第2单元 01 第6讲 函数的概念及其表示（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示，覆盖定义、三要素、表示法、分段函数等高考核心考点，按“概念梳理-常用结论-分层题组”逻辑架构知识体系。通过考点填空夯实基础，方法总结提炼解题策略，例题变式训练突破定义域转换、解析式求解等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计常错题警示（如换元法忽视新元范围）和分层练习（常识题巩固、能力题提升）。例如解析分段函数问题时，通过分类讨论与图象分析培养推理能力，助力学生高效掌握考点，为教师提供精准复习节奏把控依据，提升学生应考能力。

第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)非空的实数集　任意一个数x 唯一确定的数y (2)定义域　值域　自变量　定义域 函数值 (3)定义域　对应关系 2.解析法　列表法　图象法 3.对应关系 【对点演练】 1.②　[解析] 对于①,两函数的定义域不相同,所以不是同一个函数;对于②,u==v与y=x(x∈R)的定义域、对应关系、值域均相同,故是同一个函数;对于③,y==|x|=当x<0时,对应关系与函数y=x(x∈R)不相同,所以不是同一个函数;对于④,两函数的定义域不相同,所以不是同一个函数.故填②. 2.(-∞,-3)∪(-3,8]　[解析] 要使函数f(x)有意义,只需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,故f(x)的定义域是(-∞,-3)∪(-3,8]. 3.∪ [解析] 函数的定义域为,y===-=-,因为≠0,所以y=-≠,故函数y=的值域为∪. 4.②　[解析] 对于①,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数;对于③,在集合N中可以找到两个元素与1对应,故不是从集合M到集合N的函数;对于④,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数.故填②. 5.x-1(x>0)　[解析] 令t=ex,则t>0,所以f(t)=t-1(t>0),则f(x)=x-1(x>0). 6.(-∞,-1]∪(0,1]　[解析] 当x≤0时,f(x)≥2即为x2+1≥2,解得x≤-1或x≥1,所以x≤-1;当x>0时,f(x)≥2即为-x+3≥2,解得x≤1,所以0<x≤1.综上所述,x的取值范围为(-∞,-1]∪(0,1]. 7.[-3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]　[解析] 由函数图象可知,函数的定义域是[-3,0]∪[2,3],函数的值域是[1,5],其中只有唯一的x值与之对应的y值的取值范围是[1,2)∪(4,5]. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)利用对数、分式、根式的性质列不等式组,求x的取值范围,即得函数f(x)的定义域.(2)①由f(x)的定义域可得1≤2x+1≤2,解不等式可得y=f(2x+1)的定义域;②由y=f(2x+1)的定义域可得3≤2x+1≤5,即可得f(x)的定义域;③由函数y=f(2x+1)的定义域求出y=f(x)的定义域,再求出y=f(2x-1)的定义域. (1)D　[解析] 要使函数f(x)=有意义,需满足解得x>3且x≠4,故函数f(x)的定义域为(3,4)∪(4,+∞).故选D. (2)解:①由1≤2x+1≤2,得0≤x≤,所以函数y=f(2x+1)的定义域为. ②因为y=f(2x+1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5,故函数f(x)的定义域为[3,5]. ③因为函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],所以3≤2x+1≤5. 由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3,所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3]. 变式题　(1)(0,1)　(2)(-2,2]　(3)[1,9]　[解析] (1)对于函数f(x)=+log3x,有解得0<x<1,故函数f(x)=+log3x的定义域为(0,1). (2)因为函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),所以-1≤2x+1<3,所以函数f(x)的定义域为[-1,3),由-1≤1-x<3,解得-2<x≤2,所以函数y=f(1-x)的定义域为(-2,2]. (3)由x∈[1,3],得x-1∈[0,2],所以log3x∈[0,2],可得x∈[1,9],所以y=f(log3x)的定义域为[1,9]. 例2　[思路点拨] (1)思路一:利用换元法求解析式;思路二:利用配凑法求解析式.(2)设出二次函数f(x)的解析式,然后利用待定系数法求解即可.(3)用-x替换x,构造方程组即可求出f(x).(4)由f的定义域得到f(x)的定义域,通过对f的解析式变形、配凑,可得f(x)的解析式. (1)f(x)=x2-5x+9　(2)f(x)=x2-x+1　(3)f(x)=3x (4)f(x)=x2-2(x∈(-∞,-2]∪[2,+∞))　[解析] (1)方法一(换元法):令2x+1=t(t∈R),则x=,所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x+9. 方法二(配凑法):因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-5(2x+1)+9,所以f(x)=x2-5x+9. (2)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.在f(x+1)-f(x)=2x中,令x=0,则f(1)-f(0)=0,∴f(1)=1,即a+b+1=1,故a+b=0①;令x=1,则f(2)-f(1)=2,∴f(2)=3,即4a+2b+1=3,故2a+b=1②.由①②得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1. (3)(方程思想)因为2f(x)+f(-x)=3x①,所以将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x②,由①②解得f(x)=3x. (4)因为当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,当x<0时,x+≤-2,当且仅当x=-1时等号成立,所以f(x)的定义域为(-∞,-2]∪[2,+∞).因为f=x2+=-2=-2,所以f(x)=x2-2(x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)). 变式题　(1)f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1　(2)-x+　(3)f(x)=x2-2x-3(x≥1)　[解析] (1)设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,所以解得或故f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1. (2)∵f(x)+2f=3x,∴f+2f(x)=,联立得-3f(x)=3x-,∴f(x)=-x+. (3)令t=+1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),即f(x)=x2-2x-3(x≥1). 例3　[思路点拨] (1)利用函数f(x)的解析式由内到外逐层计算可得f的值;(2)先根据当x>0时,f(x)=f(x-3),得f(4)=f(1)=f(-2),再根据当x≤0时,f(x)=2x2+1求得f(-2)的值,即得f(4)的值. (1)C　(2)9　[解析] (1)由解析式可得f=log2=-2,则f=f(-2)==4.故选C. (2)f(4)=f(4-3)=f(1)=f(1-3)=f(-2)=2×(-2)2+1=9. 例4　[思路点拨] (1)根据分段函数的定义,分情况讨论f(a)的取值范围,再进一步求出a的值;(2)分x<0和x≥0两种情况求解即可. (1)或-1或　(2)B [解析] (1)设t=f(a),则f[f(a)]=f(t)=-1,当t>0时,f(t)=log3t,由log3t=-1,可得t=3-1=.当t≤0时,f(t)=,由=-1,两边同时立方可得t=(-1)3=-1.当f(a)=时,若a>0,则f(a)=log3a=,可得a=;若a≤0,则f(a)==,无解,舍去.当f(a)=-1时,若a>0,则f(a)=log3a=-1,可得a=;若a≤0,则f(a)==-1,可得a=-1.综上,a=或a=-1或a=. (2)当x<0时,不等式f(x)<2即为-x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x<0;当x≥0时,不等式f(x)<2即为log2(x+1)<2,所以x+1<4,且x+1>0,可得0≤x<3.综上,不等式f(x)<2的解集是(-∞,3).故选B. 【应用演练】 1.B　[解析] 由题意知,f(1)=a+3,f(-1)=,所以f(a+3)=.当a+3≥0,即a≥-3时,f(a+3)=a+3(a+3)=4a+9=,解得a=-,满足题意;当a+3<0,即a<-3时,f(a+3)=2a+3=,解得a=-4,满足题意.所以a=-或a=-4.故选B. 2.B　[解析] 由函数f(x)= 可得函数y=f(x)在(-∞,t),[t,+∞)上单调递增,当x<t时,f(x)max→t3,当x≥t时,f(x)min=t.若存在m使得关于x的方程f(x)=m有两个不同的根,只需t3>t,解得-1<t<0或t>1,所以t的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).故选B. 3.e　[解析] 当a≤0时,f(a)=ea=e,方程无解.当x>0时,f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1,令f'(x)<0,得0<x<,令f'(x)>0,得x>,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.f=-<0,当x→0时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→+∞,当0<x<1时,f(x)<0,当x>1时,f(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点.当a>0时,由f(a)=aln a=e,解得a=e.综上,a=e. 4.　[解析] 当x>时,不等式可化为2x+>1,易知2x+>1恒成立,即x>符合题意;当0<x≤时,不等式可化为2x+x-+1>1,易知2x+x-+1>1恒成立,即0<x≤符合题意;当x≤0时,不等式可化为x+1+x-+1>1,解得x>-,即-<x≤0.综上,x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 【课标要求】　1.用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地,设A,B是　　　　　　　,如果对于集合A中的　　　　　　　　,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　　和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.  (2)函数的三要素 函数由　　　　、　　　　和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中, 　　　　　　的取值范围(即数集A)叫作函数的　　　　,　　　　　　的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.非空数集A即为函数的定义域,值域为B的子集.  (3)同一个函数 如果两个函数的　　　　相同,并且　　　完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.  2.函数的表示法 函数的常用表示方法:　　　　、　　　　、　　　　.  3.分段函数 若一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的　　　　,则称其为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.各段函数的定义域区间端点应不重不漏.  常用结论 1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象有0个或1个交点. 2.常见函数的定义域 (1)分式中分母不等于0. (2)偶次根式的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)零次幂的底数不能为0. (5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R. (6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)y=tan x的定义域为. 3.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R. (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为. (3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}. (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R. 题组一　常识题 1.[教材改编] 下列函数中与函数y=x(x∈R)是同一个函数的是　　　　.  ①y=()2;②u=;③y=;④m=. 2.[教材改编] 函数f(x)=的定义域是　　　　　　.  3.[教材改编] 函数y=的值域为　　　　　　　　　　.  4.[教材改编] 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是　　　　.(填序号)  题组二　常错题 ◆索引:换元法求解析式时忽视新元的取值范围致误;解与分段函数有关的不等式时忘记自变量的取值范围致误;忽略端点位置致误. 5.已知f(ex)=ex-1,则f(x)=　　　　.  6.已知函数f(x)=则使f(x)≥2成立的x的取值范围为　　　　　　.  7.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域是　　　　,值域是　　　　,其中只有唯一的x值与之对应的y值的取值范围是　　　　.  　函数的定义域 例1 (1)函数f(x)=的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(3,4) B.(3,+∞) C.(4,+∞) D.(3,4)∪(4,+∞) (2)求符合下列要求的函数的定义域. ①已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x+1)的定义域; ②已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数f(x)的定义域; ③已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x-1)的定义域.   总结反思 (1)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合,如分式的分母不等于0、对数的真数大于0等,所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组),不等式(组)的解集即为定义域. (2)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域. 变式题 (1)函数f(x)=+log3x的定义域为　　　　.  (2)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),则函数y=f(1-x)的定义域为　　　　.  (3)已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,3],则函数y=f(log3x)的定义域为　　　　.  　函数的解析式 例2 (1)已知f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)的解析式为　　　　　　.  (2)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的解析式为　　　　　　.  (3)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)的解析式为　　　　　　.  (4)已知f=x2+,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.  总结反思 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后用x替换g(x),即得f(x)的解析式. (4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 变式题 (1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.  (2)设函数f(x)对一切非零实数x,均有f(x)+2f=3x成立,则f(x)=　　　　.  (3)已知函数f(+1)=x-4,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  　以分段函数为背景的问题 微点1　分段函数求值 例3 (1)[2025·广西柳州三模] 已知函数f(x)=则f= (　 ) A. B. C.4 D.16 (2)[2025·江西鹰潭一模] 已知函数f(x)=则f(4)=　　　　.  总结反思 分段函数求值的基本原则是分段进行,即自变量的取值属于哪一段范围,就代入这一段的解析式求值,对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值. 微点2　分段函数与方程、不等式 例4 (1)[2026·南通9月调考] 已知函数f(x)=若f[f(a)]=-1,则a的值为　　　　.  (2)已知f(x)=则不等式f(x)<2的解集是 (　 ) A.(-∞,2) B.(-∞,3) C.[0,3) D.(3,+∞) 总结反思 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;若是求自变量的值,则需要结合分段区间对自变量进行分类讨论,再求值. (2)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解. 1.已知函数f(x)=若f[f(1)]=f(-1),则实数a的值为 (　 ) A.- B.-4或- C.-4 D.2 2.已知函数f(x)=若存在m使得关于x的方程f(x)=m有两个不同的根,则t的取值范围为 (　 ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.[2025·深圳二模] 已知函数f(x)=若f(a)=e,则实数a=　　　　.  4.设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $