第2单元 04 第8讲 函数的奇偶性、对称性（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性与对称性高考核心考点，依定义、定义域、图象特征及常用结论构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破奇偶性判断、解析式求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以常识题夯实基础、常错题警示误区，例题分角度解析奇偶性应用，变式题强化迁移能力。通过归纳奇偶函数模型、等价关系推理，培养数学思维与表达能力，如判断奇偶性先验定义域再证关系，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第8讲　函数的奇偶性、对称性 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 f(-x)=f(x)　f(-x)=-f(x) 原点　y轴　原点 【对点演练】 1.①③　[解析] 根据偶函数的定义,可知①③是偶函数. 2.(0,1)　[解析] f(x)==1+,函数y=的图象向上平移一个单位长度得到y=1+的图象,又y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称. 3.(-2,0)∪(2,5]　[解析] 由图象知,f(0)=f(2)=0,当0<x<2时,f(x)>0,当2<x≤5时,f(x)<0.因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=0,当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<-2时,f(x)>0.综上,f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,5]. 4.非奇非偶　[解析] 由得即x=1,故函数f(x)的定义域为{1},因为函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数. 5.x=a　(b,0)　[解析] 因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,将y=f(x+a)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则y=f(x+a)图象的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图象关于点(b,0)对称. 6.　[解析] 当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)[(-x)+1]=-x2+x.由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)= ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 首先确定各函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称,若对称,再根据奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性;若不对称,则函数为非奇非偶函数. B　[解析] 对于A,由x+1≠0,得x≠-1,则f(x)的定义域为{x|x≠-1},定义域不关于原点对称,故f(x)=为非奇非偶函数,A不符合题意;对于B,f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),故f(x)为偶函数,B符合题意;对于C,因为-x>0在R上恒成立,所以f(x)的定义域为R,又f(-x)=log2(+x)=log2=-log2(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,C不符合题意;对于D, f(x)的定义域为R,且f(-x)=2-x-=-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,D不符合题意.故选B. 变式题　(1)CD　(2)BC　[解析] (1)对于A,f(x)=的定义域为R,由f(-1)=,f(1)=,得f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),则f(x)既不是偶函数也不是奇函数.对于B,f(x)=的定义域为R,且f(-x)===f(x),则f(x)为偶函数.对于C,由得f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=.又f(-x)==-=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.对于D,显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.故选CD. (2)对于A,设F(x)=f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),故F(x)为奇函数,故A错误;对于B,设m(x)=|f(x)|+g(x),则m(-x)=|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x)=m(x),故m(x)为偶函数,故B正确;对于C,设n(x)=f(x)|g(x)|,则n(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-n(x),故n(x)为奇函数,故C正确;对于D,设φ(x)=f(x)-g(x),则φ(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x),得φ(-x)≠φ(x)且φ(-x)≠-φ(x),故φ(x)为非奇非偶函数,故D错误.故选BC. 例2　[思路点拨] (1)函数为奇函数,则定义域关于原点对称且函数图象过原点,列方程求解即可;(2)根据f(0)=0求得m=-1,再结合奇函数的定义求当x<0时f(x)的解析式. (1)B　(2)-2-x-2x+1 [解析] (1)若a=0,则f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以a≠0.若奇函数f(x)=ln+b有意义,则x≠1且a+≠0,所以x≠1且x≠1+.因为奇函数的定义域关于原点对称,所以1+=-1,解得a=-.由f(0)=0,得ln+b=0,所以b=ln 2,所以f(x)=ln+ln 2,经验证满足题意.故选B. (2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=1+m=0,解得m=-1,故当x≥0时,f(x)=2x-2x-1.当x<0时,-x>0,故f(x)=-f(-x)=-[2-x-2(-x)-1]=-2-x-2x+1. 变式题　(1)D　(2) [解析] (1)因为函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=,则f(1)=f(-1)==-6.故选D. (2)因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以 即解得g(x)=. 例3　[思路点拨] (1)利用偶函数的性质以及函数f(x)在(0,+∞)上单调递增即可得出结论.(2)思路一:根据平移结合图象得到结果;思路二:利用奇函数与函数的单调性求得结果. (1)A　(2)D　[解析] (1)由题意知f(x)为偶函数,所以a=f=f(-log32)=f(log32),当x>0时,f(x)=log2x在(0,+∞)上单调递增,因为0<log52<log32<1,e0.2>e0=1,所以0<log52<log32<e0.2,所以f(log52)<f(log32)<f(e0.2),所以b<a<c,故选A. (2)方法一:由题意可得y=f(x)的图象可如图①所示,∵y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移一个单位得到(如图②),∴满足xf(x-1)≥0即满足f(x-1)与x同号或二者至少有一个为零,由图可得不等式xf(x-1)≥0的解集为[-1,0]∪[1,3]. 方法二:由于f(x)在R上为奇函数,所以f(0)=0,由f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0可得f(-2)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.则对于函数f(x-1)而言,当x∈(-∞,-1)∪(1,3)时,f(x-1)>0;当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f(x-1)<0.又f(-1-1)=f(3-1)=f(1-1)=0,所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围为[-1,0]∪[1,3].故选D. 变式题　(1)D　(2)D　[解析] (1)由f[f(-x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)],且定义域关于原点对称,得f[f(x)]是奇函数,由f[g(-x)]=f[g(x)],且定义域关于原点对称,得f[g(x)]为偶函数,故A,B选项均错误.由题易知函数f(x)在R上单调递减,则f(-1)<f(-2),从而f[f(-1)]>f[f(-2)],故C选项错误.由题易知函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,由0=f(0)<f(-1)<f(-2),得g[-f(-1)]=g[f(-1)]>g[f(-2)],故D选项正确.故选D. (2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以由f(-x)-f(x)<0,可得-f(x)-f(x)<0,即f(x)>0.当x>0时,由f(x)=log2x-1>0,解得x>2;当x=0时,由奇函数的性质可得f(0)=0,不满足f(x)>0;当x<0时,-x>0,则f(-x)=log2(-x)-1,由奇函数的性质,可得f(x)=-f(-x)=-log2(-x)+1,由-log2(-x)+1>0,解得-2<x<0.综上,不等式f(-x)-f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选D. 例4　[思路点拨] 构造函数g(x)=f(x)-7,由奇函数的定义得g(x)为奇函数,利用奇函数图象的对称性得g(x)max+g(x)min=0,即可求解. 14　[解析] 令g(x)=f(x)-7=ax3+3sin x,且x∈[-2026,2026],则g(-x)=a(-x)3+3sin(-x)=-ax3- 3sin x =-g(x),所以g(x)为奇函数且其图象在[-2026,2026]上连续,根据奇函数图象的对称性得g(x)在[-2026,2026]上的最大值、最小值满足g(x)max+g(x)min=M-7+m-7=0,故M+m=14. 变式题　(1)C　(2)　[解析] (1)因为f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-7,-3]上的单调性与f(x)在[3,7]上的单调性相同,故f(x)在[-7,-3]上单调递增.f(x)在[3,7]上的最小值为5,即f(3)=5,所以f(x)在区间[-7,-3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-5.故选C. (2)设g(x)=cos x·ln(x+),x∈[-5,5],则g(-x)=cos x·ln(-x+),g(x)+g(-x)=cos x·ln 1=0,∴g(x)是奇函数,∴g(x)的最大值和最小值互为相反数.∵f(x)的最大值为M,最小值为m,∴M-+m-=0,即M+m=,则f(M+m)=. 例5　[思路点拨] 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,可证P(m,n)关于点(1,a)的对称点Q(2-m,2a-n)也在函数y=f(x)的图象上,从而可证对称性. 证明:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2), 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,P(m,n)关于点(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n). 因为P(m,n)在y=f(x)的图象上,所以n=ln+am+b(m-1)3, 故f(2-m)=ln+a(2-m)+b(2-m-1)3=-+2a=-n+2a, 所以Q(2-m,2a-n)也在y=f(x)的图象上, 所以y=f(x)的图象关于点(1,a)中心对称. 变式题　(1)D　(2)AC　[解析] (1)对于A,y=x3为奇函数,故y=x3+1的图象有对称中心(0,1);对于B,y=x+为奇函数,将其图象向右平移一个单位长度后得到y=x-1+=的图象,故函数y=的图象有对称中心(1,0);对于C,y=为奇函数,其图象有对称中心(0,0).故选D. (2)对于A,∵f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,而f(x-1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故A正确.对于B,由f(x+1)=f(x-1),得f(x)=f(x+2),其图象不一定关于直线x=1对称,若f(x)的图象如图所示,该函数满足f(x)=f(x+2),但函数图象不关于直线x=1对称,故B不正确.对于C,若g(x)=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则g(x+1)=g(-x+1),即f(x)=f(-x),即f(x)为偶函数,故C正确.对于D,函数y=f(x+1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称,故D不正确.故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲　函数的奇偶性、对称性 【课标要求】　1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.能通过平移,了解奇偶性是特殊的对称性,分析得出一般的轴对称和中心对称公式. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　,那么函数f(x)就叫作偶函数  一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫作奇函数  定义域 关于　　　对称  图象 特征 关于　　　　对称  关于　　　　对称  常用结论 1.奇(偶)函数定义的等价形式: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数. 2.若奇函数f(x)在0处有定义,则f(0)=0. 3.f(x)为偶函数⇔f(x)=f(|x|). 4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集. 5.在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 6.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称; (3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称; (4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点对称. 题组一　常识题 1.[教材改编] 函数①f(x)=x2-1,②f(x)=x3,③f(x)=x2+cos x,④f(x)=+|x|中是偶函数的是　　　　.(填序号)  2.[教材改编] 函数f(x)=的图象的对称中心为　　　　. 3.[教材改编] 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　　　　　.    题组二　常错题 ◆索引:判断函数的奇偶性时,忽略函数的定义域导致出错;对函数图象对称性的理解不透彻导致出错;利用函数的奇偶性求函数的解析式时忽略定义域导致出错. 4.函数 f(x)=+ 是 　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  5.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线　　　　对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图象关于点　　　　对称.  6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(x+1),则函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　　　.  　函数奇偶性的判断 例1 下列函数在定义域上是偶函数的为 (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.f(x)= B.f(x)=xsin x C.f(x)=log2(-x) D.f(x)=2x- 总结反思 (1)函数具有奇偶性包括两个必备条件: ①定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. ②判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. (2)一些重要类型的奇偶函数模型 ①函数f(x)=ax+(a>0且a≠1)是偶函数.②函数f(x)=ax-(a>0且a≠1)是奇函数.③函数f(x)=(a>0且a≠1)是奇函数.④函数f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函数.⑤函数f(x)=loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数. 变式题 (1)(多选题)下列函数是奇函数的是(　 ) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= (2)(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x),g(x)均不恒为0,则下列结论中正确的是 (　 ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.f(x)-g(x)是奇函数 　函数奇偶性的应用 角度1　求解析式(参数或值) 例2 (1)[2025·山西大同调研] 若f(x)=ln+b是奇函数,则 (　 ) A.a=,b=-ln 2 B.a=-,b=ln 2 C.a=-2,b=0 D.a=0,b=0 (2)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m,则当x<0时,f(x)=　　　　.  总结反思 利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. 变式题 (1)[2025·江西十二校一联] 已知函数f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=,则f(1)= (　 ) A. B.- C.6 D.-6 (2)已知f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,若f(x)+g(x)=ex+x,则g(x)=　　　　　.  角度2　奇偶性与单调性 例3 (1)[2026·重庆一中月考] 设函数f(x)=log2|x|,若a=f,b=f(log52),c=f(e0.2),则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c (2)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (　 ) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 总结反思 解决函数的奇偶性和单调性结合的问题要注意以下几点 (1)先判断函数的奇偶性、单调性; (2)注意函数定义域对变量取值范围的限定; (3)根据函数的单调性及定义域列出不等式组,解不等式组. 变式题 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)均在[0,+∞)上单调递减,则 (　 ) A.f[f(x)]是偶函数 B.f[g(x)]是奇函数 C.f[f(-1)]<f[f(-2)] D.g[-f(-1)]>g[f(-2)] (2)[2026·山东日照联考] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x-1,则不等式f(-x)-f(x)<0的解集为(　 ) A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(2,+∞) 角度3　函数的奇偶性与最值 例4 已知函数f(x)=ax3+3sin x+7,x∈[-2026,2026]的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.  总结反思 若奇函数的最大值为M,则根据其图象关于原点对称,可得它的最小值为-M.若函数图象关于点成中心对称,则函数图象上的最大值点与最小值点也成中心对称. 变式题 (1)如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上 (　 ) A.单调递增且最小值为-5 B.单调递减且最小值为-5 C.单调递增且最大值为-5 D.单调递减且最大值为-5 (2)已知函数f(x)=+cos x·ln(x+)在区间[-5,5]上的最大值是M,最小值是m,则f(M+m)的值为　　　　　.  　函数图象的对称性 例5 [2024·新课标Ⅰ卷节选] 已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3,证明:y=f(x)的图象关于点(1,a)中心对称.       总结反思 1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a+x)=f(-x). 2.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(2a-x)+f(x)=2b⇔f(a-x)+f(a+x)=2b. 3.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. 4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论: (1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图象关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称); (2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称). 变式题 (1)[2025·重庆八中月考] 下列函数的图象不存在对称中心的是 (　 ) A.y=x3+1 B.y= C.y= D.y= (2)(多选题)对于定义在R上的函数f(x),下述结论正确的是 (　 ) A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称 B.若f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数 D.函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称 学科网（北京）股份有限公司 $