第3单元 03 第18讲 导数与函数的极值、最值（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦导数与函数的极值、最值高考核心考点，依据课标要求构建“概念-判定-应用”知识体系，涵盖极值定义与条件、最值求解方法及实际应用。通过考点梳理、方法总结、真题训练三环节，帮助学生系统掌握导数工具，突破极值判定、参数求解等难点。 讲义创新采用“微点突破+分层训练”模式，如通过表格归纳不等式与最值关系培养数学语言表达能力，在“已知极值求参数”微点中强化逻辑推理的数学思维。设置常识题、常错题及变式题分层练习，配合总结反思，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统支撑。

第18讲　导数与函数的极值、最值 【课标要求】　1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值. 3.对于多项式函数,能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值. 4.体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值的作用. 1.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧　　　　,右侧　　　　.则a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.  (2)函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧　　　　,右侧　　　　.则b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.  极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2.函数的最值 (1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么f(x)必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最小值为　　　　,最大值为　　　　;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  3.实际应用题 理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题. 常用结论 利用导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值的关系如下: 不等式类型 与最值的关系 ∀x∈[a,b],f(x)>M f(x)min>M,x∈[a,b] ∀x∈[a,b],f(x)<M f(x)max<M,x∈[a,b] (续表) 不等式类型 与最值的关系 ∃x0∈[a,b],f(x0)>M f(x)max>M,x∈[a,b] ∃x0∈[a,b],f(x0)<M f(x)min<M,x∈[a,b] ∀x1,x2∈[a,b],f(x1)-f(x2)<M f(x)max-f(x)min<M,x∈[a,b] ∀x∈[a,b],f(x)>g(x) [f(x)-g(x)]min>0,x∈[a,b] ∀x∈[a,b],f(x)<g(x) [f(x)-g(x)]max<0,x∈[a,b] ∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)min>g(x2)max,x1∈[a,b],x2∈[c,d] ∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)min>g(x2)min,x1∈[a,b],x2∈[c,d] ∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)max>g(x2)max,x1∈[a,b],x2∈[c,d] ∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2) f(x1)max>g(x2)min,x1∈[a,b],x2∈[c,d] (注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应与最值的关系对应的不等号也改变) 题组一　常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为　　　　.  2.[教材改编] 函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是　　　　.  3.[教材改编] 将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小,则弯成圆的铁丝的长是　　　　cm.  题组二　常错题 ◆索引:混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题. 4.函数f(x)=ln x+的极值点为　　　　;函数g(x)=(x-1)3的极值点　　　　(填“存在”或“不存在”).   5.已知函数g(x)=x2,则g(x)在[1,2]上的最小值和最大值分别是　　　　;g(x)在(1,2)上的最小值和最大值均　　　　(填“存在”或“不存在”).  6.对任意实数x,若不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　;若存在实数x,使不等式sin x≤a成立,则实数a的取值范围是　　　　.  　利用导数解决函数的极值问题 微点1　由图象判断函数极值 例1 (多选题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列说法中正确的是 (　 ) A.函数f(x)有极大值f(-2) B.函数f(x)有极大值f(2) C.函数f(x)有极小值f(1) D.函数f(x)有极小值f(2) 总结反思 可导函数在极值点处的导数一定为零,是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号. 微点2　已知函数求极值 例2 (1)[2025·泰州四调节选] 已知函数f(x)=x3-2x2-4x+2,若h(x)=f(x)-(3m-2)x2-(9m2-4)x-2(m≠0),求h(x)的极大值. (2)已知函数f(x)=aln x-2x+x2(x>0),讨论函数f(x)的极值点个数.     总结反思 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值. 微点3　已知极值求参数 例3 (1)[2025·全国二卷] 若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.  (2)已知函数f(x)=2ax-有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.  总结反思 根据函数的极值情况求参数的两个要领: ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解. ②验证:求解后验证根的合理性. 1.[2025·常州期末] 若函数f(x)=-ax2+(2a2-4)x-3在x=2处取得极小值,则实数a= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.2 C.2或0 D.0 2.(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷] 若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (　 ) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 3.已知函数f(x)=xln x-ax2-x恰有2个极值点,则实数a的取值范围为　　　　.  　利用导数解决函数的最值问题 例4 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (1)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值; (2)讨论f(x)在[1,e]上的最大值.     总结反思 (1)连续函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最小(大)的即为最小(大)值.若连续函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)由函数的最值确定参数的值(或范围),一般是利用最值或最值点列出含参数的方程(或不等式),解方程(或不等式)即可.(3)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 变式题 (1)函数f(x)=xcos x-sin x在区间[-π,0]上的最大值为 (　 ) A.1 B.π C. D. (2)已知函数f(x)=x3-3x,x∈(a,a+4)存在最小值,则实数a的取值范围为　　　　.  (3)已知函数 f(x)=ex-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值,则a=　　　　.  　利用导数解决实际问题 例5 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元. 已知销售额f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元;a是常数),若种植2万斤莲藕,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕 (　 ) A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤 总结反思 (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型. (2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案. 变式题 [2026·东北八校一模] 用半径为3的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,则该圆锥形容器的容积最大值是 (　 ) A.π B.2π C.4π D.8π 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲　导数与函数的极值、最值 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)f'(x)<0　f'(x)>0 (2)f'(x)>0　f'(x)<0 2.(2)f(a)　f(b)　f(a)　f(b) 【对点演练】 1.-3　[解析] f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在x=2处取得极小值f(2)=8-12+1=-3. 2.e-1　[解析] f'(x)=ex-1,令f'(x)=ex-1=0,得x=0.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.故函数f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值是max{f(-1),f(1)}=max=e-1. 3.　[解析] 设弯成圆的铁丝的长为x cm,则弯成正方形的铁丝的长为(100-x)cm,记正方形与圆的面积之和为S cm2,则S=π+(0<x<100),∴S'=-(100-x).令S'=0,得x= ,当0<x<时,S'<0,S单调递减,当<x<100时,S'>0,S单调递增,故当x=时,S取得最小值,即当弯成圆的铁丝的长为 cm时,正方形与圆的面积之和最小. 4.x=1　不存在　[解析] 因为f'(x)=-=,所以当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=1是函数f(x)的极小值点.因为g'(x)=3(x-1)2≥0,即g'(x)无变号零点,所以函数g(x)=(x-1)3不存在极值点. 5.1,4　不存在　[解析] 易知g(x)在[1,2]上单调递增,故g(x)在[1,2]上的最小值为g(1)=1,最大值为g(2)=4.根据最值的定义,可得g(x)在(1,2)上的最小值和最大值均不存在. 6.[1,+∞)　[-1,+∞)　[解析] 对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则(sin x)max≤a,即a≥1.存在实数x,使不等式sin x≤a成立,则(sin x)min≤a,即a≥-1. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 由y=(1-x)f'(x)的图象可以得出f'(x)在各区间上的正负情况,从而可得f(x)在各区间上的单调性,进而可得极值. AD　[解析] 由图可知,当x∈(-∞,-2)时,1-x>0,且(1-x)f'(x)>0,则f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增;当x∈(-2,1)时,1-x>0,且(1-x)f'(x)<0,则f'(x)<0,f(x)在区间(-2,1)上单调递减;当x∈(1,2)时,1-x<0,且(1-x)f'(x)>0,则f'(x)<0,f(x)在区间(1,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,1-x<0,且(1-x)f'(x)<0,则f'(x)>0,f(x)在区间(2,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的极大值为f(-2),极小值为f(2). 例2　[思路点拨] (1)求出函数的导数,讨论其符号可得函数的极大值点,从而得极大值.(2)根据函数极值点的定义,结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 解:(1)因为f(x)=x3-2x2-4x+2,h(x)=f(x)-(3m-2)x2-(9m2-4)x-2,m≠0,所以h(x)=x3-3mx2-9m2x,m≠0, 所以h'(x)=3x2-6mx-9m2=3(x+m)(x-3m). 令h'(x)=0,解得x1=-m,x2=3m. 当m>0时,3m>-m, 令h'(x)>0,解得x<-m或x>3m;令h'(x)<0,解得-m<x<3m. 此时函数h(x)在(-∞,-m)上单调递增,在(-m,3m)上单调递减,在(3m,+∞)上单调递增,则h(x)的极大值为h(-m)=(-m)3-3m·(-m)2-9m2·(-m)=5m3. 当m<0时,3m<-m, 令h'(x)>0,解得x>-m或x<3m;令h'(x)<0,解得3m<x<-m. 此时函数h(x)在(-∞,3m)上单调递增,在(3m,-m)上单调递减,在(-m,+∞)上单调递增, 则h(x)的极大值为h(3m)=(3m)3-3m·(3m)2-9m2·(3m)=-27m3. 综上,当m>0时,h(x)的极大值为5m3; 当m<0时,h(x)的极大值为-27m3. (2)f'(x)=,x>0,令g(x)=x2-2x+a,易知关于x的方程x2-2x+a=0的判别式Δ=4-4a. ①当Δ≤0,即a≥1时,f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值点. ②当Δ>0,即a<1时,函数g(x)有两个零点x1=1-,x2=1+. (i)当a≤0时,x1≤0,x2>1,当x∈(0,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)有一个极值点; (ii)当0<a<1时,0<x1<1,x2>1,当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,f(x)有两个极值点. 综上,当a≥1时,f(x)无极值点;当0<a<1时,f(x)有两个极值点; 当a≤0时,f(x)有一个极值点. 例3　[思路点拨] (1)求出函数f(x)的导数,利用给定极值点求出a并验证即得.(2)将函数f(x)有两个极值点转化为f'(x)=0有两个不同的实数根,令g(x)=,则问题等价于函数y=g(x)与y=-2a的图象有两个不同的交点,数形结合求得a的取值范围即可. (1)-4　(2) [解析] (1)因为f(x)=(x2-3x+2)(x-a)(x∈R),所以f'(x)=(2x-3)(x-a)+(x2-3x+2),由题意知f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(x)=(x-1)(x-2)2,f'(x)=(2x-3)(x-2)+(x-1)(x-2)=(x-2)(3x-4).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x 2 (2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故当a=2时,x=2为f(x)的极值点,满足题意,所以f(0)=-4. (2)由f(x)=2ax-,得f'(x)=2a+,因为函数f(x)有两个极值点,所以f'(x)=0有两个不同的实数根,即关于x的方程-2a=有两个不同的实数根.令g(x)=,则函数y=g(x)与y=-2a的图象有两个不同的交点.因为g'(x)=,所以当x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以当x=1时,g(x)取得最大值g(1)=.作出函数g(x)的图象如图所示,由图可知,0<-2a<,解得-<a<0,所以实数a的取值范围是. 【应用演练】 1.D　[解析] 由题可得f'(x)=x2-2ax+2a2-4,则f'(2)=2a2-4a=0,解得a=0或a=2.当a=2时,f'(x)=x2-4x+4=(x-2)2≥0,f(x)在R上单调递增,不满足题意;当a=0时,f'(x)=x2-4,当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减,满足题意.综上,a=0.故选D. 2.BCD　[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--=,由函数f(x)既有极大值也有极小值,得方程f'(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根.令h(x)=ax2-bx-2c,则h(x)=0在(0,+∞)上有两个不等实根,故 所以ab>0,ac<0,bc<0,故选BCD. 3. [解析] 函数f(x)=xln x-ax2-x的定义域为(0,+∞),由f(x)=xln x-ax2-x,可得f'(x)=ln x+1-ax-1=ln x-ax,要使函数f(x)有两个极值点,只需f'(x)=0有两个不同正根x1,x2,并且在x1,x2的两侧的单调性相反.由f'(x)=0,得ln x-ax=0,所以a=,由题意可知y=与y=a的图象有两个不同的交点,令h(x)=,则h'(x)=,所以当0<x<e时,h'(x)>0,函数h(x)=在(0,e)上单调递增,当x>e时,h'(x)<0,函数h(x)=在(e,+∞)上单调递减,所以h(x)≤h(e)=,当x→+∞时,h(x)→0,作出y=h(x)的图象如图所示(横、纵坐标轴的单位长度不同),由图可得,实数a的取值范围为. 例4　[思路点拨] (1)求导后,分a≤1,1<a<e,a≥e讨论求得最小值,从而可求得a的值;(2)分a≤1,1<a≤,<a<e,a≥e讨论求得f(x)在[1,e]上的最大值. 解:(1)f'(x)=-=,x>0.若a≤1,则f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,所以f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(1)=a=,不满足题意; 若1<a<e,则当x∈[1,e]时,令f'(x)<0,解得1≤x<a,令f'(x)>0,解得a<x≤e,所以函数f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增,所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(a)=ln a+1=,解得a=,满足题意; 若a≥e,则f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,所以f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=1+=,解得a=,不满足题意. 综上所述,a=. (2)由(1)可知,若a≤1,则f(x)在[1,e]上单调递增,所以f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+; 若1<a<e,则f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,e]上单调递增,当1+≥a,即1<a≤时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+,当1+<a,即<a<e时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(1)=a; 若a≥e,则f(x)在[1,e]上单调递减,所以f(x)在[1,e]上的最大值为f(1)=a. 综上,当a≤时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=1+;当a>时,f(x)在[1,e]上的最大值为f(1)=a. 变式题　(1)B　(2)[-2,1)　(3)1 [解析] (1)由题可得f'(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,当x∈[-π,0]时,sin x≤0,f'(x)≤0,所以f(x)在区间[-π,0]上单调递减,故函数f(x)在[-π,0]上的最大值为f(-π)=π.故选B. (2)∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=±1.当x<-1时,f'(x)>0,当-1<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.f(-1)=2,f(1)=-2,令f(x)=x3-3x=-2,解得x=-2或x=1,∴f(x)的图象如图所示.由图可知,若当x∈(a,a+4)时f(x)存在最小值,则-2≤a<1<a+4,解得-2≤a<1,即实数a的取值范围为[-2,1). (3)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在R上单调递增,所以函数f(x)在R上没有最小值;当a>0时,若x>ln a,则f'(x)>0,所以函数f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,若x<ln a,则f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,所以当a>0时,f(x)min=f(ln a)=a-aln a.由g(x)=ax-ln x,得g'(x)=a-=,x>0.当a≤0时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以函数g(x)在(0,+∞)上没有最小值;当a>0时,若x>,则g'(x)>0,所以函数g(x)在上单调递增,若0<x<,则g'(x)<0,所以函数g(x)在上单调递减,所以当a>0时,g(x)min=g=1+ln a.由题意可知a-aln a=1+ln a(a>0),即=ln a,即-ln a=0.设h(a)=-ln a(a>0),则h'(a)=-=<0,所以函数h(a)在(0,+∞)上单调递减,又h(1)=0,所以方程-ln a=0的解为1,则a=1. 例5　[思路点拨] 根据题意得利润为g(x)=-x3+ax2-1,根据g(2)=2.5得a=2,再利用导数研究其单调性即可得答案. A　[解析] 设利润为g(x)万元,则g(x)=f(x)-1-x=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,0<x≤8,由题意得g(2)=-×23+a×22-1=2.5,解得a=2,∴g(x)=-x3+x2-1,∴g'(x)=-x2+x=-x(x-6).易知函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8]上单调递减,∴当x=6时,函数g(x)取得极大值,也是最大值,故选A. 变式题　B　[解析] 设圆形铁皮的半径为R,则R=3,设圆锥的底面半径为r,则扇形的弧长l=αR=3α,圆锥的底面周长为2πr,则3α=2πr,即α=rπ,则圆锥的高h==,则圆锥的体积V=πr2h=πr2=π.设f(x)=(9-x)x2=9x2-x3,其中x>0,则f'(x)=18x-3x2=3x(6-x),由f'(x)>0得0<x<6,由f'(x)<0得x>6,所以f(x)在(0,6)上单调递增,在(6,+∞)上单调递减,故当x=6时,f(x)取得最大值,即当r2=6时,圆锥的体积V取得最大值,且Vmax=π×6×=2π.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $