第1单元 06 第5讲 第1课时 二次函数及其性质（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次函数核心考点，依课标要求系统梳理二次函数的图象、定义域、值域、单调性等性质，通过对比表格呈现a>0与a<0时的差异，结合常用结论（三种解析式、零点分布）构建知识网络，设置常识题、常错题及例题变式，形成考点梳理、方法指导、真题训练的完整教学链条。 讲义突出数学眼光与思维培养，如用表格对比图象特征发展几何直观，通过二次函数最值分类讨论训练逻辑推理，分层题组（基础巩固与易错突破）精准对接高考。例题中解析式求法示范三种形式选择策略，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第5讲　一元二次函数、方程和不等式 / 第1课时　二次函数及其性质 / 【课标要求】　1.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值). 2.了解二次函数的广泛应用. 二次函数的图象和性质 解析式 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0) 图象 定义域 R R 值域 　　　　　　  　　　　　　  单调性 在　　　　　　上单调递减,在上单调递增  在　　　　　　上单调递增,在上单调递减  顶点 坐标 　　　　　　　  奇偶性 当　　　　时为偶函数  对称轴 方程 x=- 常用结论 1.二次函数解析式的三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.一元二次函数图象与x轴的交点个数 (1)没有交点⇔Δ<0; (2)有一个交点⇔Δ=0; (3)有两个不同的交点⇔Δ>0. 3.二次函数零点的分布问题 设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若在区间[m,n]上,有f(m)≥0,f(n)≤0,则曲线y=f(x)必与x轴相交(f(x)在[m,n]内至少有一个零点). 题组一　常识题 1.[教材改编] 函数y=-3x2+12x-8的最大值为　　　　.  2.[教材改编] 已知f(x)为二次函数,若f(x)在x=2处取得最小值-2,且f(x)的图象经过原点,则函数f(x)的解析式为　　　　.  3.[教材改编] 若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:对二次函数的图象特征把握不准致误;二次函数的单调性理解不到位致误. 4.若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图象是　　　　.(填序号)  5.若函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上单调递减,则m的取值范围是　　　　.  　二次函数的解析式 例1 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=　　　　　.  总结反思 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式. 变式题 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则f(x)=　　　　.  　二次函数的图象 例2 (1)已知函数f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c,a+b+c=0,则f(x)的图象可能是 (　 ) A B C D (2)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列4个图象之一,则a的值为 (　 ) ① ② ③ ④ 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.-1 C. D. 总结反思 研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 变式题 (多选题)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且经过A(-1,0),B(0,1)两个点,则下列说法正确的是 (　 ) A.abc<0 B.a=b+1 C.-1<a<0 D.0<a+b+c<2 　二次函数的最值 例3 已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2. (1)若a=2,求函数f(x)在区间(-1,2)上的取值范围; (2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值.     总结反思 (1)影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素是图象的开口方向、对称轴位置、闭区间. (2)常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解最大值与最小值,通常在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值. (3)当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论. 变式题 已知函数f(x)=x2-2ax-3. (1)若f(x)在[3,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (2)求f(x)在[-1,2]上的最小值.       学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　一元二次函数、方程和不等式 第1课时　二次函数及其性质 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 　 　 　b=0 【对点演练】 1.4　[解析] y=-3(x2-4x+4)+4=-3(x-2)2+4≤4. 2.f(x)=x2-2x　[解析] 由题意,可设f(x)=a(x-2)2-2(a>0),又f(x)的图象过原点,所以f(0)=4a-2=0,解得a=,所以f(x)=(x-2)2-2=x2-2x. 3.6　[解析] ∵函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,∴-=1且=1,∴a=-4,b=6. 4.③　[解析] 由题意可知,函数图象的开口向下,对称轴方程为x=-,且->0,函数图象过原点,故填③. 5.　[解析] 当m=0时,函数y=x+2在[3,+∞)上单调递增,不符合题意;当m≠0时,函数y=mx2+x+2的图象的对称轴为直线x=-,依题意知解得m≤-. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] 根据f(2-x)=f(2+x)得到函数f(x)的图象关于直线x=2对称,结合f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,得到f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(1,0)和(3,0),设出f(x)的零点式,将点(4,3)的坐标代入,即可求出f(x)的解析式. x2-4x+3　[解析] 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,所以f(x)=0的两个根分别为2-1=1和2+1=3,所以二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(1,0)和(3,0),故可设f(x)=a(x-1)(x-3).因为点(4,3)在f(x)的图象上,所以3a=3,解得a=1,故f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. 变式题　-4x2+4x+7　[解析] 方法一(利用“一般式”):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得解得所以f(x)=-4x2+4x+7. 方法二(利用“顶点式”):设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1)=-1,所以f(x)的图象的对称轴为直线x==,所以m=.又函数f(x)有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a+8.因为f(2)=-1,所以a+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 方法三(利用“零点式”):由题可知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数f(x)有最大值8,所以=8,解得a=-4,故f(x)=-4x2+4x+7. 例2　[思路点拨] (1)根据a>b>c,a+b+c=0,判断出a,c的符号后可得正确的选项;(2)由二次函数的性质得该函数的图象的对称轴不为y轴,当a>0时,对称轴方程为x=-<0,当a<0时,对称轴方程为x=->0,进而得该函数的图象,结合函数图象过坐标原点且开口向下即可得答案. (1)D　(2)B　[解析] (1)因为a>b>c,a+b+c=0,所以a+a+a>a+b+c=0,即a>0,所以f(x)的图象开口向上,排除B,C;又c+c+c<a+b+c=0,所以c<0,所以f(0)=c<0,排除A.故选D. (2)由题知b>0,a≠0,所以二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象不关于y轴对称,故①②中图象不满足题意.当a>0时,该二次函数的图象的对称轴为直线x=-,易知x=-<0,故④中图象不满足题意.当a<0时,该二次函数的图象的对称轴为直线x=-,易知x=->0,图象开口向下,故③中图象满足题意,此时函数图象过坐标原点,故a2-1=0,可得a=-1.故选B. 变式题　ACD　[解析] 根据题意,得a<0,因为二次函数的图象过点B(0,1),所以c=1,又顶点在第一象限,所以对称轴方程为x=->0,则ab<0,所以abc<0,故A正确;二次函数的图象过点A(-1,0),所以a-b+c=a-b+1=0,则a=b-1,故B错误;因为a<0,ab<0,所以b>0,则a=b-1∈(-1,0),故C正确;因为a-b+1=0,所以b=a+1,又a∈(-1,0),所以a+b+c=2a+2∈(0,2),故D正确.故选ACD. 例3　[思路点拨] (1)把a=2代入函数解析式,再判断函数在已知区间上的单调性,即可求解;(2)根据对称轴的位置,分三种情况讨论,分别求出f(x)在已知区间上的最小值,令其为3,解出a的值,即可求解. 解:(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2,f(x)的图象的对称轴方程为x=1,∴函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增, ∴f(x)在区间(-1,2)上的最小值为f(1)=-2,又f(-1)=14,f(2)=2, ∴f(x)在区间(-1,2)上的取值范围为[-2,14). (2)f(x)=4-2a+2,其图象的对称轴方程为x=. ①当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)=a2-2a+2, 由a2-2a+2=3,可得a=1-. ②当0<<2,即0<a<4时,f(x)在[0,2]上的最小值为f=-2a+2,-2a+2=3在(0,4)上无解. ③当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)=a2-10a+18,由a2-10a+18=3,可得a=5+.综上所述,a=1-或a=5+. 变式题　解:(1)由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,且其对称轴为直线x=a,要使得f(x)在[3,+∞)上单调递增,则满足a≤3,所以a的取值范围为(-∞,3]. (2)由函数f(x)=x2-2ax-3,可得f(x)的图象开口向上,且其对称轴为直线x=a, 当a≤-1时,函数f(x)在[-1,2]上单调递增,所以f(x)在[-1,2]上的最小值为f(-1)=2a-2; 当-1<a<2时,函数f(x)在[-1,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增,所以f(x)在[-1,2]上的最小值为f(a)=-a2-3; 当a≥2时,函数f(x)在[-1,2]上单调递减,所以f(x)在[-1,2]上的最小值为f(2)=1-4a. 综上可得,f(x)在[-1,2]上的最小值f(x)min= 学科网（北京）股份有限公司 $