第2单元 09 第12讲 对数与对数函数（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦对数与对数函数高考核心考点，涵盖对数概念、运算性质、换底公式、对数函数图象与性质及反函数，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（填空式概念回顾）、方法指导（总结反思提炼解题策略）、真题训练（含2024北京卷等高考题示例）等环节，帮助学生系统突破对数运算、函数性质应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于分层设计与素养导向，题组分常识题巩固基础、常错题警示易错点，例题融入高考真题培养数学思维。如比较大小中通过构造函数推理单调性，解不等式时用换底公式转化问题发展数学语言，配合变式题与综合题强化应用，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第12讲　对数与对数函数 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)对数 (2)10　lg N　自然对数　ln N 2.(1)0　(3)N 3.(1)logaM+logaN　logaM-logaN nlogaM　(2)logab　 4.对数　(0,+∞)　R　(1,0)　增　减 5.y=logax(a>0且a≠1)　y=x 【对点演练】 1.1　[解析] 利用对数的换底公式可得结果为1. 2.b>c>a　[解析] a=log20.3<log21=0,b=ln 3>ln e=1,0=log31<log32<log33=1,即0<c<1,∴b>c>a. 3.(2,1)　[解析] 令2x-3=1,解得x=2,此时f(2)=1+loga1=1,所以f(x)的图象恒过定点(2,1). 4.4　[解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=4y,所以=4. 5.(-∞,-1)　[解析] 因为0<<1,所以函数y=lox在定义域内单调递减.由x2-1>0,得x<-1或x>1,因为函数y=x2-1在(-∞,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=lo(x2-1)的单调递增区间是(-∞,-1). 6.2或　[解析] 当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;当0<a<1时,有loga2-loga4=1,解得a=.综上,a=2或. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据指对互化可得b=log36,再利用换底公式、对数运算法则依次验证各选项即可.(2)利用对数运算法则及换底公式进行计算即可. (1)BCD　(2)9　[解析] (1)∵3b=6,∴b=log36.对于A,∵a=log26=,b=log36=,ln 6>ln 3> ln 2>0,∴a>b,A错误;对于B,+=+=log62+log63=log66=1,B正确;对于C,∵a-1=log26-1=log23,b-1=log36-1=log32,∴(a-1)(b-1)=log23×log32=1,C正确;对于D,log186===,D正确.故选BCD. (2)原式=lg 2×(2lg 5+2)+8××(lg 5)2++×=2lg 2×lg 5+2lg 2+2×(lg 5)2+3+4= 2lg 5×(lg 2+lg 5)+2lg 2+7=2×(lg 5+lg 2)+7=2+7=9. 变式题　(1)D　(2)4　(3)64 [解析] (1)由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=.故选D. (2)因为log2=log2b=-0.15,所以log2b=-0.3,又log2a=1.7,所以log2=log2a-log2b=1.7-(-0.3)=2,所以=4. (3)因为-=-log2a=-,所以(log2a+1)(log2a-6)=0,又a>1,所以log2a=6,则a=64. 例2　[思路点拨] (1)首先由ax=b-x得出a=,再分类讨论a和b的取值范围,根据指数函数和对数函数的图象即可得出答案.(2)对于A,B可结合指数函数与对数函数的单调性判断;对于C,D可用特殊值判断. (1)AB　(2)B　[解析] (1)因为ax=b-x,即ax=,所以a=.当a>1时,0<b<1,则指数函数y=bx在R上单调递减,且图象过点(0,1),对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递增且图象过点(1,0),将y=logax的图象关于y轴对称得到y=loga(-x)的图象,则y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减且图象过点(-1,0),故A符合题意;当0<a<1时,b>1,同理可得,指数函数y=bx在R上单调递增,且图象过点(0,1),y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增且图象过点(-1,0),故B符合题意.故选AB. (2)对于选项A,B,由题意不妨设x1<x2,因为函数y=2x是增函数,所以0<<,即0<y1<y2,易得>=,即>>0,因为函数y=log2x是增函数,所以log2>log2=,故A错误,B正确;对于选项C,取x1=-2,x2=-1,则y1=,y2=,可得log2=log2=log23-3∈(-2,-1),此时log2>-3=x1+x2,故C错误;对于选项D,取x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,可得log2=log2∈(0,1),此时log2<1=x1+x2,故D错误.故选B. 变式题　(1)D　(2)A [解析] (1)依题意,f(x)<0等价于log2x<x-1,在同一直角坐标系中作出y=log2x,y=x-1的图象,如图所示.由图可得log2x<x-1的解集为(0,1)∪(2,+∞).故选D. (2),,可分别看作f(x)的图象上的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))与坐标原点O(0,0)连线的斜率.作出f(x)的图象,如图所示,并取点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c)),其中a>b>c>0,再将三个点分别与点(0,0)相连,得到三条直线.由图可知,当a>b>c>0时,<<.故选A. 例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)方法一(中间量法):∵0=log31<a=log32=log3<log3=,b=log43=log23>log22=,=log0.20.<c=log0.20.3<log0.20.=,即<c<,∴a<c<b.故选A. 方法二(估值法):∵a=log32=≈≈0.631,b=log43==≈≈0.793,c=log0.20.3=log5== ≈≈0.748,∴a<c<b.故选A. (2)方法一:设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m.令m=2,则x=1,y=,z=,此时x>y>z,故A有可能;令m=5,则x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,故C有可能;令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x,故D有可能.故选B. 方法二:由2+log2x=3+log3y=5+log5z,得2+=3+=5+,即-1+==2+.令t1= ln x,t2=ln y,t3=ln z,设-1+==2+=k,则k=-1+,k=,k=2+,作出函数k=-1+,k=,k=2+的图象,如图所示.由图可知,当k<k1时,t1>t2>t3,即x>y>z;当k=k1时,t1=t2>t3,即x=y>z;当k1<k<k2时,t2>t1>t3,即y>x>z;当k=k2时,t2>t1=t3,即y>x=z;当k2<k<k3时,t2>t3>t1,即y>z>x;当k=k3时,t2=t3>t1,即y=z>x;当k>k3时,t3>t2>t1,即z>y>x.故选B. 例4　[思路点拨] (1)利用对数的运算性质化简对数方程,即可求得的值.(2)先求得函数定义域,然后分x≥2与1<x<2讨论,结合对数函数的单调性代入计算,即可得到结果. (1)10　(2) [解析] (1)因为1+lg x-lg y=lg y2,所以lg 10+lg x=lg y2+lg y(x>0,y>0),所以lg(10x)= lg y3(x>0,y>0),则10x=y3,所以=10. (2)由f(x)=|log2x|可得f(x-1)=|log2(x-1)|,由解得x>1.当x≥2时,log2x>0,log2(x-1)≥0,由f(x)<f(x-1)可得log2x<log2(x-1),即x<x-1,无解;当1<x<2时,log2x>0,log2(x-1)<0,由f(x)<f(x-1)可得log2x<-log2(x-1),即log2[x(x-1)]<0,即x(x-1)<1,解得<x<,又1<x<2,所以1<x<.故不等式f(x)<f(x-1)的解集为. 例5　[思路点拨] (1)利用奇偶性的定义判断、证明即可;(2)根据复合函数的单调性求出f(x)在上的最小值,把问题转化为t2+at-5≤0对任意t∈[-2,2]恒成立,根据二次函数的性质即可求得结果. 解:(1)f(x)为奇函数,证明如下: 由>0,即(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1,故函数f(x)的定义域为(-1,1). 又f(-x)=log2=-log2=-f(x),所以f(x)为奇函数. (2)因为m==-1在上单调递减,y=log2m在定义域上为增函数, 所以f(x)在上单调递减,故f(x)在上的最小值为f=-1. 要使对任意x∈,t∈[-2,2],不等式f(x)≥t2+at-6恒成立,只需t2+at-6≤-1对任意t∈[-2,2]恒成立,即t2+at-5≤0对任意t∈[-2,2]恒成立. 因为y=t2+at-5的图象开口向上,所以解得-≤a≤,所以a的取值范围是. 【应用演练】 1.B　[解析] 因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b.因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0.综上可得,b>a>c,故选B. 2.D　[解析] 由题意可知,0<a<1,0<b<1,0<c<1.因为==×=×==<1,所以a<b.因为==×=×==<1,所以b<c.所以a<b<c.故选D. 3.C　[解析] 因为函数f(x)=lo(3x2-ax+8)在[-1,+∞)上单调递减,所以y=3x2-ax+8在[-1,+∞)上单调递增且y=3x2-ax+8>0对任意x∈[-1,+∞)恒成立,所以解得-11<a≤-6.故选C. 4.(-∞,1)∪(3,+∞)　[解析] 因为f(x)=ln(ex+e-x),所以f(x)的定义域为R,又因为f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令g(x)=ex+e-x(x≥0),因为g'(x)=ex-e-x在[0,+∞)上单调递增,所以g'(x)≥g'(0)=0,故g(x)=ex+e-x在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=ln(ex+e-x)在[0,+∞)上单调递增,由不等式f(2x-3)>f(x)可得f(|2x-3|)>f(|x|),则|2x-3|>|x|,两边平方得4x2-12x+9>x2,解得x>3或x<1,所以不等式f(2x-3)>f(x)的解集为(-∞,1)∪(3,+∞). 5.5　[解析] 由题意得∴1≤x≤3,∴g(x)的定义域为[1,3],则g(x)=[f(x)]2+f(x2)=(1+log3x)2+1+log3x2=(log3x)2+4log3x+2(1≤x≤3).设t=log3x,则0≤t≤1,∵y=t2+4t+2=(t+2)2-2在[0,1]上单调递增,∴当t=0,即x=1时,g(x)min=2,当t=1,即x=3时,g(x)max=7,∴g(x)max-g(x)min=5. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲　对数与对数函数 【课标要求】　1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.对数的概念 (1)定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的　　　　,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.   (2)常用对数与自然对数 通常,我们将以　　　　为底的对数叫作常用对数,即log10N是常用对数,通常简写为　　　　.  以无理数e=2.718 28…为底的对数称为　　　　　　,自然对数logeN通常简写为　　　　.  2.对数的性质 (1)loga1=　　　　(a>0且a≠1);  (2)logaa=1(a>0且a≠1); (3)=　　　　(a>0且a≠1,N>0).  3.对数的运算法则与换底公式 (1)运算法则: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 loga(MN)=　　　　　　　　;  loga=　　　　　　　　;  logaMn=　　　　　　　　(n∈R).  (2)换底公式与推论 换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1). 推论:lobn=　　　　(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;m≠0),logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).  4.对数函数的概念、图象与性质 概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作　　　　函数  底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 　　　　　  值域 　　　  性质 过定点　　　　,即当x=1时,y=0  在区间(0,+∞)上是　　　　函数  在区间(0,+∞)上是　　　　函数  5.反函数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数　　　　　　　　　　互为反函数,它们的图象关于直线　　　　对称.  常用结论 1.logab·logba=1,lobn=logab(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m≠0,n∈R). 2.如图,给出4个对数函数的图象,则b>a>1>d>c>0. 3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(1,0),(a,1),. 题组一　常识题 1.[教材改编] 化简logab·logbc·logca(a>0且a≠1,b>0且b≠1,c>0且c≠1)的结果是　　　　.  2.[教材改编] 设a=log20.3,b=ln 3,c=log32,则a,b,c的大小关系是　　　　　　　　.  3.[教材改编] 函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,a≠1)的图象恒过定点　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错. 4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则=　　　　.  5.函数y=lo(x2-1)的单调递增区间是　　　　.  6.若函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=　　　　.  　对数式的化简与求值 例1 (1)(多选题)已知a=log26,3b=6,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a<b B.+=1 C.(a-1)(b-1)=1 D.log186= (2)计算:lg 2×lg 2500+8×(lg)2++log29×log34= 　　　　.  总结反思 (1)利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简合并; (2)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论, 利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化. 变式题 (1)[2024·北京卷] 生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　 ) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= (2)[2025·安徽皖南八校三联] 已知a,b>0,log2a=1.7,log2=-0.15,则=　　　　.  (3)[2024·全国甲卷] 已知a>1且-=-,则a=　　　　.   　对数函数的图象及应用 例2 (1)(多选题)已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,若ax=b-x,则函数y=loga(-x)与y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是 (　 ) A B C D (2)[2024·北京卷] 已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 (　 ) A.log2< B.log2> C.log2<x1+x2 D.log2>x1+x2 总结反思 (1)在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题. (2)熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题. 变式题 (1)已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是 (　 ) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(0,2) D.(0,1)∪(2,+∞) (2)已知函数f(x)=log2(x+2),若a>b>c>0,则 (　 ) A.<< B.<< C.<< D.<< 　解决对数函数性质有关的问题 微点1　比较大小 例3 (1)已知a=log32,b=log43,c=log0.20.3,则 (　 ) A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.b<a<c (2)[2025·全国一卷] 若实数x,y,z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是 (　 ) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 总结反思 1.比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较;三是通过构造函数,利用所构造函数的单调性确定或估算范围,进而达到比较大小的目的. 2.估值法要记住常用对数近似值,如: lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 5≈0.699 0,lg 7≈0.845 1,ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 5≈1.609 4. 微点2　解对数方程或不等式 例4 (1)若1+lg x-lg y=lg y2,则=　　　　.  (2)[2025·福建宁德三模] 设函数f(x)=|log2x|,则不等式f(x)<f(x-1)的解集是　　　　.  总结反思 对于形如logaf(x)>b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab的形式,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0<f(x)<ab.而对于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解. 微点3　对数函数性质的综合问题 例5 [2025·南通模拟] 已知函数f(x)=log2. (1)判断并证明f(x)的奇偶性; (2)若对任意x∈,t∈[-2,2],不等式f(x)≥t2+at-6恒成立,求实数a的取值范围.     总结反思 利用对数函数的性质,解与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性等问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 1.[2024·天津卷] 若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 2.[2025·浙江金华十校模拟] 已知a=log32,b=log54,c=log98,则 (　 ) A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c 3.已知函数f(x)=lo(3x2-ax+8)在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-6] B.[-11,-6] C.(-11,-6] D.(-11,+∞) 4.已知函数f(x)=ln(ex+e-x),则不等式f(2x-3)>f(x)的解集为　　　　.  5.已知f(x)=1+log3x(x∈[1,9]),设函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),则g(x)max-g(x)min=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $