第2单元 07 第10讲 幂函数、对勾函数与一次分式函数（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦幂函数、对勾函数与一次分式函数三大高考核心考点，按定义、图象、性质的逻辑层次系统梳理，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题技巧，真题训练强化应用能力，助力学生突破函数性质综合应用难点。 资料以数学思维和数学眼光为导向，如对勾函数单调性分析培养推理能力，幂函数图象比较发展几何直观，设置常识题巩固基础、常错题警示易错点、例题变式梯度提升，确保高效复习，为教师把控节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

第10讲　幂函数、对勾函数与一次分式函数 【课标要求】　1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.了解对勾函数的图象与性质. 3.掌握一次分式函数的值域、对称性等性质. 1.对勾函数的图象 (1)当a,b同号时,函数f(x)=ax+的图象形状酷似对勾,故称“对勾函数”,其图象如图所示. (2)当a,b异号时,函数f(x)=ax+的图象如图所示. 2.对勾函数的性质 函数 f(x)=ax+(a,b>0) 图象 性 质 定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 (-∞,-2]∪[2,+∞),当且仅当ax=,即x=±时取到端点值 顶点 坐标 , 奇偶性 奇函数 单调性 在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增 渐近线 x=0,y=ax 3.幂函数 (1)定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 性 质 定义 域 R R R 　　  　　  值域 R 　　  R 　　  　　  奇偶 性 　　  函数 　　  函数 　　  函数 　　  函数 　　  函数 单 调 性 在R上 单调递 增 在　　  上单调 递减;在 　　　上  单调递增 在R上 单调递增 在　  　　  上单调 递增 在　  　　和  　　  上单调 递减 公共 点 　　　  4.一次分式函数 1.定义:我们把形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数. 2.一次分式函数y=(a≠0,ad≠bc)的图象和性质: (1)图象 (2)性质 ①定义域:;值域:; ②对称中心:; ③渐近线方程:x=-和y=; ④单调性:当ad>bc时,函数在区间和上单调递减;当ad<bc时,函数在区间和上单调递增. 常用结论 幂函数的性质 幂函数在(0,+∞)上都有定义; 当α>0时,幂函数的图象都过点(0,0)和(1,1),且在(0,+∞)上单调递增; 当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减; 当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数;当α取正整数时,定义域为R;当α取零或负整数时,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);当α取分数时,可以化为根式,利用根式的要求求定义域. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则函数f(x)=　　　　.  2.[教材改编] 已知α∈.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α=　　　　.  3.[教材改编] 已知函数f(x)=x+(0<a≤2)在[-2,-1]上的最大值比最小值大,则a=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:对勾函数定义域出错;给定区间内忽略函数单调性求最值出错;忽略幂函数的定义域出错. 4.已知函数f(x)=x+,则f(x)的定义域为　　　　,f(x)的值域为　　　　.  5.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围为　　　　.  　幂函数的图象和性质 例1 (1)已知幂函数y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd 在第一象限内的图象如图所示,则 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a>b>c>d B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>b>d>a (2)幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上单调递减,则下列说法正确的是 (　 ) A.m=4 B.f(x)是减函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数 (3)若(a+1)-2>(3-2a)-2,则a的取值范围是　　　　.  总结反思 幂函数的性质因幂指数大于或等于1,大于0且小于1,等于或小于0而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等. 变式题 (1)已知幂函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1在其定义域上是奇函数,则m= (　 ) A.-或3 B.3 C. D.- (2)形如y=xα的函数称为幂函数,写出一个满足条件“函数的图象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数:f(x)=　　　　.  　对勾函数的性质 例2 (1)已知函数f(x)=2x+-6,x∈[1,4],求函数f(x)的单调区间和值域; (2)对于任意x∈[1,+∞),g(x)=≥m恒成立,求m的取值范围.     总结反思 (1)牢记对勾函数解析式的特征及其图象拐点、单调区间、最值等;(2)善于识别并可以将代数式变形转化为对勾函数形式再解决最值、恒成立等有关问题. 变式题 (1)设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 (　 ) A.[-1,0] B.[-1,2] C.[-2,-1] D.[-2,0] (2)若对任意x∈R,不等式3x2-2ax≥|x|-恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  　一次分式函数及其应用 例3 已知函数f(x)=,其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(-1,3)对称时,求a的值; (2)若函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.     总结反思 (1)熟练掌握一次分式函数分离参数的方法与技巧;(2)能够识别复合函数中的一次分式函数模型,抓住其本质,根据需要作出函数的大致图象,数形结合求解. 变式题 函数y=的值域为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲　幂函数、对勾函数与一次分式函数 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 3.(2){x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0} {y|y≥0}　{y|y≠0}　奇　偶　奇 非奇非偶　奇　(-∞,0]　[0,+∞) [0,+∞)　(-∞,0)　(0,+∞) (1,1) 【对点演练】 1.　[解析] 设f(x)=xα,则=2α,解得α=,故函数f(x)=. 2.-1　[解析] 由f(x)=xα为奇函数,知α从-1,1,3中取,又f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减,∴α<0,∴α=-1. 3.1　[解析] 易知f(x)为奇函数,因为f(x)在[-2,-1]上的最大值比最小值大,所以f(x)在[1,2]上的最大值比最小值大.当≤1,即0<a≤1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)max-f(x)min=f(2)-f(1)=2+-1-a=1-=,解得a=1.当1<≤,即1<a≤2时,f(x)在[1,)上单调递减,在(,2]上单调递增,则f(x)min=f()=2,因为f(2)-f(1)=1-≥0,所以f(2)≥f(1),所以f(x)max-f(x)min=f(2)-f()=2+-2=,解得a=1(舍去)或a=9(舍去).综上可得a=1. 4.(-∞,0)∪(0,+∞)　(-∞,-4]∪[4,+∞)　[解析] 要使函数f(x)=x+有意义,则需满足x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).当x>0时,可得x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以f(x)≥4;当x<0时,可得x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=-,即x=-2时,等号成立,所以f(x)≤-4.所以函数f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). 5.(3,5)　[解析] 幂函数f(x)=在定义域(0,+∞)上单调递减,由f(a+1)<f(10-2a),得 解得3<a<5. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)作出直线x=2,与四个函数的图象各有一个交点,得到2a<2d<2c<2b,进而得到a,b,c,d的大小关系.(2)利用幂函数的定义以及单调性即可求出m的值,进而可得正确答案.(3)由f(x)=x-2为偶函数,定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递减,得到不等式组进行求解即可. (1)B　(2)C　(3)(-∞,-1)∪∪(4,+∞)　[解析] (1)作出直线x=2,可知当x=2时,2a<2d<2c<2b,则a<d<c<b.故选B. (2)因为函数f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,所以m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=4时,f(x)=x4在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;当m=-1时,f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递减,满足题意.故m=-1,f(x)=x-1,故A错误.函数f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但f(-1)=-1<1=f(1),故f(x)不是减函数,故B错误.因为函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以函数f(x)是奇函数,不是偶函数,故C正确,D错误.故选C. (3)因为(a+1)-2>(3-2a)-2,f(x)=x-2为偶函数,定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递减,所以解得a<且a≠-1或a>4,所以a的取值范围为(-∞,-1)∪∪(4,+∞). 变式题　(1)D　(2)x-1(答案不唯一) [解析] (1)由函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是幂函数,得3m2-7m-5=1,解得m=3或m=-.当m=3时,f(x)=x2是R上的偶函数,不符合题意;当m=-时,f(x)==是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,符合题意.所以m=-.故选D. (2)由幂函数的图象关于原点对称,得幂函数f(x)为奇函数,又幂函数f(x)的图象与坐标轴没有交点,所以f(x)=xα的幂指数α为负数,不妨取α=-1,所以f(x)=x-1. 例2　[思路点拨] (1)换元并利用对勾函数的单调性求解.(2)变形函数式,再利用对勾函数的单调性求出最小值即可. 解:(1)函数f(x)=2x+-6,x∈[1,4],令2x-1=t∈[1,7],则y=t+-5,t∈[1,7]. 由对勾函数的性质知,函数y=t+-5,t∈[1,7]在[1,2]上单调递减,在[2,7]上单调递增, 又t=2x-1是增函数,当t∈[1,2]时,x∈,当t∈[2,7]时,x∈,因此f(x)在上单调递减,在上单调递增, 则f(x)min=f=-1,f(1)=0,f(4)=,所以函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是,值域是. (2)当x∈[1,+∞)时,g(x)==(x+1)++2,令x+1=u∈[2,+∞),显然函数y=u++2在[2,+∞)上单调递增, 则当u=2时,ymin=5,于是当x=1时,g(x)取得最小值5. 因为对任意x∈[1,+∞),g(x)≥m恒成立,所以m≤5,则m的取值范围是m≤5. 变式题　(1)A　(2)[-1,1] [解析] (1)由题知f(0)=a2,由于f(0)是f(x)的最小值,因此f(x)在(-∞,0]上单调递减,则a≤0.又a2≤x++a,x>0恒成立,而x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,所以a2≤2+a,解得-1≤a≤2.综上,a的取值范围为[-1,0].故选A. (2)由3x2-2ax≥|x|-得2ax≤3x2-|x|+.当x>0时,2a≤,而3x-1+=3x+-1≥2-1=2,当且仅当x=时取等号,所以2a≤2,解得a≤1;当x=0时,不等式恒成立;当x<0时,2a≥,而3x+1+=1-≤-2,当且仅当x=-时取等号,所以2a≥-2,解得a≥-1.综上所述,a的取值范围是[-1,1]. 例3　解:(1)f(x)===a+, 所以f(x)的图象的对称中心为(-1,a),则a=3. (2)由f(x)=知直线x=-1为f(x)的图象的一条渐近线, 又由一次分式函数的性质知,当且仅当1×(2-a)>1×a,即a<1时,f(x)在(-1,+∞)上单调递减,故a的取值范围是a<1. 变式题　(-1,1)　[解析] 令t=2x(t>0),则y=由y=(t>0)与t=2x复合而成.因为y==1-(t>0)单调递增,所以y>-1,又当t→+∞时,y→1,所以y=的值域是(-1,1). 学科网（北京）股份有限公司 $