第2单元 02 第7讲 函数的单调性（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数单调性高考核心考点，依据课标要求系统梳理定义、图象描述、单调区间及最值等知识，通过考点梳理构建“定义—判断—应用”逻辑体系，结合方法指导（如定义法证明四步法）、真题训练（含教材改编题、高考真题）及分层练习（常识题、常错题），帮助学生突破单调性判断、区间求解及参数问题等难点。 资料创新采用“结论归纳+错点警示”教学策略，如总结复合函数“同增异减”规则、辨析“单调区间”与“在区间上单调”差异，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置例题变式与综合应用微点（比较大小、解不等式），配合即时反馈设计，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第7讲　函数的单调性 【课标要求】　1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值,理解它们的作用和实际意义. 2.理解函数单调性的概念,能运用函数图象理解和研究函数的单调性. 3.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性. 4.会求一些具体函数的单调区间. 1.单调函数 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有　　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数  当x1<x2时,都有　　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数  图象 描述 自左向右看图象是 　　　  自左向右看图象是 　　　  2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)　　　　,区间I叫作y=f(x)的　　　　.  3.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有　　　　　;  ∃x0∈D,使得　　　　　  ∀x∈D,都有　　　　　;  ∃x0∈D,使得　　　　  结论 M为最大值 M为最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的　　　　  f(x)图象上最低点的　　　　　  常用结论 1.函数单调性的常用结论: (1)若f(x),g(x)均在区间D上单调递增(减),则f(x)+g(x)也在区间D上单调递增(减). (2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反. (3)若f(x)在区间(a,b)上单调递增(减),且f(x)≠0,则在区间(a,b)上单调递减(增); (4)复合函数单调性的判断方法:“同增异减”. 2.单调性定义的等价形式:设∀x1,x2∈D,x1≠x2. (1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则f(x)在区间D上单调递增; (2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则f(x)在区间D上单调递减. 3.函数最值存在的两个结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到; (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. (3)函数存在唯一的极值点就是它的唯一的最值点. 题组一　常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是　　　　,单调递减区间是　　　　.  2.[教材改编] 设函数y=f(x)满足对任意的x1,x2∈R,都有>0,比较大小:f(-3)　　　　f(-π).(填“>”或“<”)  3.[教材改编] 函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.  4.[教材改编] 已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则函数f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:求单调区间时忘记定义域致误;讨论分段函数的单调性时忘记整体考虑致误;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念致误. 5.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.  6.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为　　　　.  7.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  (2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为　　　　.  　确定函数的单调性 角度1　函数单调性的判断 例1 (多选题)下列函数在其定义域内是增函数的为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=|x2-2x| B.y=ex-e-x C.y=log0.5(x+1) D.y=x+cos x 角度2　利用定义证明函数的单调性 例2 讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.     总结反思 1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符号、得出结论. 2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)直接利用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增+增”为增,“增-减”为增,“减+减”为减,“减-增”为减;(4)导数法;(5)利用“同增异减”的规则判断复合函数y=f[g(x)]的单调性. 　求函数的单调区间 例3 (1)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2) C.(-2,2) D.(-2,0)和(2,+∞) (2)函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是 (　 ) A. B.(0,e) C. D.(e,+∞) 总结反思 (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接. 变式题 (1)函数y=ln(x2-2x)的单调递减区间是 (　 ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(2,+∞) (2)函数y=sin x-xcos x(0<x<2π)的单调递减区间为　　　　.  (3)已知函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　.   　由单调性求参数的取值范围 例4 (1)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  (2)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 总结反思 利用函数的单调性求参数的取值范围(或值)的注意点:(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的. 变式题 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) (2)已知函数f(x)=满足对任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是　　　　.  　函数单调性的应用 微点1　比较大小 例5 [2025·襄阳三模] 函数f(x)=sin x+cos x-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a 总结反思 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解. 微点2　解不等式 例6 (1)已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是　　　　.  (2)定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足:对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-1,则不等式f(log2x-1)>1的解集是 (　 ) A.(0,4) B.(4,+∞) C.(1,4) D.(2,4) 总结反思 利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)将不等式转化成f(x1)>f(x2)(或f(x1)<f(x2))的形式;(2)确定函数f(x)的单调性;(3)根据函数f(x)的单调性去掉符号“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解. 1.已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1-x)的解集为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.[2025·大连一模] 若f(x)是定义在R上的增函数,则“f(x)>x”是“f[f(x)]>x”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若2x-2y<3-x-3-y,则 (　 ) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 4.[2025·山东烟台三模] 已知函数f(x)=ln x+2x,若f(2t)<2,则实数t的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲　函数的单调性 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2) 上升的　下降的 2.单调性　单调区间 3.f(x)≤M　f(x0)=M　f(x)≥M f(x0)=M　纵坐标　纵坐标 【对点演练】 1.(2,3]　[-3,2]　[解析] 由函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图象可得f(x)的单调递增区间是(2,3],单调递减区间是[-3,2]. 2.>　[解析] 因为对任意的x1,x2∈R,都有>0,所以函数f(x)在R上单调递增,又-3>-π,所以f(-3)>f(-π). 3.(-∞,2]　[解析] 函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2,故实数a的取值范围是(-∞,2]. 4.2　　[解析] 函数f(x)=在[2,6]上单调递减,所以f(x)在x=2处取到最大值2,在x=6处取到最小值. 5.[3,+∞)　[解析] 由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3,故f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,结合复合函数的单调性得f(x)的单调递增区间为[3,+∞). 6.　[解析] 由题知解得a≤,即实数a的取值范围为. 7.(1)(-∞,-3]　(2)-3 [解析] (1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a≥4,解得a≤-3,故实数a的取值范围是(-∞,-3]. (2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a=4,解得a=-3. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 通过图象法、函数单调性的性质、复合函数的单调性以及导数等判断函数的单调性. BD　[解析] 对于A,画出函数y=|x2-2x|的图象,如图所示,易知函数y=|x2-2x|在其定义域内不是增函数,故A错误;对于B,因为函数y=ex是R上的增函数,y=e-x是R上的减函数,所以y=ex-e-x是R上的增函数,故B正确;对于C,函数y=log0.5x在其定义域上是减函数,而y=x+1在其定义域上为增函数,所以函数y=log0.5(x+1)在定义域(-1,+∞)上为减函数,故C错误;对于D,y=x+cos x的定义域为R,y'=1-sin x≥0在R上恒成立,故y=x+cos x是R上的增函数,故D正确.故选BD. 例2　[思路点拨] 思路一:利用定义证明函数的单调性即可;思路二:利用导数判断. 解:方法一:任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,易知f(x)==a, 则f(x1)-f(x2)=a-a=, 又x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 方法二:因为f'(x)=,所以当a>0时,f'(x)<0在(-1,1)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f'(x)>0在(-1,1)上恒成立,所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 例3　[思路点拨] (1)作出函数f(x)=x2-4|x|+3的图象,根据图象即可得解;(2)对函数求导,利用导数的符号确定函数的单调区间. (1)B　(2)A　[解析] (1)函数f(x)=x2-4|x|+3=作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间为(-∞,-2)和(0,2).故选B. (2)由题得f'(x)=1+ln x,令f'(x)=0,解得x=,当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,故f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是.故选A. 变式题　(1)C　(2)(π,2π)　(3)[0,2) [解析] (1)由x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数y=ln(x2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).令u=x2-2x,则函数u=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,而函数y=ln u在(0,+∞)上为增函数,故由复合函数的单调性可得y=ln(x2-2x)的单调递减区间为(-∞,0).故选C. (2)由y=sin x-xcos x(0<x<2π),得y'=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,令y'<0,得π<x<2π,所以函数y=sin x-xcos x(0<x<2π)的单调递减区间为(π,2π). (3)由题意知g(x)=x2f(x-1)=作出函数g(x)的图象,如图所示.由图可知,g(x)的单调递减区间是[0,2). 例4　[思路点拨] (1)利用换元法和复合函数的单调性进行判断,由内层函数t=ax+2单调递减并且在区间(1,2)上大于零恒成立联立求解即可;(2)根据分段函数在R上的单调性求解即可. (1)[-1,0)　(2)B　[解析] (1)令t=ax+2,则y=ln t,因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=ln t在定义域内单调递增,所以解得-1≤a<0. (2)因为f(x)在R上单调递增,所以-≥0,且-a≤e0+ln 1,解得-1≤a≤0,故选B. 变式题　(1)D　(2)[2,3] [解析] (1)因为y=2u在R上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得u=x(x-a)=-在(0,1)上单调递减,故≥1,解得a≥2,故选D. (2)因为函数f(x)满足对任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有<0成立,所以函数f(x)在R上单调递减,则解得2≤a≤3,所以a的取值范围是[2,3]. 例5　[思路点拨] 利用导数判断函数的单调性,再利用单调性比较大小. A　[解析] 易知函数f(x)=sin x+cos x-2x的定义域为R,可得f'(x)=cos x-sin x-2=cos-2≤-2<0,所以函数f(x)在R上单调递减.又-π<0<ln 2<1<2e,所以f(-π)>f(ln 2)>f(2e),即a>c>b.故选A. 例6　[思路点拨] (1)先判断函数f(x)的单调性,再根据单调性解不等式即可.(2)利用已知等式结合赋值法可得f(1)=1,再利用函数f(x)的单调性求解. (1)(-∞,-2)∪(1,+∞)　(2)D [解析] (1)由函数f(x)=可得当x≥0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递增,且ln(0+1)=0=-2×02,故函数f(x)在R上单调递增,故不等式f(x+2)<f(x2+2x)等价于x+2<x2+2x,即x2+x-2>0,解得x>1或x<-2,故原不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞). (2)在f(xy)=f(x)+f(y)-1中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)-1,可得f(1)=1,所以f(log2x-1)>1即为f(log2x-1)>f(1).因为函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,所以解得2<x<4,故选D. 【应用演练】 1.A　[解析] 由题可知,f(x)=x|x|=故f(x)在R上单调递增.由f(2x)>f(1-x),得2x>1-x,解得x>.故选A. 2.C　[解析] 因为f(x)是定义在R上的增函数,所以若f(x)>x,则f[f(x)]>f(x)>x,即充分性成立;若f[f(x)]>x,假设存在x0满足f(x0)≤x0,则f[f(x0)]≤f(x0)≤x0,这与f[f(x)]>x相矛盾,所以假设不成立,所以f(x)>x,即必要性成立.综上所述,“f(x)>x”是“f[f(x)]>x”的充要条件.故选C. 3.A　[解析] 构造函数f(x)=2x-3-x,易知f(x)为R上的增函数.由2x-2y<3-x-3-y得2x-3-x<2y-3-y,∴f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>0,故A正确,B错误.|x-y|与1的大小关系不确定,∴ln|x-y|的符号不确定,故C,D均错误.故选A. 4.　[解析] f(x)=ln x+2x的定义域为(0,+∞),因为y=ln x和y=2x在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=ln 1+21=2,所以f(2t)<2等价于f(2t)<f(1),可得0<2t<1,解得0<t<. 学科网（北京）股份有限公司 $