第1单元 03 第3讲 等式与不等式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式核心考点，按“概念-性质-应用”逻辑梳理比较大小方法、等式性质、不等式性质及常用结论，通过知识点梳理、题组训练、例题精讲、总结反思环节，帮助学生构建知识体系，突破比较大小、性质应用等难点。 资料采用分层题组设计与方法总结策略，如比较大小结合作差法、作商法培养数学思维，综合应用通过整体思想求取值范围强化数学语言表达。设置常识题巩固基础、常错题警示误区，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第3讲　等式与不等式 【课标要求】　梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)如果a=b,b=c,那么a=c. (2)如果a=b,那么a+c　　　　b+c,a-c　　　　b-c.  (3)如果a=b,那么ac　　　　bc,　　　 (c≠0).  3.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔　　　　(双向性).   (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c(单向性). (3)可加性:a>b⇔a+c　　　　b+c(双向性).  (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac　　　　bc;   a>b,c<0⇒ac　　　　bc.  (5)a>b,c>d⇒　　　　　　(单向性).   (6)a>b>0,c>d>0⇒ac　　　　bd(单向性).  (7)乘方法则:a>b>0⇒an　　　　bn(n∈N,n≥2)(单向性).   常用结论 1.若ab>0,且a>b⇔<. 2.若a<x<b,c<y<d,则a-d<x-y<b-c. 3.若<1,a,b,m>0,则<<1; 若>1,a,b,m>0,则>>1. 题组一　常识题 1.[教材改编] 设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　.  2.[教材改编] 已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是　　　　.  3.[教材改编] 下列命题为真命题的是　　　　(填序号).  ①若ac2>bc2,则a>b; ②若a>b>0,则a2>b2; ③若a<b<0,则a2<ab<b2; ④若a<b<0,则>. 题组二　常错题 ◆索引:求取值范围时乱用不等式的加法法则致错;乘法运算时不注意符号的影响致错;运用作差法时对差的变形不彻底或变形方向不明确致错. 4.若1≤x≤3,-2≤y≤1,则2x-y的取值范围为　　　　.  5.已知实数a∈(-3,1),b∈,则的取值范围是　　　　.  6.已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是　　　　.  　比较数(式)的大小 例1 (1)(多选题)下列不等式中正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.x2-2x>-3(x∈R) B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R) C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) (2)已知a,b都是正数,比较大小:aabb　　　　abba.  总结反思 (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等. (2)作差(商)法的一般步骤是:作差(商),变形,定号,得出结论. 变式题 (1)已知a≥1,则M=-与N=-的大小关系是　　　　.  (2)若a=,b=,c=,则 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 　不等式的性质 例2 (1)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是 (　 ) A.若a>b,c>d,则a+b>c+d B.若a2>b2,则-a<-b C.若c>a>b>0,则> D.若a>b>0且m>0,则> (2)(多选题)若<<0,则 (　 ) A.|a|<|b| B.ac<bc C.>0 D.0<<1 总结反思 解决不等式有关问题常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. (2)利用特殊值法排除错误答案,需注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单;三是所取的值要有代表性. (3)构造函数,利用函数的单调性判断. 变式题 (1)[2025·北京房山区一模] 已知a,b∈R,且a<b,则 (　 ) A.> B.a2<b2 C.a3<b3 D.ln(b-a)>0 (2)(多选题)[2025·山东临沂二模] 已知a>b>c,则下列不等式一定正确的是 (　 ) A.< B.ab2>cb2 C.a+b>c D.a2+c2>b2 　不等式性质的综合应用 例3 (多选题)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,则 (　 ) A.1≤x≤4 B.-2≤y≤1 C.2≤4x+y≤15 D.≤x-y≤6 总结反思 求代数式的取值范围需注意两点:(1)严格运用不等式的性质;(2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 变式题 已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,那么的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　等式与不等式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)>　=　<　(2)>　=　< 2.(2)=　=　(3)=　= 3.(1)b<a　(3)>　(4)>　< (5)a+c>b+d　(6)>　(7)> 【对点演练】 1.M>N　[解析] M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0,故M>N. 2.(2,5)　[解析] ∵2<a<3,∴4<2a<6,又∵-2<b<-1,∴2<2a+b<5. 3.①②④　[解析] 对于①,若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,故①为真命题;对于②,若a>b>0,则a2>b2,故②为真命题;对于③,若a=-2,b=-1,则满足a<b<0,但a2>ab>b2,故③为假命题;对于④,若a<b<0,则>0,所以>,故④为真命题.故填①②④. 4.[1,8]　[解析] 由-2≤y≤1,得-1≤-y≤2,又2≤2x≤6,所以1≤2x-y≤8,所以2x-y的取值范围为[1,8]. 5.(-24,8)　[解析] 当-3<a≤0时,∈(-24,0];当0<a<1时,∈(0,8).综上可知,的取值范围是(-24,8). 6.P>Q　[解析] 因为P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),所以P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,当且仅当a=b=c=1时取等号,因为a,b,c为不全相等的实数,所以等号不成立,所以P-Q>0,所以P>Q. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)通过作差法判断差的符号,进而得出结论;(2)把aabb与abba作商后对a,b的大小关系分类,借助指数函数的性质比较大小. (1)AD　(2)≥　[解析] (1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2-2x>-3,故A正确;a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),∵(a-b)2≥0,a+b的符号不确定,∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定,故B错误;∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;-=,∵b>a>0,∴>0,∴<,故D正确.故选AD. (2)=aa-b·bb-a=.当a>b>0时,>1,a-b>0,∴>1,∴aabb>abba;当a=b>0时,=1,a-b=0,∴=1,∴aabb=abba;当b>a>0时,0<<1,a-b<0,∴>1,∴aabb>abba.综上所述,aabb≥abba. 变式题　(1)M<N　(2)B [解析] (1)方法一:因为a≥1,所以M=->0,N=->0,所以==.因为+>+>0,所以<1,即M<N. 方法二:M=->0,N=->0,因为==+,==+,所以>>0,所以M<N. (2)方法一:易知a,b,c都是正数.∵==log8164<1,∴a>b,∵==log6251024>1,∴b>c,∴c<b<a.故选B. 方法二:构造函数f(x)=(x>0),则f'(x)=.令f'(x)>0,得0<x<e;令f'(x)<0,得x>e.∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.故选B. 例2　[思路点拨] (1)由不等式的性质及特例逐项判断即可;(2)由题得c≠0,分c>0和c<0两种情况判断A,D;由<<0,得-=<0,由ab>0,得c与a-b同号,即可判断B,C. (1)C　(2)ACD　[解析] (1)对于A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b<c+d,故A错误;对于B,当a=-1,b=0时,a2>b2,但-a>-b,故B错误;对于C,当c>a>b>0时,>⇔a(c-b)>b(c-a)⇔ac>bc⇔a>b,故C正确;对于D,因为a>b>0,m>0,所以>>0,则<,故D错误.故选C. (2)由<<0得c≠0.当c>0时,由<<0,得<<0,即b<a<0,所以|b|>|a|,0<<1;当c<0时,由<<0,得>>0,即b>a>0,所以|b|>|a|,0<<1,故A,D正确;由<<0,得-=<0,由上述分析可知a与b同号,即ab>0,所以c与b-a异号,即c与a-b同号,故C正确;由c(a-b)>0,得ac>bc,故B错误.故选ACD. 变式题　(1)C　(2)AD　[解析] (1)对于A,令a=-1,b=1,则<,故A错误;对于B,令a=-1,b=1,则a2=b2,故B错误;对于C,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b),因为a<b,所以a-b<0,而≥0,b2≥0且不同时为0,故a3-b3<0,即a3<b3,故C正确;对于D,令a=1,b=1.5,则ln(b-a)<0,故D错误.故选C. (2)对于A,-==,因为a>b>c,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,即<0,所以<,故A正确.对于B,取a>b=0>c,此时ab2=cb2=0,故B错误.对于C,令a=-1,b=-2,c=-3,则a+b=c=-3,故C错误.对于D,若a>b=0>c,则a2+c2>b2=0;若a>b>0>c,则a2+c2>a2>b2;若a>0>b>c,则a2+c2>c2>b2;若a>b>c≥0或0≥a>b>c,则a2+c2>b2.综上所述,只要a>b>c,就一定有a2+c2>b2,故D正确.故选AD. 例3　[思路点拨] 利用不等式的可加性判断A,B;将4x+y变形为2(x+y)+(2x-y)后判断C;将x-y变形为-(x+y)+(2x-y)后判断D. AC　[解析] 因为所以3≤3x≤12,解得1≤x≤4,故A正确;因为所以-2≤-3y≤11,解得-≤y≤,故B错误;因为4x+y=2(x+y)+(2x-y),-2≤2(x+y)≤6,4≤2x-y≤9,所以2≤4x+y≤15,故C正确;因为x-y=-(x+y)+(2x-y),-1≤-(x+y)≤,≤(2x-y)≤6,所以≤x-y≤,故D错误.故选AC. 变式题　　[解析] 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-a-c.由b=-a-c<a,得2a>-c,故>-2.由b=-a-c>c,得-a>2c,故<-,所以-2<<-. 学科网（北京）股份有限公司 $