第2单元 06 增分微课2 破解抽象函数的方法（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕抽象函数核心考点，按求值、性质、迭代逻辑层次展开，通过考点梳理（定义与研究方向）、方法指导（通法与模型化）、真题训练（高考及模拟题）环节，帮助学生构建知识体系和解题思路。 讲义采用通法与模型化双轨教学，如通过赋值法推导奇偶性、联想对数函数模型解决不等式，培养数学思维与模型意识。设置基础变式与高考真题分层练习，配合即时方法总结，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

　　抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数.抽象函数主要有两个研究方向:一是由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数或其他知识,再由此预测、猜想抽象函数可能有的相关结论;二是根据给出的抽象函数性质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)相结合,以小题的方式考查居多. 解决抽象函数问题的常用方法 方法一(通法): 1.赋值,特殊值代入求值,如令x=-1,0,1等. 2.通过函数式得到抽象函数的性质: (1)通过f(x1)-f(x2)的变换判断单调性; (2)令式子中出现f(x)和f(-x),判断函数的奇偶性; (3)换x为x+T确定是否具有周期性. 方法二(模型化): 结合具体函数,使得抽象函数具体化,常见的有: (1)f(x+y)=f(x)+f(y)→f(x)=kx; (2)f(x+y)=f(x)f(y)→f(x)=ax(a>0且a≠1); (3)f(xy)=f(x)+f(y)→f(x)=logax(a>0且a≠1); (4)f(xy)=f(x)f(y)→f(x)=xn(n为常数); (5)f(x+y)=→f(x)=tan x; (6)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)→f(x)=cos ωx. 类型一　抽象函数求值 例1 [2025·青岛三模] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),f(1)=1,则f(2025)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.0 C.1 D.2 变式题 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)+f(b)-ab恒成立.若f(-1)=3,则f(3)= (　 ) A.0 B.-9 C.-12 D.-15 类型二　抽象函数的性质 例2 已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递增; (3)解不等式f(2x2-1)<2.     变式题 (1)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　 ) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 (2)[2026·大同调研] 已知定义域为R的函数f(x),对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,则当x∈[-2,1]时,f(x)的取值范围为　　　　.  例3 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=(　 ) A.-3 B.-2 C.0 D.1 变式题 (多选题)[2026·重庆巴蜀中学开学考] 已知定义域为R的函数f(x),对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(2)=-1,则以下结论正确的是 (　 ) A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D.f(1)+f(2)+…+f(2025)=0 类型三　抽象函数迭代 例4 [2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 (　 ) A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10 000 变式题 (多选题)[2025·南京六校调研] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=0,f'(1)=,则 (　 ) A.f(1-x)+f(1+x)=0 B.f(2)=1 C.f(2024)=1012×2023 D.f'(k)=2023×2024 学科网（北京）股份有限公司 $草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 增分微课2破解抽象函数的方法 例1C[解析]令x0,则)少片212)，)-)，x)为奇函数.令 =1,则+1)x-1)=21-x1)=21-x),.x)为奇函数，∴.1-x)x-1),∴+1)= x-1),∴.+2)=x),∴+4)x),∴.x)的周期为4，故2025)=1)=1.故选C. 变式题D[解析]令-b0,得0)20)，所以0)0，令=1，b=-1,得 0)1)+-1)+1=0,又-1)=3，所以1)=-4，令=b=1,得2)=1)+1)-1=9，令 =1,b=2,得3)=1)十f2)-2=15.故选D. 例2解(1)证明：令x1x2=1,得1)=21)，.1)0， 令x1x2二1，得1)=-1)+-1)=0，∴-1)0， ∴-x)=-1x)式-1)十xx),又x)的定义域关于原点对称，x)是偶函数 2证阴设n0才气货 g0:1.0即P0,0在0，m）上单词递增 X (3).2)=1,.4)=2)+2)=2. ,x是偶函数，∴.不等式2x2-1)2可化为2x2-1)4), 又函数在(0，+o)上单调递增，∴2-1K4,解得.10回 2 2 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又2-10,3x中7 ∴.不等式的解集为 910 92U92 92U92 910 2,2222’2 变式题(1)ABC(2)[-4,2] [解析](1)令x=y0,可得0)=0，故A正确，令x=1,可得1)式1)十1)，即1)=0，故 B正确，令x=-1,则1)-1)十-1)，可得-1)0，令x-1,yx,可得 (-1)×x]xx-1)+(1)×x),即-x)式x,故w是偶函数，故C正确；设函数x)=0, 此时满足)yx)十xy,但函数x)没有极值点，故D错误.故选ABC. (2)设x1<,则x3->0,所以x-x1)0.又fx))=x2-x1+x1]x1)式x-x)十x) x)=x-x)>0,所以函数x)为增函数.令x0,得0)0，令=-x,则0)x)汁 x)=0.因为x的定义域为R,关于原点对称，所以x)为奇函数，所以1)= -1)=2,-2)式-1-1)=2-1)=-4，所以x)在[-2,1]上的取值范围为[-4,2]. 例3A[解析]方法一：令x=1,=0,得21)=10)，所以0)=2.令y=1,得 +1)+x-1)=x1),所以+1十x-1)=x),即x+1)厂x)x-1),所以 x+2)+1)x),所以x+2)=x-1),即+3)=x),所以x)=-+3)+6),即x) 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 是周期为6的周期函数.因为0)=2,1)=12)=1)0)=1,3)=0)=-24)=- 1)=15)=2)=16)=0)=2,所以 f(k)-[f(1)+f(2)+.+f(181+[f(19)+f(20)+f(21)+f(221=f(19)+f(20)+f(21)+f(22) 方法二：令x=1,-0,得21)=1)0)，所以0)=2.设(xacos x,.则由0)-21)=1 知22c0801,解得cos0之不妨取w号，则Pco学x,所以rtH 2co87x+T+2co匹Y5y厂4cos匹cos匹y00,所以y2c0snx符f 3业 33 3 2π 条件，因此)的最小正周期T=π-6，且2)一13)一2,4)-15)16)=2，所以 1)+2)+3)+4)+5)+6)=0,所以 f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 22 变式题ACD[解析]方法一：对于A,令x0,可得2[f0)]=20),解得0)0或 0)1,令x=1,可得2)+0)-2[1)]，当0)=0时，-1=2[1)]P,显然不成立，故 0)-1,故A正确，对于B,令x-0,得20)y)式y汁-)，即-y)式y),又函数x的定 义域为R,所以x)为偶函数，故B错误，对于C,由选项A知，2[1)]=2)+0)=0，所 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 以1)=0，令x=1,得21))=1+y汁1-)=0，即1+x)汁1-x)0,所以函数x)的图 象关于点(1,0)中心对称，故C正确，对于D,因为x为偶函数，所以-x)=x),又由C 选项得1+x)十1-x)=0,即-x)+2+x)0,得x)汁术2+x)=0,所以4+x)-2+x)式x), 故函数w的周期为4，因为1)=0,2)=-1,3)=孔-1)=1)=0,4)0)=1，所以 1)+2)+3)+4)=0+(-1)+0+1=0,所以1)+2)+..+2025)2025)1)-0，故D 正确.故选ACD 方法二：根据题意可设)=COS x,.由2)-cos2w=1,可得w-兀+kπk1∈Z),不妨 令0受则尤)c0s经满足题意易知九)是偶函数，B错误大0一os0=1,A正确，令 xmk∈Z.测x1+2∈Z当0时x1,故)的图象关于点(1,0中心对 2π 称，C正确：x)的最小正周期T=π=4，又1)=0,2)=-13)0,4)=1，所以 1)+2)+..+2025)-506[1)+2)+3)+4)]+2025)=2025)=1)=0,D正确.故选 ACD. 例4B[解析]因为w)>x-1十x-2),且当3时，人x)x,所以 3)>2)+1)=3,4)>3)+2)>5,5)>4)+3)>86)>5+8=13,7)>8+13=21,8)>13 +21=34,9)>21+34=55,10)>34+55-89,.20)>10946.故选B. 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 变式题BC[解析]令x==0,则有0)=0)+0)十0，即0)=0，令=1，则有 x+1)x)+1)十x式x)+x,所以2)式1)+1=1≠0=0)，所以函数x)的图象不关于点 (1,0)对称，故A错误，B正确，由x+1)x)+x,得+1)x)=x,则2024)=2024) 2023)片2023)2022)++2)-1)+/1)-2023+2022+.+1+0-(2023+1)×2023 =1012×2023,故C正确；因为f+1)=式x)十x,所以fx+1)=fx)+1,即f(+1)f(x)-1,令 a0m0n∈N,则有a-1a1,又a所以数列a是等差数列，其首项为2 公差为1，所以a}r1x1与r号即0r号则 2024 日+2024.×2024 f'(k)= -=1012×2024,故D错误.故BC. 2