第2单元 10 第13讲 函数的图象（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖基本初等函数图象特征、图象变换（平移、对称、伸缩、翻折）及图象应用，按“基础方法—变换技巧—性质研究”逻辑架构知识。通过考点梳理、方法指导（如描点法步骤、变换规律）、真题题组（常识题、常错题）及例题精讲，帮助学生系统突破作图、识图、用图难点。 资料以“数学眼光”培养几何直观，“数学思维”强化逻辑推理，设计分层教学活动，如通过常错题辨析平移变换中x系数处理，总结反思提炼识图“定义域—性质—特殊点”三步法。设置基础到综合的变式练习，配合即时反馈，保障复习效率，助力学生提升图象应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第13讲　函数的图象 【课标要求】　1.掌握基本初等函数的图象特征,能熟练运用基本初等函数的图象解决问题. 2.掌握图象的作法:描点法和图象变换. 3.会运用函数的图象理解和研究函数性质. 1.描点法作图 基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性). 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点). 最后:描点、连线. 2.图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 y=f(x)的图象y=　　　　的图象;y=f(x)的图象y= 　　　　的图象;  y=f(x)的图象y=　　　　的图象;  y=ax(a>0且a≠1)的图象y=　　　　(a>0且a≠1)的图象.  (3)伸缩变换 y=f(x)的图象y=f(ax)的图象; y=f(x)的图象y=Af(x)的图象. (4)翻折变换 y=f(x)的图象y=　　　　的图象;  y=f(x)的图象y=　　　　的图象.  常用结论 1.左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,那么需要把系数提出来,再进行变换. 2.上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”. 3.函数图象的对称性 (1)函数图象自身的轴对称 若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)函数图象自身的中心对称 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x). (3)两个函数图象之间的对称关系 ①函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=对称(由a+x=b-x得对称轴方程); ②函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知a>0且a≠1,则函数y=logax与函数y=lox的图象关于直线 　　　　对称.  2.[教材改编] 已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=的图象关于直线　　　　对称.  3.[教材改编] 已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数是　　　　.  　　　　　　　　　　　　　　　 (1)y=f(|x|);(2)y=|f(x)|;(3)y=f(-|x|);(4)y=-f(|x|). 题组二　常错题 ◆索引:函数图象的几种变换记混致错. 4.将函数f(x)=(2x+1)2的图象向右平移一个单位长度,再把所得图象向上平移两个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为　　　　　　.   5.把函数f(x)=ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是　　　　　　.  　作函数的图象 例1 作出下列函数的图象: (1)y=;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=.     总结反思 为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点: (1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如y=x+的函数图象. (2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程. 变式题 作出下列函数的图象: (1)y=|sin x|;(2)y=2x+1-1;(3)y=sin|x|.     　识图与辨图的常见方法 例2 (1)[2025·湖南长郡中学一模] 函数f(x)=的大致图象是 (　 ) A B C D (2)函数f(x)=xln x的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为 (　 ) A B C D (3)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为 (　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)=- B.f(x)=- C.f(x)=- D.f(x)=- 总结反思 1.识别函数图象的常见方法:(1)利用函数的值域和定义域判断;(2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点)或者极限思想等判断. 2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等. 变式题 (1)函数f(x)=xln(x2+1)的大致图象为 (　 ) A B C D (2)已知函数f(x)的图象如图所示,则y=f(|x+1|)的大致图象是 (　 ) A B C D 　以函数图象为背景的问题 微点1　研究函数的性质 例3 (多选题)某学习小组在研究函数f(x)=的性质时,得出了如下结论,其中正确的结论是 (　 ) A.函数f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.函数f(x)在(-2,0)上单调递增 C.函数f(x)在[0,2)上的最大值为- D.方程f(x)-x=0有2个不同实根 总结反思 一般根据函数图象研究函数的性质有以下三方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性. 微点2　解不等式 例4 若关于x的不等式4<3x-4(a>0,且a≠1)对任意的x>2恒成立,则a的取值范围为　　　　.  总结反思 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难但其对应函数的图象可作出时,常结合图象,利用数形结合思想求解. 微点3　求参数的取值范围 例5 已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,则 (　 ) A.a>b B.a+b<2 C.ab>1 D.a2+b2>2 总结反思 当参数的不等关系不易找出时,可将不等式或方程的两边转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象确定参数的取值范围. 1.已知函数f(x)=3x-2x-1,则不等式f(x)<0的解集是 (　 ) A.(0,1) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 2.(多选题)对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的是 (　 )　　 A.f(x+2)是偶函数 B.f(x+2)是奇函数 C.f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增 D.f(x)没有最小值 3.已知函数f(x)=若m<n,且f(m)=f(n),则mf(n)的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲　函数的图象 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 2.(2)-f(x)　f(-x)　-f(-x) logax　(4)|f(x)|　f(|x|) 【对点演练】 1.y=0　[解析] y=lox=-logax,故两个函数的图象关于x轴,即直线y=0对称. 2.x=0　[解析] y==a-x,故两个函数的图象关于y轴,即直线x=0对称. 3.(3)　[解析] 对于(1),当x>0时,y=f(|x|)=f(x),其图象在y轴右侧与图①的相同,(1)不符合题意;对于(2),当x>0时,y=|f(x)|=f(x),其图象在y轴右侧与图①的相同,(2)不符合题意;对于(4),当x<0时,y=-f(|x|)=-f(-x),其图象在y轴左侧与图①的不相同,(4)不符合题意;对于(3),y=f(-|x|)=其图象关于y轴对称,在y轴左侧的图象与图①的相同,(3)符合题意.故填(3). 4.y=(2x-1)2+2　[解析] 将f(x)的图象向右平移一个单位长度后得到y=[2(x-1)+1]2=(2x-1)2的图象,再把所得图象向上平移两个单位长度后得到y=(2x-1)2+2的图象. 5.y=ln　[解析] 根据图象的伸缩变换可得,所求函数解析式为y=ln. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)利用图象的翻折变换作图.(2)利用图象的平移变换和翻折变换作图.(3)先将函数y=化为y=2-,再利用图象的平移变换作图. 解:(1)先作出y=的图象,保留y=的图象中y轴右侧(包括y轴上的点)的部分,再把y轴右侧部分翻折到左侧,即得y=的图象,如图①所示. (2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将所得图象的x轴下方部分翻折到上方,原x轴下方部分去掉,上方及x轴上的点不变,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②. (3)y==2-的图象可由y=-的图象先向左平移1个单位长度,再将所得图象向上平移2个单位长度得到,如图③. 变式题　解:(1)作出y=sin x的图象,再把所得图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,原x轴下方部分去掉,上方及x轴上的点不变,即可得到y=|sin x|的图象,如图①所示. (2)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图②所示. (3)先作出y=sin x的图象,保留y=sin x的图象中y轴右侧的部分及y轴上的点,y轴左侧的部分去掉,再把y轴右侧部分翻折到左侧,即得y=sin|x|的图象,如图③所示. 例2　[思路点拨] (1)利用f(x)的奇偶性和f(π)的正负,排除错误选项,进而得到正确选项.(2)思路一:根据函数f(x)的定义域得到y=f(1-x)的定义域,利用y=f(1-x)的定义域排除错误选项,再结合函数值的正负排除错误选项,进而得到正确选项;思路二:根据函数图象的对称变换和平移变换即可得到正确选项.(3)由f(x)的图象知函数f(x)为偶函数,排除C,根据f(x)的定义域排除B,根据当x→+∞时,y→-∞排除D. (1)A　(2)D　(3)A [解析] (1)f(x)的定义域是R,因为f(-x)===-f(x),所以f(x)是奇函数,排除C,D.由f(π)==>0,排除B.故选A. (2)方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函数y=f(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),设g(x)=(1-x)ln(1-x),则g(-1)=2ln 2>0,排除B.故选D. 方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(-x)的图象,再将所得图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f[-(x-1)]=f(1-x)的图象.故选D. (3)由题图可知,函数图象对应的函数为偶函数,故排除C;由题图可知,函数的定义域不是R,故排除B;由题图可知,当x→+∞时,y→-∞,而对于D中函数,当x→+∞时,y→0,故排除D.故选A. 变式题　(1)C　(2)A　[解析] (1)函数f(x)的定义域为R,又f(-x)=-xln[(-x)2+1]=-xln(x2+1)=-f(x),故函数f(x)为奇函数,排除A,B.由f(1)=ln 2>0,排除D.故选C. (2)将f(x)的图象保持不变,作与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象,得到偶函数y=f(|x|)的图象,再将所得图象向左平移一个单位长度得到y=f(|x+1|)的图象.故选A. 例3　[思路点拨] 由y=的图象经过平移变换和翻折变换得到y=f(x)的大致图象,然后由函数f(x)的大致图象分析函数f(x)的性质即可. BCD　[解析] 将y=的图象向右平移2个单位长度得到y=的图象,将y=的图象y轴右侧的部分及y轴上的点保持不变,y轴左侧的部分去掉,再把y轴右侧部分翻折到左侧,即得f(x)=的图象,如图所示.由函数f(x)是偶函数及f(x)的图象知,函数f(x)的图象不关于点(2,0)对称,故A错误;由图知,函数f(x)在(-2,0)上单调递增,故B正确;由图知,函数f(x)在[0,2)上单调递减,因此当x∈[0,2)时,f(x)max=f(0)=-,故C正确;当x<0时,f(x)=,令=x,得x2+2x+1=0,解得x=-1,由图知,当x>0时,直线y=x与函数y=f(x)的图象有一个交点,所以方程f(x)-x=0有2个不同实根,故D正确.故选BCD. 例4　[思路点拨] 不等式4<3x-4等价于<x-1,令f(x)=ax-1,g(x)=x-1,在同一坐标系中作出两个函数的图象,注意要对a进行分类讨论,结合图象,即可求解. 　[解析] 不等式4<3x-4等价于<x-1.令f(x)=ax-1,g(x)=x-1.当a>1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示,由图可知不满足条件;当0<a<1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象如图②所示,由题意知,f(2)≤g(2),即a2-1≤×2-1,解得a≤.综上,a的取值范围是. 例5　[思路点拨] 作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x,即可判断A,利用反函数的性质可判断B,利用基本不等式可判断C,D. D　[解析] 作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x,如图.由函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点的横坐标分别为a,b,结合图象可知0<a<b,A错误;设A(a,ea),B(b,ln b),也即A(a,2-a),B(b,2-b),因为函数y=ex和y=ln x互为反函数,两个函数的图象关于直线y=x对称,直线y=x与直线y=2-x垂直,所以A,B关于直线y=x对称,故a=2-b,所以a+b=2,B错误;因为0<a<b,a+b=2,所以ab<=1,C错误;因为0<a<b,所以a2+b2>2ab,所以2(a2+b2)>(a+b)2,结合a+b=2,可得a2+b2>2,D正确.故选D. 【应用演练】 1.A　[解析] 方法一:由f(x)<0得3x-2x-1<0,即3x<2x+1.画出函数y=3x与y=2x+1的图象,如图所示,故不等式f(x)<0的解集是(0,1).故选A. 方法二:因为f'(x)=3xln 3-2单调递增,且f'(0)=ln 3-2<0,f'(1)=3ln 3-2>0,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得f'(x0)=0.当x<x0时,f'(x)<0,当x>x0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又f(0)=f(1)=0,所以由f(x)<0可得0<x<1.故选A. 2.AC　[解析] 作出函数f(x)的图象如图所示,将f(x)的图象向左平移2个单位长度,得f(x+2)的图象,易知f(x+2)的图象关于y轴对称,故f(x+2)为偶函数,故A正确,B不正确;由图象可知f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故C正确;由图象可知函数f(x)存在最小值0,故D不正确.故选AC. 3.　[解析] 作出f(x)的图象,如图. 方法一:由f(m)=f(n),且m<n,可知3m+4=3n-2,n∈[1,2),可得m=(n∈[1,2)),则mf(n)=×(3n-2).令t=3n,因为n∈[1,2),所以t∈[3,9),则mf(n)==[(t-4)2-4],t∈[3,9),因此mf(n)∈. 方法二:设f(m)=f(n)=t,因为m<n,所以结合图象可得3m+4=3n-2=t,且t∈[1,7),于是m=,因此mf(n)=mt=·t=t2-t=(t-2)2-.因为t∈[1,7),所以(t-2)2-∈,即mf(n)∈. 学科网（北京）股份有限公司 $