第3单元 01 第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦一元函数的导数及其应用，覆盖导数概念、运算及几何意义等高考核心考点，按变化率到导数定义、基本公式、四则运算、复合函数求导的逻辑层次架构知识，通过考点梳理、题组辨析、例题精讲、变式训练等环节，帮助学生突破复合函数求导、切线方程等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以培养数学思维和逻辑推理为特色，如通过常错题辨析（如sin2x求导）强化运算能力，在导数几何意义教学中引导设切点坐标建立方程，发展理性思维。设置分层练习（常识题巩固基础、常错题突破易错点），配合方法总结提升复习效率，助力学生构建解题框架，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第三单元　一元函数的导数及其应用 第16讲　导数的概念及其意义、导数的运算 【课标要求】　1.导数概念及其意义 (1)通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想. (2)体会极限思想. (3)通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.导数运算 (1)能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数. (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如y=f(ax+b))的导数. (3)会使用导数公式表. 1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f(x),把比值 =　　　　　　　叫作函数y=f(x)从x0到x0+Δx的　　　　变化率  几何意义 函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的图象的两端点连线的　　　  (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数: 概念 在x0处 == k,我们称常数k为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记作f'(x0)或y'  几何 意义 f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的　　　　,其切线方程是　　　　　　　　　　  物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 (3)导函数 当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称y=f'(x)为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=. 2.导数的运算 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 特例或推广 常函数 c'=0(c为常数) 幂函数 (xα)'=　　　　(α∈R,且α≠0)  '=- 三角函数 (sin x)'=　　　,(cos x)'=　　　　  偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数 指数函数 (ax)'=　　　　(a>0,且a≠1)  (ex)'=ex 对数函数 (logax)'=　　　(a>0,且a≠1)  (ln x)'=,(ln|x|)'= (续表) 四则运算法则 加减法 [f(x)±g(x)]'= 　　　　　　　  '=f'i(x) 乘法 [f(x)·g(x)]'=   [cf(x)]'=cf'(x) 除法 '= (g(x)≠0) '=- 复合函数 求导 复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=　　　　,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”  题组一　常识题 1.[教材改编] 已知函数f(x)=3x2,则y=f(x)在[2,6]上的平均变化率为　　　　,在x=0处的瞬时变化率为　　　　.  2.[教材改编] 如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s的单位为 m,t的单位为 s),那么该物体在1.2 s末的瞬时速度为　　　　.  3.[教材改编] 曲线y=在点M(π,0)处的切线方程为　　　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆f'(x0)与[f(x0)]';忽视f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别. 4.已知函数y=sin 2x,则y'=　　　　.  5.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=　　　　.  6.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)=　　　　,[f(2x+3)]'=　　　　.  　导数的运算 例1 求下列函数的导数: (1)y=x2sin x;(2)y=ln x+; (3)y=;(4)y=xsincos;(5)y=tan x.     总结反思 (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 变式题 求下列函数的导数: (1)y=xcos x-;(2)y=(x2+2x-1)e2-x; (3)f(x)=;(4)f(x)=sin.     　导数的几何意义 角度1　求切线方程 例2 已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.     总结反思 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据:①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键. 变式题 (1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x (2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为　　　　,　　　　.  角度2　求参数的值(范围) 例3 (1)若曲线y=a+x(a为常数)在点(2,2+a)处的切线方程为y=4x+b,则a+b= (　 ) A.3 B.-3 C.0 D.1 (2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.  总结反思 (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围. 变式题 (1)[2025·大连双基检测] 若曲线y=ex-2x在点(0,1)处的切线与曲线y=ln x在点(x0,ln x0)处的切线的倾斜角互补,则x0= (　 ) A. B. C.1 D.2 (2)[2025·芜湖期末] 若过点(2,t)可以作曲线y=ln x的两条切线,则实数t的取值范围是　　　　.  (3)[2025·杭州四中月考] 已知函数f(x)=sin 2x.若曲线y=f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线与其在点B(x2,f(x2))处的切线相互垂直,则x1-x2的一个取值为　　　　.  　两曲线的公切线 例4 (1)若直线l既和曲线C1相切,又和曲线C2相切,则称l为曲线C1和C2的公切线.曲线C1:y=x2和曲线C2:y=4ex-2的公切线方程为 (　 ) A.4x-y-4=0 B.x-2y-4=0 C.x-y+1=0 D.2x-y-2=0 (2)若曲线y=ln x与曲线y=x2+2x+a(a为常数,x<0)有公切线,则实数a的取值范围是　　　　.  总结反思 既与曲线y=f(x)相切又与曲线y=g(x)相切的直线叫作两曲线的公切线,这类问题的解法步骤是: (1)设直线与曲线y=f(x)相切于点P(x1,f(x1)),与曲线y=g(x)相切于点Q(x2,g(x2)); (2)切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1),同理切线方程也为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),即y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2); (3)由解出x1,x2,从而得出切线方程. 变式题 (1)[2025·福九联盟5月联考] 曲线y=ex-1与y=ln x+1的一条公切线的方程为　　　　.(只需写出其中一条公切线的方程)  (2)[2025·辽宁省实验中学二模] 若f(x)=的图象与g(x)=a+ln x的图象存在公切线,则a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元　一元函数的导数及其应用 第16讲　导数的概念及其意义、导数的运算 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)　平均　斜率 (2)x=x0　斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 2.αxα-1　cos x　-sin x　axln a 　f'(x)±g'(x) f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x) y'u·u'x 【对点演练】 1.24　0　[解析] f(6)=108,f(2)=12,所以平均变化率为===24.f'(x)=6x,则f(x)在x=0处的瞬时变化率为f'(0)=6×0=0. 2.-4.8 m/s　[解析] ∵s'=-4t,∴该物体在1.2 s末的瞬时速度为(-4)×1.2=-4.8(m/s). 3.y=-+1　[解析] 由题得y'=,∴切线的斜率k=y'|x=π=-,则切线方程为y=-(x-π),即y=-+1. 4.2cos 2x　[解析] 方法一:y'=(2sin xcos x)'=2(sin x)'cos x+2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x =2cos 2x. 方法二:y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x. 5.-8　[解析] f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,可得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,则f(2)=-8. 6.3(2x+3)2　6(2x+3)2 [解析] f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2.[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复合函数求导的方法求导. 解:(1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. (2)y'='=(ln x)'+'=-. (3)y'='==-. (4)∵y=xsincos=xsin(4x+π)=-xsin 4x,∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x. (5)∵y=tan x=,∴y'===. 变式题　解:(1)y'=cos x-xsin x-. (2)y'=(2x+2)e2-x-(x2+2x-1)e2-x=(3-x2)e2-x. (3)f'(x)=·=. (4)因为f(x)=sin=sin·=-sin x,所以f'(x)=-cos x. 例2　[思路点拨] (1)利用导数的几何意义求切线的斜率,从而求切线的方程;(2)设切点为(x0,+x0-16),利用导数的几何意义写出切线方程,根据切线过原点求出x0,即可求出切点坐标及切线方程. 解:(1)由f(x)=x3+x-16,得f'(x)=3x2+1, 所以f'(2)=3×22+1=13,所以曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0. (2)设切点为(x0,+x0-16),由(1)得f'(x0)=3+1, 所以切线方程为y-(+x0-16)=(3+1)(x-x0), 因为切线经过原点,所以-(+x0-16)=-x0(3+1),所以2=-16,解得x0=-2, 则f'(-2)=3×(-2)2+1=13,所以所求的切线方程为y=13x,切点为(-2,-26). 变式题　(1)D　(2)y=　y=- [解析] (1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,可得a=1,则f(x)=x3+x,f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. (2)当x>0时,y=ln|x|=ln x.设过坐标原点的直线与曲线y=ln x相切于点P(x0,ln x0),由y=ln x,得y'=,所以=,解得x0=e,所以P(e,1),则该切线的方程为y-1=(x-e),即y=,由曲线y=ln|x|的对称性,知另一条切线的方程为y=-. 例3　[思路点拨] (1)利用切点既在切线上又在曲线上,结合曲线在x=2处的切线斜率为4,解出a和b的值,从而可得答案.(2)设切点为(x0,y0)(x0≠0),利用导数的几何意义,结合切线经过坐标原点得到关于x0的方程,根据此方程应有两个相异的非零实数根,求得a的取值范围即可. (1)C　(2)a<-4或a>0 [解析] (1)因为y=aex-2+x,所以y'=aex-2+1,由题意可得 解得所以a+b=0.故选C. (2)设切点为(x0,y0)(x0≠0),则y0=(x0+a),由y'=(x+a+1)ex,知(x0+a+1)=,所以关于x的方程(x+a+1)ex=有两个相异的非零实数根,即关于x的方程x+a+1=有两个相异的非零实数根,即关于x的方程x2+ax-a=0有两个相异的非零实数根,所以Δ=a2+4a>0且a≠0,解得a<-4或a>0. 变式题　(1)C　(2)(ln 2,+∞)　(3)(答案不唯一)　[解析] (1)设f(x)=ex-2x,g(x)=ln x.因为函数f(x)=ex-2x的导函数为f'(x)=ex-2,所以f'(0)=e0-2=-1,所以曲线y=ex-2x在点(0,1)处的切线方程为y=-x+1.因为函数g(x)=ln x的导函数为g'(x)=,所以g'(x0)=,所以曲线y=ln x在点(x0,ln x0)处的切线方程为y-ln x0=(x-x0).直线y=-x+1的斜率为-1,倾斜角为135°.因为曲线y=ex-2x在点(0,1)处的切线与曲线y=ln x在点(x0,ln x0)处的切线的倾斜角互补,所以直线y-ln x0=(x-x0)的倾斜角为45°,所以直线y-ln x0=(x-x0)的斜率为tan 45°=1,所以=1,所以x0=1.故选C. (2)设切点为(x0,ln x0)(x0>0),由题得y'=,故切线的斜率为,切线方程为y-ln x0=(x-x0),因为切线经过点(2,t),所以t-ln x0=(2-x0),故关于x0的方程(t+1)x0-x0ln x0-2=0有两个不同的正实数根.不妨设g(x)=(t+1)x-xln x-2(x>0),则g'(x)=t-ln x.当0<x<et时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>et时,g'(x)<0,g(x)单调递减.故g(x)max=g(et)=et-2,又x→0+时,g(x)→-2,x→+∞时,g(x)→-∞,则et-2>0,即t>ln 2,所以实数t的取值范围为(ln 2,+∞). (3)f'(x)=cos 2x,由题意可知,f'(x1)f'(x2)=-1,即cos 2x1·cos 2x2=-1,所以得x1=k1π,x2=+k2π,k1,k2∈Z,或得x1=+k3π,x2=k4π,k3,k4∈Z,所以x1-x2=-+(k1-k2)π或x1-x2=+(k3-k4)π,k1,k2,k3,k4∈Z,所以x1-x2的一个取值为. 例4　[思路点拨] (1)根据导数的几何意义可知公切线的斜率为2x1和4,则2x1=4,分类讨论公切线与曲线C1,C2的切点相同与不相同的情况,求出对应的切点,结合直线的点斜式方程即可求解.(2)先利用导数结合切点求出两曲线公切线的斜率,然后根据公切线的性质,找到两切点坐标之间的关系,从而构造出关于一个切点横坐标的函数,转化为值域问题求解. (1)A　(2)(-ln 2-1,+∞) [解析] (1)由y=x2,得y'=2x,由y=4ex-2得y'=4ex-2.设公切线与曲线C1的切点为(x1,),则切线的斜率为2x1,设公切线与曲线C2的切点为(x2,4),则切线的斜率为4,所以2x1=4.当公切线与曲线C1,C2的切点相同时,x1=x2,=4,可得x1=x2=2,所以切点为(2,4),此时公切线的方程为4x-y-4=0;当公切线与曲线C1,C2的切点不同时,x1≠x2,2x1=,得x1=2x2-2,所以4x2-4=4,即x2-1=,解得x2=2,此时x1=2,与x1≠x2矛盾,故不存在切点不同的情况.综上可得,切点的坐标为(2,4),公切线的方程为4x-y-4=0.故选A. (2)设f(x)=ln x,g(x)=x2+2x+a(x<0),则f'(x)=,g'(x)=2x+2(x<0).设公切线与曲线y=x2+2x+a(x<0)的切点为(s,t),s<0,与曲线y=ln x的切点为(m,n),m>0,则2s+2==,又t=s2+2s+a,n=ln m,∴a=s2-1-ln(2s+2).设h(s)=s2-1-ln(2s+2)(-1<s<0),则h'(s)=<0,∴h(s)在(-1,0)上单调递减,∴h(s)>-ln 2-1,∴a>-ln 2-1,即a的取值范围为(-ln 2-1,+∞). 变式题　(1)ex-y-1=0(或x-y=0) (2)[2-2ln 2,+∞)　[解析] (1)设f(x)=ex-1,g(x)=ln x+1,公切线与f(x)的图象相切于点(m,em-1),与g(x)的图象相切于点(n,ln n+1).因为f'(x)=ex,g'(x)=,所以公切线的斜率k=em=,所以公切线方程为y-em+1=em(x-m),y-ln n-1=(x-n),整理得y=emx-(m-1)em-1,y=x+ln n,所以 即所以(m-1)em+1-m=(m-1)(em-1)=0,解得m=1或m=0,所以公切线方程为ex-y-1=0或x-y=0. (2)由题意知f'(x)=,g'(x)=.设公切线分别与曲线y=f(x),y=g(x)相切于点(x1,),(x2,a+ln x2),则f'(x1)=,g'(x2)=,所以公切线方程为y-=(x-x1),y-a-ln x2=(x-x2),即y=x+,y=x-1+a+ln x2,所以=,-1+a+ln x2=,所以a=+1-ln x2=+1-ln(2)=-ln+1-ln 2.令t=,t>0,h(t)=-ln t,则h'(t)=-=,由h'(t)<0,得0<t<2,由h'(t)>0,得t>2,所以h(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(2)=1-ln 2,又当t>0且t→0时,h(t)→+∞,当t→+∞时,h(t)→+∞,所以a≥1-ln 2+1-ln 2=2-2ln 2. 学科网（北京）股份有限公司 $