第2单元 05 第9讲 函数的四性质的应用（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数周期性、奇偶性、对称性及综合应用等高考核心考点，依据课标要求构建“定义阐释-常用结论推导-题组分层训练-例题变式拓展”的知识体系，通过考点梳理明确周期性判定方法，方法指导区分对称性与周期性易混点，真题训练（如2022全国乙卷例3）强化综合应用，助力学生突破性质综合应用难点。 讲义创新采用“错题索引+结论对比”策略，如通过辨析“f(x-1)=f(x+2)”与“f(a+x)=f(a-x)”的差异培养数学思维，设置常识题巩固基础、常错题澄清认知，结合变式题提升迁移能力，有效培养学生用数学语言表达函数关系的能力，为教师把控复习节奏、学生高效提升应考能力提供有力支持。

第9讲　函数的四性质的应用 【课标要求】　1.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义. 2.掌握函数的性质. 函数的周期性 (1)周期函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.  (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　　　,那么这个　　　　　　就叫作f(x)的最小正周期.不是所有的周期函数都有最小正周期.  常用结论 1.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论: (1)若f(x+a)=-f(x)(a≠0),则T=2|a|; (2)若f(x+a)=(a≠0),则T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则T=|a-b|. 2.对称性与周期性之间的常用结论: (1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2024)=　　　　.  2.[教材改编] 若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:“若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称”与“若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则周期T=|a-b|”混淆出错. 3.若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的一个周期为　　　　.  4.写出满足y=f(2x-1)为R上的偶函数且f(0)=2的一个函数f(x)的解析式:　　　　　　　　.  　函数的周期性 例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(3)=2,则f(2025)=　　　　.  (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为　　　　　　　.  总结反思 1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期. 2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题. 变式题 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f(log212)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.- B.- C. D. (2)(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则 (　 ) A.f(2027)=0 B.f(x)的值域为[-1,2] C.f(x)在[4,6]上单调递减 D.f(x)在[-6,6]上有8个零点 　函数的奇偶性、对称性与周期性 例2 (多选题)[2026·广东深圳中学摸底考] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 C.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 D.函数f(x)为奇函数 总结反思 (1)周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及周期性进行转换. (2)函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)表明的是函数的对称性,函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系式时不要混淆. 变式题 (1)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则 (　 ) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 (2)[2025·嘉兴二模] 已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=1,f(x)=f(3-x),f(x)+f(x+3)=f(2025),则f(k)= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 例3 [2022·全国乙卷] 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　 ) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 变式题 (多选题)[2025·福建部分优质高中4月联考] 已知函数f(x),g(x)的定义域为R,若函数g(x+1)-1是奇函数,函数f(x+1)是偶函数,f(3)=1,且f(x)-g(1+x)=2,则下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 B.函数g(x)为偶函数 C.4是函数g(x)的一个周期 D.g(k)=36 　函数的对称性、周期性与单调性 例4 (多选题)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在区间[-1,0]上单调递增,则下列结论中正确的是 (　 ) A.f(x)是周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)在[1,2]上单调递增 D.f(2)=f(0) 总结反思 函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性是函数的四大性质,解决四大性质综合的问题,通常先由奇偶性和对称性得出周期,再由已知单调区间得出其他单调区间,最后在整个定义域上解决问题. 变式题 (多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则 (　 ) A.f(0)=f(-2) B.f(x)的周期为4 C.f(x)在(2,3)上单调递减 D.f(2021)>f(2022)>f(2023) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲　函数的四性质的应用 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 (1)f(x+T)=f(x) (2)最小的正数　最小正数 【对点演练】 1.8　[解析] 因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2024)=f(674×3+2)=f(2)=8. 2.5　[解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),又f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5. 3.3(答案不唯一)　[解析] 因为|-1-2|=3,所以f(x)的一个周期为3. 4.f(x)=(x+1)2+1(答案不唯一) [解析] 由y=f(2x-1)为R上的偶函数可得f(-2x-1)=f(2x-1),所以f(-x-1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=-1对称,又f(0)=2,所以满足条件的一个函数f(x)的解析式为f(x)=(x+1)2+1. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)通过已知条件得到函数f(x)的周期,结合f(3)=2得到结果.(2)根据函数f(x)的周期以及偶函数的性质,得到函数f(x)在[2,4]上的解析式. (1)　(2)f(x)=log2(5-x) [解析] (1)∵f(x)f(x+2)=13,∴f(x+2)=,∴f(x+4)===f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2025)=f(1)==. (2)根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],所以4-x∈[0,2],又当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),所以f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x),又f(x)是周期为4的偶函数,所以当x∈[2,4]时,f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),即当x∈[2,4]时,f(x)=log2(5-x). 变式题　(1)A　(2)AB　[解析] (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),则f(x)=-f(x-2),于是f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),即函数f(x)的周期为4.而8<12<16,则3<log212<4,则-1<log212-4<0,又当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,所以f(log212)=f(log212-4)=f=-f=-=-.故选A. (2)对于A,f(2027)=f(507×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;对于B,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,f(x)的取值范围为[-1,2],由函数f(x)是偶函数,可得f(x)在[-2,0]上的取值范围也为[-1,2],又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)的值域为[-1,2],所以B正确;对于C,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又f(x)的周期是4,所以f(x)在[4,6]上也单调递增,所以C错误;对于D,当x∈[0,2]时,令f(x)=2x-2=0,得x=1,所以f(1)=f(-1)=0,又f(x)的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.故选AB. 例2　[思路点拨] 综合利用函数的周期性、对称性、奇偶性,逐一对选项进行分析判断. BC　[解析] 对于A,由f(x+2)+f(x)=0,得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,所以选项A错误;对于B,因为y=f(2-x)是偶函数,所以f(2-x)=f(2+x),即函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以选项B正确;对于C,因为f(2-x)=f(2+x)=-f(x),所以f(2-x)+f(x)=0,则函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以选项C正确;对于D,因为f(2-x)=f(2+x),所以f(-x)=f(4+x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,所以选项D错误.故选BC. 变式题　(1)B　(2)D　[解析] (1)方法一:因为f(2x+1)是奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),且有f(2×0+1)=f(1)=0.又因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1,得f(3)=f(1)=0.在f(-2x+1)=-f(2x+1)中,令x=1,得f(-1)=-f(3)=0,故一定有f(-1)=0,故选B. 方法二:因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(2x)的图象关于点对称,从而f(x)的图象关于点(1,0)对称,于是函数f(x)的周期T=4×|2-1|=4.因为f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0.因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1,得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0.故选B. 方法三:因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,所以可取f(x)=cosx,这时f=,f(-1)=0,f(2)=-1,f(4)=1,故选B. (2)因为f(2025)=f(x)+f(x+3),所以f(3+x)+f(x+6)=f(2025),所以f(x+6)=f(x),所以函数f(x)的周期为6,所以f(x)+f(x+3)=f(2025)=f(337×6+3)=f(3).由f(x)=f(3-x),f(x)+f(x+3)=f(3),f(1)=1,令x=0有f(0)=f(3),f(0)+f(3)=f(3),所以f(0)=f(3)=0,所以f(x)+f(x+3)=0,令x=1有f(1)=f(2)=1,f(1)+f(4)=0,即f(4)=-f(1)=-1,令x=2有f(2)+f(5)=0,即f(5)=-f(2)=-1,又f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+1+0+(-1)+(-1)+0=0,所以故选D. 例3　[思路点拨] 将已知两个方程代换后得到函数g(x)的周期,利用f(x)与g(x)的关系即可计算. D　[解析] 由f(x)+g(2-x)=5得f(x)=5-g(2-x)①.由g(x)-f(x-4)=7得f(x-4)=g(x)-7,所以f(x)=g(x+4)-7②.由①②得5-g(2-x)=g(x+4)-7,即g(x+4)+g(2-x)=12,所以y=g(x)的图象关于点(3,6)对称,g(3)=6,又y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以函数g(x)是周期为4的函数,且g(1)=g(3)=6,f(x)=g(x)-7.因为g(4)+g(2)=12,所以g(4)=12-g(2)=12-4=8,所以f(1)=g(1)-7=-1,f(2)=g(2)-7=-3,f(3)=g(3)-7=-1,f(4)=g(4)-7=1,故选D. 变式题　BCD　[解析] 因为f(x+1)是偶函数,所以f(1-x)=f(1+x).因为g(x+1)-1是奇函数,所以g(-x+1)-1=-[g(x+1)-1],即g(x+1)+g(1-x)=2,又f(x)-g(1+x)=2,所以f(x)+g(1-x)=4,所以f(1-x)+g(x)=4,则f(1+x)+g(-x)=4,所以g(-x)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,故选项B正确.因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)=f(2-x),由f(x)-g(1+x)=2,得f(2-x)-g(3-x)=2,所以g(1+x)=g(3-x),得g(x)=g(4-x)=g(-x),所以g(4+x)=g(x),所以4是函数g(x)的一个周期,故选项C正确.由f(x)-g(1+x)=2,f(3)=1,得f(3)-g(4)=2,所以g(4)=-1,所以g(0)=-1,由g(1-x)+g(1+x)=2,得g(1)+g(1)=2,g(0)+g(2)=2,所以g(1)=1,g(2)=3,因为g(2)≠g(4),所以f(1)≠f(3),故选项A错误.由g(1+x)=g(3-x),得g(1)=g(3)=1,则g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=4,所以 例4　[思路点拨] 由f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(x)是R上的奇函数,由f(x+2)=-f(x)得f(x)是以4为周期的周期函数及f(x)的图象关于直线x=1对称,综合分析得出结论. ABD　[解析] 由f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得f(0)=0,取y=-x,得f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是R上的奇函数.由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此函数f(x)是以4为周期的周期函数,故A正确;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;因为f(x)在区间[-1,0]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,故C错误;由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0)=0=f(0),故D正确.故选ABD. 变式题　ABC　[解析] 由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(0)=f(2),又由f(1+x)=f(1-x),可知f(2+x)=f(-x).因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),所以f(4+x)=-f(-x),所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4,所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),故A,B正确.因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且f(x)的周期为4,所以f(x)在(3,4]上单调递增,又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,则函数f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确.根据f(x)的周期为4,可得f(2021)=f(1),f(2022)=f(2),f(2023)=f(3),因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)且f(3)=f(-1),则f(2021)=f(1),f(2022)=f(0),f(2023)=f(-1),由C选项的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(-1,0]上单调递增,而f(-1)和f(1)的大小关系不能确定,若f(-1)=f(1)=0,则f(2021)>f(2022)>f(2023)不成立,故D错误.故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 $