第1单元 04 第4讲 基本不等式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义聚焦基本不等式高考核心考点，按概念（成立条件、等号条件）、重要不等式（a²+b²≥2ab等）、求最值方法（积定和最小、和定积最大）的逻辑架构梳理，通过知识点填空、题组训练（常识题、常错题）、例题精讲（直接用、变形用）等环节，帮助学生系统掌握应用要点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，设计配凑法、常数代换法等微点突破策略，如例3用常数代换解决x∈(0,4)时f(x)=4/(4-x)+x/2的最值，结合实际应用案例（促销活动利润问题）培养建模能力，分层练习确保复习针对性，助力教师高效把控复习节奏，提升学生应考能力。

第4讲　基本不等式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)a>0,b>0　(2)a=b　(3) 2.(1)2ab　(2)2 3.(1)2　(2) 【对点演练】 1.4　2　[解析] 因为x>1,所以x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立,所以y=x+的最小值为4. 2.　[解析] 因为0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=×2x×(3-2x)≤=,当且仅当2x=3-2x,即x=时取等号. 3.3　[解析] 因为x>2,所以f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立.故a=3. 4.9　9　162π　[解析] 设矩形的长为a cm,宽为b cm,∵矩形的周长为36 cm,∴2(a+b)=36,∴b=18-a,而旋转形成的圆柱的侧面积为2πab=2πa(18-a)≤2π×=162π,当且仅当a=18-a,即a=b=9时等号成立,∴当矩形的长、宽均为9 cm时,旋转形成的圆柱的侧面积最大,最大侧面积为162π cm2. 5.3+2　[解析] 因为x<0,所以-3x>0,->0,所以y=3-3x-=3+≥3+2=3+2,当且仅当-3x=-,即x=-时,等号成立,所以y=3-3x-的最小值是3+2. 6.-3　[解析] 设x-2=t,则x+=t++2.由x≤-2得t≤-4,因为函数y=t++2在(-∞,-4]上单调递增,所以当t=-4时,y=t++2取得最大值,最大值为-4++2=-3,故当x≤-2时,x+的最大值为-3. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)由基本不等式结合特例即可判断. (1)C　(2)ABD　[解析] (1)对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;对于B,取a=,b=,此时+=2+4=6<=8=,故B错误;对于C,由基本不等式可得a+b≥2>,故C正确;对于D,方法一:取a=,b=,此时+=2+4=6>=4=,故D错误. 方法二:由基本不等式知,若a>0,b>0,则≤,即+≥,当且仅当a=b时等号成立,故D错误.故选C. (2)对于A选项,4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0,即4ab≤(a+b)2,故A选项正确;对于B选项,当a+b>0时,>0,则-==≤0恒成立,即≤恒成立,当a+b≤0时,原不等式恒成立,故B选项正确;对于C选项,当a+b>0时,2ab-=≤0,即2ab≤,所以≤,当a+b<0时,2ab-=≤0,即2ab≤,所以≥,故C选项错误;对于D选项,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab,故ab≤,故D选项正确.故选ABD. 变式题　(1)AD　(2)B　[解析] (1)对于选项A,当x≠0时,x2>0,y=x2+≥2,当且仅当x2=时,等号成立,故y=x2+的最小值是2,故选项A符合题意;对于选项B,当x>0时,y=x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即y=x+的最小值是2,故选项B不符合题意;对于选项C,y=+,令t=,则t≥,y=t+在[,+∞)上单调递增,当t=时,y=t+取得最小值,最小值为,故选项C不符合题意;对于选项D,y=ex+≥2,当且仅当x=ln时,等号成立,即y=ex+的最小值是2,故选项D符合题意.故选AD. (2)当≥成立时,可以有a<0,b<0,此时a+b≥2不成立,故充分性不成立;当a+b≥2成立时,故a≥0,b≥0,所以≥必定成立,故必要性成立.所以“≥”是“a+b≥2”的必要不充分条件,故选B. 例2　[思路点拨] (1)由于-1<x<0,故可将所求式子化为-,结合基本不等式可得结果;(2)由已知得x+1>1,将y=2+3x+变形为y=3(x+1)+-1,再利用基本不等式求原函数的最小值. (1)C　(2)A　[解析] (1)因为-1<x<0,所以x= -=-≥ -=-=-,故x(-1<x<0)的最小值为-.故选C. (2)∵x>0,∴x+1>1,∴y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2-1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1时,等号成立,∴函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A. 例3　[思路点拨] (1)由x+(4-x)=4,可得f(x)=+ = [x+(4-x)],利用基本不等式求解即可;(2)4x+2y-xy=0可化为+=1,则2x+y=(2x+y),结合基本不等式计算即可. (1)D　(2)A　[解析] (1)由x∈(0,4),得-x∈(-4,0),4-x∈(0,4),故f(x)=+=(x+4-x)=≥=,当且仅当=,即x=时等号成立,故选D. (2)由题意可知+=1,∴2x+y=(2x+y)=++8≥2+8=16,当且仅当=,即x=4,y=8时,等号成立,则2x+y的最小值为16. 例4　[思路点拨] 由题意得y==-2+,则x+y=(x-3)++1,结合基本不等式即可求解. A　[解析] 因为x>3,且xy+2x-3y=12,所以y==-2+,所以x+y=x-2+=(x-3)++1≥2+1,当且仅当x=+3,y=-2时等号成立,所以x+y的最小值为1+2.故选A. 【应用演练】 1.A　[解析] ∵x>1,∴x-1>0,则y=x+=x-1++1≥2+1=5,当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.故选A. 2.AC　[解析] 对于A,x+2y=1≥2,当且仅当x=2y=时,等号成立,则xy≤,故A正确;对于B,由x+2y=1,得y=-x+,由x>0,y>0,得0<x<1,所以x2+y=x2-x+=+≥,故B错误;对于C,+=(x+2y)=3++≥3+2,当且仅当x=y时,等号成立,故C正确;对于D,x+=x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,又0<x<1,所以x+>2,故D错误.故选AC. 3.9　[解析] 方法一:因为a>0,b>0,且a+2b=ab,所以=+=1,故2a+b=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=3时,等号成立,所以2a+b的最小值为9. 方法二:由a+2b=ab得b=,因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+=2(a-2)++5≥2+5=9,当且仅当a-2=,即a=b=3时,等号成立,所以2a+b的最小值为9. 4.18　[解析] ∵x+2y≥2,∴x+2y+xy=30≥2+xy,当且仅当x=2y时,等号成立,令=t,则t2+2t≤30,即t2+2t-30≤0,∵t>0,∴0<t≤3,∴0<xy≤18,∴xy的最大值为18. 例5　[思路点拨] (1)根据题意,当t=0时,x=1,代入已知等式解出k,进而得到函数关系式;(2)根据(1)中的式子,结合基本不等式即可求解. 解:(1)根据题意,当t=0时,x=1,则1=4-,解得k=3,所以x=4-,所以y=1.5··x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6-t=27--t(t≥0). (2)由(1)知,y=27--t=27.5-≤27.5-2=21.5,当且仅当=t+0.5,即t=2.5时等号成立, 所以该厂家2026年该产品的年促销费用为2.5万元时该产品的年利润最大. 变式题　36　[解析] 设仓库的长为a m,高为b m,则(3b+3b+ab)×900+3a×600=32 400,即6b+ab+2a=36,其中0<a≤8,0<b≤3.因为6b+ab+2a=36≥4+ab,即(-2)(+6)≤0,所以0<≤2,即0<ab≤12,当且仅当a=3b=6时取等号,由题可知仓库的储物量为3ab m3,所以3ab≤36,即仓库的储物量的最大值为36 m3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　基本不等式 【课标要求】　1.掌握基本不等式≤(a,b>0). 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件:　　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号.  (3)数　　　　称为a,b的算术平均数;数称为a,b的几何平均数.  2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥　　　(a,b∈R).  (2)+≥　　　(a,b同号).  (3)ab≤(a,b∈R). (4)≤(a,b∈R). 3.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0. (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是　　　.(简记:积定和最小)  (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是　　　.(简记:和定积最大)  常用结论 1.若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.上述不等式链也简记为调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数. 2.当x>0时,函数y=x+(a>0)在x=处取得最小值2;当x<0时,函数y=x+(a>0)在x=-处取得最大值-2. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知x>1,则y=x+的最小值为　　　　,当且仅当x=　　　　时y取最小值.  2.[教材改编] 函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是　　　　.  3.[教材改编] 若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a=　　　　.  4.[教材改编] 已知一个矩形的周长为36 cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的长为　　　　cm,宽为　　　　cm时,旋转形成的圆柱的侧面积最大,最大侧面积为　　　　cm2.  题组二　常错题 ◆索引:对于基本不等式的应用,忽视变量的正负致错;忽视等号成立的条件致错. 5.设x<0,则y=3-3x-的最小值是　　　　.  6.当x≤-2时,x+的最大值为　　　　.  　直接用基本不等式 例1 (1)[2025·北京卷] 已知a>0,b>0,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.a2+b2>2ab B.+≥ C.a+b> D.+≤ (2)(多选题)已知a,b∈R,则下列不等式成立的是 (　 ) A.4ab≤(a+b)2 B.≤ C.≤ D.ab≤ 总结反思 利用基本不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小. 变式题 (1)(多选题)在下列函数中,最小值是2的是 (　 ) A.y=x2+(x≠0) B.y=x+(x>0) C.y=+ D.y=ex+ (2)“≥”是“a+b≥2”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 　变形用基本不等式求最值 微点1　配凑法 例2 (1)x(-1<x<0)的最小值为 (　 ) A.- B.- C.- D.- (2)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为 (　 ) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 总结反思 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解. 微点2　常数代换法 例3 (1)[2025·石家庄一模] 已知x∈(0,4),则f(x)=+的最小值为 (　 ) A. B. C. D. (2)已知x>0,y>0,且4x+2y-xy=0,则2x+y的最小值为 (　 ) A.16 B.8+4 C.12 D.6+4 总结反思 常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数,t≠0),求+的最值”的问题,通常先将+转化为·,再用基本不等式求最值. 微点3　消元法求最值 例4 [2025·湖北襄阳五中适应性考试] 已知实数x,y满足x>3,且xy+2x-3y=12,则x+y的最小值为 (　 ) A.1+2 B.8 C.6 D.1+2 总结反思 消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解. 1.已知x>1,则y=x+取得最小值时x的值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.2 C.4 D.5 2.(多选题)[2025·漳州四模] 已知正实数x,y满足x+2y=1,则 (　 ) A.xy≤ B.x2+y≥ C.+≥3+2 D.x+≥2 3.若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为　　　　.  4.已知x,y都是正数,且满足x+2y+xy=30,则xy的最大值为　　　　.  　基本不等式的实际应用 例5 某厂家拟在2026年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用t(t≥0,单位:万元)之间满足x=4-(k为常数).若不搞促销活动,则该产品的年销量只有1万件.已知2026年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,该厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)设该厂家2026年该产品的年利润为y万元,求y关于t的函数关系式. (2)该厂家2026年该产品的年促销费用为多少万元时该产品的年利润最大?     总结反思 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数关系式,再利用基本不等式求得函数的最值. (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为因变量. (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围. (4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解. 变式题 [2025·重庆一中期末] 如图所示,利用一堵长8 m、高3 m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库.由于空间限制,仓库的宽度固定为3 m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2,仓库底面的建造成本为600元/m2.整个仓库的建造成本预算为32 400元,假设成本预算恰好用完,则仓库的储物量(即容积)的最大值为　　　　m3.  学科网（北京）股份有限公司 $