：严禁高空抛物，一个鸡蛋都能砸伤人．..........................................12分 24．（本题14分）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；；..........................................4分 （2）解： ；..........................................10分 （3）解： ．..........................................14分 试卷第1页，共3页 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $