第2单元 11 第14讲 函数与方程（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数与方程核心考点，涵盖函数零点定义、等价关系、零点存在定理及二分法，按“概念-定理-方法-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理填空、题组分层训练（常识题巩固基础，常错题辨析易错点）、例题分类精讲（零点区间判断、个数确定等），帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料以数学思维和数学眼光为导向，创新采用“定义辨析-定理应用-方法迁移”教学链，如判断零点个数时，结合函数图象直观分析（数学眼光）与单调性逻辑推理（数学思维）。设置即时变式训练和综合应用例题，确保学生高效掌握零点存在定理、二分法等关键方法，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第14讲　函数与方程 【课标要求】　1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理. 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的　　　　　叫作函数y=f(x)的零点.  (2)等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有　　　　⇔函数y=f(x)的图象与　　　　有公共点.  (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内　　　　　　零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.  2.二分法 (1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上图象　　　　　　　且　　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点　　　　　　的方法叫作二分法.   (2)给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤: ①确定零点x0的初始区间　　　　,验证f(a)f(b)<0.  ②求区间(a,b)的　　　　　.  ③计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: (i)若　　　　　　(此时x0=c),则c就是函数的零点;(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈　　　　),则令b=c;(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.  ④判断是否达到精确度ε:若　　　　　　,则得到零点近似值a(或b),否则重复步骤②~④.   题组一　常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=ln x+2x-6的零点个数是　　　　.   2.[教材改编] 若函数f(x)=x·2x-kx-2在区间(1,2)内有零点,则实数k的取值范围是　　　　.  3. [教材改编] 利用二分法求方程2x-x-4=0的一个近似解时,已经将一解锁定在区间(2,3)内,则下一步可断定该解所在的区间为　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:误解函数零点的定义致误;忽略限制条件致误. 4.函数f(x)=(9x-3)ln(x-1)的零点为　　　　.  5.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表: x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98 则下列说法正确的是　　　　.(填序号)   ①函数f(x)在区间(-1,0)内有零点;②函数f(x)在区间(2,3)内有零点;③函数f(x)在区间(5,6)内有零点;④函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点. 6.函数f(x)=的零点个数是　　　　.  　函数零点所在区间的判断　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)函数f(x)=ln x+x2-2的零点所在区间是 (　 ) A. B. C.(1,) D.(,2) (2)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 总结反思 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)利用函数零点存在定理;(3)数形结合,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 变式题 (1)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为 (　 ) A. B. C. D.(1,2) (2)已知函数y=ex-3与y=-x+5的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则n=　　　　.  　函数零点个数的判断 例2 (1)已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 总结反思 求解函数零点个数的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;(2)定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法,一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数;(4)若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f=0. 变式题 (1)函数f(x)=ex+1+x+1的零点个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+4)=f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=1-x,则方程f(x)=log8|x|在[-10,10]内的根的个数为　　　　.  　函数零点的应用 角度1　根据零点个数求参数范围 例3 (多选题)[2025·北京西城区二模] 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-a,其中a∈R. ①若函数g(x)无零点,则a的一个取值为　　　　;  ②若函数g(x)有4个零点xi(i=1,2,3,4),则x1+x2+x3+x4=　　　　.  变式题 已知函数f(x)=|2x-a|-kx-3,给出下列四个结论: ①若a=1,则函数f(x)至少有一个零点; ②存在实数a,k,使得函数f(x)无零点; ③若a>0,则不存在实数k,使得函数f(x)有三个零点; ④对任意实数a,总存在实数k使得函数f(x)有两个零点. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  角度2　根据零点(所在区间)求参数范围 例4 (1)已知x0是函数f(x)=+log2(x+1)-4的零点,则(x0-1)(x0-2)(x0-3)(x0-4)的值 (　 ) A.为正数 B.为负数 C.等于0 D.无法确定正负 (2)[2024·新课标Ⅱ卷] 设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　 ) A.-1 B. C.1 D.2 总结反思 已知函数的零点个数或零点所在区间求参数取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 变式题 (1)[2025·浙江Z20联盟一联] 设函数f(x)=a(x-1)2-1,g(x)=cos-2ax,若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是 (　 ) A.a≤2 B.<a≤1 C.<a≤2 D.1<a≤2 (2)[2025·福州四检] 若x0为函数f(x)=的零点,则x0-ln x0= (　 ) A.0 B.1 C.2 D.e2 　复合函数的零点 例5 设函数f(x)=则函数y=f[f(x)]-1的零点的个数是 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.6 总结反思 求复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法,具体步骤是: (1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个); (2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解x即为函数y=f[g(x)]的零点. 如不能直接解出x的值,可结合函数y=g(x)与y=t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)]的零点个数. 变式题 已知函数f(x)= 若函数g(x)=2[f(x)]2-(m+6)f(x)+3m有5个不同的零点,则实数m的取值范围为　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲　函数与方程 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)实数x　(2)零点　x轴 (3)f(a)f(b)<0　至少有一个 f(c)=0 2.(1)连续不断　f(a)f(b)<0 一分为二　近似值 (2)①[a,b]　②中点c ③(i)f(c)=0　(ii)(a,c) ④|a-b|<ε 【对点演练】 1.1　[解析] 由题知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故函数f(x)存在唯一的零点. 2.(0,3)　[解析] 令f(x)=0,则x·2x-kx-2=0,由x∈(1,2),可得k=2x-,令φ(x)=2x-,x∈(1,2),则由题知直线y=k与φ(x)=2x-,x∈(1,2)的图象有交点.∵φ(x)=2x-在(1,2)上单调递增,且φ(1)=0,φ(2)=3,∴0<k<3. 3.　[解析] 令f(x)=2x-x-4,则f(2)=4-2-4=-2<0,f(3)=8-3-4=1>0,f=--4<0,由f(3)f<0知该解所在的区间为. 4.2　[解析] 由题知f(x)的定义域为(1,+∞),由f(x)=0,得(9x-3)ln(x-1)=0,即9x-3=0或ln(x-1)=0,解得x=(舍)或x=2,所以函数f(x)=(9x-3)ln(x-1)的零点为2. 5.①②③　[解析] 由题知f(-1)·f(0)<0,f(2)·f(3)<0,f(5)·f(6)<0,因为f(x)的图象是连续不断的,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间内均有零点,但不能判断有几个零点,故①②③正确,④不正确.故填①②③. 6.2　[解析] 当x≤0时,由x2-2=0可得x=-;当x>0时,由ln x=0,解得x=1.所以函数f(x)=的零点个数是2. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据函数零点存在定理分析判断.(2)将函数零点问题转化为函数图象交点问题,通过数形结合求解. (1)C　(2)B　[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-1<0,f()=ln=ln 2>0,所以函数f(x)的零点在(1,)内.故选C. (2)由f(x)=2x+x=0得2x=-x,由g(x)=log2x+x=0得log2x=-x,由h(x)=x3+x=0得x3=-x.在同一坐标系内作出函数y=2x,y=log2x,y=x3和y=-x的图象,如图所示.由图可知,a∈(-1,0),c=0,b∈(0,1),所以a<c<b.故选B. 变式题　(1)B　(2)3　[解析] (1)由已知得函数f(x)的图象是连续的,且f(x)单调递增.因为f=+-2=-<0,f=2+-2=>0,所以ff<0,由函数零点存在定理可知x0∈.故选B. (2)令函数f(x)=ex-3-(-x+5)=ex-3+x-5,显然函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)至多有一个零点.由函数y=ex-3与y=-x+5的图象的交点为(x0,y0),得函数f(x)的零点为x0,而f(3)=-1<0,f(4)=e-1>0,即f(3)f(4)<0,因此x0∈(3,4),所以n=3. 例2　[思路点拨] (1)作出函数y=f(x)的图象,分a=0,a<0,a>0三种情况讨论直线y=ax+2与y=f(x)的图象的交点个数,从而得解.(2)由奇函数的性质可得f(0)=0,由f(x+1)=f(x)得函数f(x)的周期为1,从而可得f(-1)=f(0)=f(1)=0,赋值可得f=0,最后结合周期性即可得结果. (1)C　(2)C　[解析] (1)作出函数y=f(x)的图象,如图所示.将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0,2))与函数y=f(x)的图象交点的个数问题.由图可知,当a=0时,直线y=2与函数y=f(x)的图象只有1个交点;当a<0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点;当a>0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有3个交点.所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有2个交点.故选C. (2)由f(x)是定义域为R的奇函数可得f(0)=0,再由f(x+1)=f(x)可得函数f(x)的周期为1,则f(-1)=f(0)=f(1)=0.f(x+1)=f(x)中取x=-,得f=f=-f,所以f=0,f=0,f=0,f=0,所以f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为7.故选C. 变式题　(1)B　(2)8 [解析] (1)方法一:由y=ex+1和y=x+1都在R上连续且单调递增,得f(x)=ex+1+x+1在R上连续且单调递增.因为f(-2)=e-2+1+(-2)+1=-1<0,f(-1)=e-1+1-1+1=1>0,所以函数f(x)有且只有一个零点.故选B. 方法二:由题知,f(x)的零点个数即为函数y=ex+1和y=-x-1的图象的交点个数.画出两函数的图象如图所示,由图可知两函数图象交点的个数为1,即f(x)的零点个数为1.故选B. (2)∵f(x+4)=f(x),∴偶函数y=f(x)是周期为4的函数.由当x∈[0,2]时,f(x)=1-x,可作出函数f(x)在[-10,10]内的图象,同时作出函数y=log8|x|在[-10,10]内的图象,如图所示.由图可得两图象的交点个数为8,即方程f(x)=log8|x|在[-10,10]内的根的个数为8. 例3　[思路点拨] ①作出函数f(x)的图象,函数g(x)无零点,即y=f(x)的图象与y=a的图象无交点,由图可得到a的一个取值;②由图象的对称性,即可得出x1+x2+x3+x4的值. ①-1(答案不唯一)　②-2 [解析] 画出函数f(x)=的图象,如图所示. ①函数g(x)=f(x)-a无零点,即关于x的方程f(x)-a=0无解,即y=f(x)的图象与y=a的图象无交点,由图可知a<0,可取a=-1. ②函数g(x)有4个零点,即关于x的方程f(x)-a=0有4个根,即y=f(x)的图象与y=a的图象有4个交点,作出y=a的图象如图,不妨设x1<x2<x3<x4.因为x1,x4关于直线x=-1对称,所以x1+x4=-2,因为x2,x3关于直线x=0对称,所以x2+x3=0,所以x1+x2+x3+x4=-2. 变式题　①②④　[解析] 当a=1时,f(x)=|2x-1|-kx-3,令f(x)=0,得|2x-1|=kx+3,在同一坐标系中作出y=|2x-1|,y=kx+3的图象,如图(a)所示,由图及y=kx+3的图象过定点(0,3)知,y=kx+3与y=|2x-1|的图象至少有一个交点,则函数f(x)至少有一个零点,故①正确.当a=-4,k=0时,在同一坐标系中作出y=|2x+4|=2x+4,y=3的图象,如图(b)所示,由图可知,两函数的图象无交点,则函数f(x)无零点,故②正确.当a=6,k=-时,在同一坐标系中作出y=|2x-6|,y=-x+3的图象,如图(c)所示,由图可知,两函数的图象有三个交点,则函数f(x)有三个零点,故③错误.当a=0时,在同一坐标系中作出y=|2x|=2x,y=kx+3(k>0)的图象,如图(d)所示;当a<0时,在同一坐标系中作出y=|2x-a|=2x-a,y=kx+3(k>0)的图象,如图(e)所示;当a>0时,在同一坐标系中作出y=|2x-a|,y=kx+3(k>0)的图象,如图(f)所示.由图(d)(e)(f)可知,对任意实数a,总存在实数k>0使得两函数的图象有两个交点,则函数f(x)有两个零点,故④正确.故填①②④. 例4　[思路点拨] (1)利用零点存在定理及f(x)的单调性求出f(x)的零点所在的区间,再判断式子的符号.(2)思路一:令h(x)=f(x)-g(x),则根据题意得h(x)有唯一零点,由h(x)为偶函数,得零点为0,从而得到结果;思路二:令f(x)=g(x),转化为函数G(x)=cos x(x∈(-1,1))与F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1))的图象有唯一交点,从而得到结果;思路三:通过参变分离,研究函数y=的最值得到结果. (1)B　(2)D　[解析] (1)由题意可知f(x)单调递增且f(3)=+log24-4<0,f(4)=2+log25-4>0,则x0∈(3,4),所以x0-1>0,x0-2>0,x0-3>0,x0-4<0,所以(x0-1)(x0-2)(x0-3)(x0-4)<0.故选B. (2)方法一:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,则h(x)为偶函数,因为当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,所以h(0)=a-2=0,得a=2. 方法二:令f(x)=g(x),得ax2+2ax+a-1=cos x+2ax,即ax2+a-1=cos x.设F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1)),G(x)=cos x(x∈(-1,1)),易知F(x),G(x)都为偶函数.当a≤0时,F(x)<0,G(x)>0,故曲线y=F(x)与y=G(x)无交点;当a>0时,作出F(x)与G(x)的大致图象,如图所示,因为曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,且G(0)=1,所以F(0)=a-1=1,则a=2. 方法三:令f(x)=g(x),得ax2-cos x+a-1=0,得a=.当x∈(-1,0]时,y=cos x+1单调递增,y=x2+1单调递减,且cos x+1>0,x2+1>0,故y=单调递增,其取值范围是;当x∈[0,1)时,y=cos x+1单调递减,y=x2+1单调递增,且cos x+1>0,x2+1>0,故y=单调递减,其取值范围是.根据题意得直线y=a与y=在(-1,1)上的图象恰有一个交点,故a=2,故选D. 变式题　(1)C　(2)C　[解析] (1)由h(x)=f(x)-g(x)=0,得a(x-1)2-1=cos-2ax,依题意得ax2+a-1=cos对x∈(-1,1)有解.记F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos,则函数F(x)与G(x)在(-1,1)上的图象有公共点.当x∈(-1,1)时,0<G(x)≤1.当a≤0时,F(x)=ax2+a-1≤-1,显然函数F(x)与G(x)在(-1,1)上的图象无公共点;当a>0时,函数F(x)与G(x)的图象都关于y轴对称,则即解得<a≤2.综上,实数a的取值范围是<a≤2.故选C. (2)当0<x<e时,f(x)=x-ln x,求导得f'(x)=1-,令f'(x)=0,可得x=1,当0<x<1时,f'(x)<0,当1<x<e时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,所以f(x)≥f(1),又f(1)=1-ln 1=1>0,所以f(x)在(0,e)上无零点.当x≥e时,f(x)=exx-ex+e2x-e2x2=ex(x-1)-e2x(x-1)=(x-1)(ex-e2x).令f(x)=0,得(x-1)(ex-e2x)=0,又x≥e,所以ex-e2x=0,即ex=e2x,因为x0为函数f(x)的零点,所以=e2x0,两边取自然对数得=ln e2+ln x0,所以x0-ln x0=2.故选C. 例5　[思路点拨] 作出函数y=f(x)的图象,将问题转化为求方程f[f(x)]=1的根的个数,令t=f(x),先确定f(t)=1的根,再得f[f(x)]=1的根的个数,结合函数图象即可求解. C　[解析] 作出函数f(x)=的图象,如图所示.令t=f(x),则由f(t)-1=0,即f(t)=1,得2sin t=1(0≤t≤π)或t2=1(t<0),所以t=或t=或t=-1.当t=时,则f(x)=,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=的根有3个;当t=时,则f(x)=,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=的根有1个;当t=-1时,则f(x)=-1,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=-1的根有0个.综上可得,函数y=f[f(x)]-1的零点的个数是4.故选C. 变式题　-2≤m<0或m>6　[解析] 令g(x)=2[f(x)]2-(m+6)f(x)+3m=[2f(x)-m][f(x)-3]=0,得f(x)=3或f(x)=,作出函数f(x)的大致图象如图.因为直线y=3与y=f(x)的图象有3个交点,所以直线y=与y=f(x)的图象只能有2个交点,则-1≤<0或>3,解得-2≤m<0或m>6,故m的取值范围为-2≤m<0或m>6. 学科网（北京）股份有限公司 $