第1单元 02 第2讲 常用逻辑用语（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习讲义围绕常用逻辑用语核心考点，涵盖充分必要条件判断、全称与存在量词命题等内容，以概念表格梳理、题组分层训练（常识题巩固基础、常错题突破误区）、真题例题精讲的架构构建知识体系，通过考点梳理、方法指导（定义法与集合法）、真题训练等环节帮助学生突破逻辑推理难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“概念-错题-真题”三阶教学法，如在充分条件判断中结合定义法与集合法培养学生数学思维，在量词命题否定中通过例题解析强化数学语言表达。设置分层练习与即时反思，确保学生高效掌握逻辑推理方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第2讲　常用逻辑用语 【课标要求】　1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件  p是q的　　　　　　条件  p⇒q且q⇒/ p p是q的　　　　　　条件  p⇒/ q且q⇒p p是q的　　　　　　条件  p⇔q p是q的　　　　　　条件  p⇒/ q且q⇒/ p 2.全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作　　　　　,用符号“　　　　”表示.   (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作　　　　　,用符号“　　　　”表示.   (3)含有一个量词的命题的否定: 全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定是　　　　　　.   存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定是　　　　　　.   3.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 题组一　常识题 1.[教材改编] “三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的 　　　　　　条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填入)  2.[教材改编] 命题“∃x∈Q,|x|∈N”是　　　　量词命题(填“全称”或“存在”),并且是　　　　命题(填“真”或“假”),它的否定是　　　　　　　.  3.[教材改编] 已知△ABC的三边的长分别为a,b,c,且a≤b≤c,那么“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的　　　　条件. (在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填入)  4.[教材改编] 已知“∀x>1,2x+1>λ”是假命题,则实数λ的取值范围是　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:充分、必要条件的推理考虑不全面;全称量词命题的否定出错;对充分、必要条件判断错误. 5.已知A=(-∞,a],B=(-∞,3]. ①若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数a的取值范围是　　　　;  ②若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　;  ③若x∈A是x∈B的充分必要条件,则实数a的值为　　　　.  6.命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是　　　　　　　　　　　　.   7.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的　　　　　条件.(在“充分不必要”“必要不充分”和“充要”中选填一个)  　充分条件与必要条件的判断 例1 (1)[2025·天津卷] 设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)[2025·深圳二模] 在四边形ABCD中,若=+,则“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 总结反思 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法:适用于定义、定理的判断问题; (2)集合法:多适用于条件中涉及参数的取值范围的推断问题. 变式题 (1)[2025·人大附中月考] 在△ABC中,“cos Acos B<sin Asin B”是“△ABC为锐角三角形”的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若x,y∈R,则“x>y”的一个充分不必要条件可以是 (　 ) A.|x|>|y| B.x2>y2 C.>1 D.2x-y>2 　充分条件与必要条件的应用 例2 [2025·福建泉州一模] 设A={x|1≤2x≤4},B={x|x2≤ax},若x∈A是x∈B的充分条件,则 (　 ) A.0<a<2 B.1<a<2 C.a=2 D.a≥2 总结反思 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数的求解问题上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间的端点值. 变式题 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). (1)若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　;  (2)若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为　　　　.  　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定及真假判断 例3 (1)命题“∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2是奇函数”的否定是 (　 ) A.∀a∈R,函数f(x)=x3-ax2是偶函数 B.∀a∈R,函数f(x)=x3-ax2不是奇函数 C.∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2是偶函数 D.∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2不是奇函数 (2)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则 (　 ) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 总结反思 (1)全称量词命题与存在量词命题的否定: ①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写; ②否定结论:对原命题的结论进行否定. (2)全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法: 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 变式题 (多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有 (　 ) A.∃x∈R,x2-x+<0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R,x2+2x+2≤0 D.至少有一个实数x,使x3+1=0 角度2　含量词命题的应用 例4 (1)若“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”为真命题,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-3]∪[1,+∞) B.(-∞,-3)∪(1,+∞) C.[-3,1] D.(-3,1) (2)已知函数f(x)=x2-2x+1,若“∃x∈[2,+∞),∀a∈[-1,1],使得f(x)<m+a”是真命题,则实数m的取值范围为　　　　.  总结反思 根据命题的真假求参数的一般步骤: (1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 变式题 [2025·西南名校联盟联考] 已知“∃x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,2] C.(-∞,1] D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　常用逻辑用语 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.充分　必要　充分不必要 必要不充分　充要 既不充分也不必要 2.(1)全称量词　∀　(2)存在量词　∃ (3)∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 【对点演练】 1.充分不必要　[解析] 由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形,但反之不成立,所以“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件. 2.存在　真　∀x∈Q,|x|∉N [解析] 命题“∃x∈Q,|x|∈N”含有存在量词,所以是存在量词命题.因为1∈Q,|1|∈N成立,所以该命题是真命题.存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词,并否定结论,所以“∃x∈Q,|x|∈N”的否定是“∀x∈Q,|x|∉N”. 3.充要　[解析] 当a2+b2=c2时, △ABC为直角三角形,充分性成立;当△ABC为直角三角形时,因为a≤b≤c,所以a2+b2=c2,必要性也成立.故“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件. 4.(3,+∞)　[解析] 因为“∀x>1,2x+1>λ”是假命题,所以“∃x>1,2x+1≤λ”是真命题.因为当x>1时,2x+1>3,所以实数λ的取值范围是(3,+∞). 5.①a<3　②a>3　③a=3 [解析] ①因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A⫋B,则a<3;②因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B⫋A,则a>3;③因为x∈A是x∈B的充分必要条件,所以A=B,则a=3. 6.存在一个能被3整除的整数不是奇数 [解析] 命题“所有能被3整除的整数都是奇数”是全称量词命题,“所有的”是全称量词,由全称量词命题的否定是存在量词命题,可得命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”. 7.充分不必要　[解析] 依题意知p⇒r,r⇒/ p,r⇒s,s⇒q,所以p⇒q,q⇒/ p,故p是q的充分不必要条件. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)通过判断是否能相互推出,结合充分条件与必要条件的定义可得结果;(2)根据=+判断出四边形ABCD的形状,结合充分条件、必要条件的定义判断即可. (1)A　(2)B　[解析] (1)x=0⇒sin 2x=sin 0=0,故“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;当x=π时,sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0⇒/ x=0,故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件.综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A. (2)在四边形ABCD中,由=+,得四边形ABCD为平行四边形.若⊥,则平行四边形ABCD为菱形,但不一定为正方形;若四边形ABCD是正方形,则必有AC⊥BD,即⊥.故“⊥”是“四边形ABCD是正方形”的必要不充分条件.故选B. 变式题　(1)B　(2)D　[解析] (1)在△ABC中,由cos Acos B<sin Asin B,可得cos Acos B-sin Asin B<0,即cos(A+B)<0,因此A+B是钝角,C是锐角,没有条件可判断A,B都是锐角,故不能确定△ABC为锐角三角形;若△ABC为锐角三角形,则C是锐角,A+B是钝角,所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B<0,即cos Acos B<sin Asin B成立.所以“cos Acos B<sin Asin B”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.故选B. (2)|x|>|y|等价于x2>y2,推不出x>y,排除A,B;由>1,可得>0,解得x>y>0或x<y<0,所以>1是x>y的既不充分也不必要条件,排除C;由2x-y>2,得x-y>1,即x>y+1,x>y+1可以推出x>y,反之推不出,故D正确.故选D. 例2　[思路点拨] 根据充分条件判断集合A,B的包含关系即可. D　[解析] 由题意得A=[0,2],因为x∈A是x∈B的充分条件,所以A⊆B,即“∀x∈[0,2],x2-ax≤0”是真命题,易知二次函数y=x2-ax=x(x-a)的图象开口向上,与x轴交于点(0,0),(a,0),所以a≥2.故选D. 变式题　(1)(0,3]　(2)[9,+∞) [解析] (1)因为p是q的必要不充分条件,所以或解得m≤3,又m>0,所以实数m的取值范围为(0,3]. (2)因为p是q的充分不必要条件,所以或解得m≥9,故实数m的取值范围为[9,+∞). 例3　[思路点拨] (1)根据含有一个量词的命题的否定的定义,可得结果;(2)利用特殊值代入,进而判断即可. (1)B　(2)B　[解析] (1)“∃a∈R,函数f(x)=x3-ax2是奇函数”的否定是“∀a∈R,函数f(x)=x3-ax2不是奇函数”.故选B. (2)当x=-时,=<1,故p是假命题,则􀱑p是真命题;当x=1时,13=1,故q是真命题,则􀱑q是假命题.故选B. 变式题　AC　[解析] 对于A,该命题的否定为“∀x∈R,x2-x+≥0”,是全称量词命题,又x2-x+=≥0,故原命题的否定为真命题,故A符合要求;对于B,该命题为全称量词命题,故其否定为存在量词命题,故B不符合要求;对于C,该命题的否定为“∀x∈R,x2+2x+2>0”,是全称量词命题,又x2+2x+2=(x+1)2+1>0,故原命题的否定为真命题,故C符合要求;对于D,存在实数x=-1,使x3+1=0,故原命题为真命题,则其否定为假命题,故D不符合要求.故选AC. 例4　[思路点拨] (1)根据“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”为真命题可知,一元二次不等式对应的二次函数的图象开口向上,且与x轴有两个不同交点,利用判别式构造不等式求解即可; (2)求出函数f(x)在[2,+∞)上的最小值,可得出a+m>f(x)min,再结合恒成立可求得实数m的取值范围. (1)B　(2)(2,+∞)　[解析] (1)由已知可得,“∃x∈R,x2+(a+1)x+1<0”是真命题,令f(x)=x2+(a+1)x+1,x∈R,则存在x∈R,f(x)<0,所以只需Δ=(a+1)2-4>0,解得a<-3或a>1,故选B. (2)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,当x≥2时,f(x)min=f(2)=1.因为“∃x∈[2,+∞),∀a∈[-1,1],使得f(x)<m+a”是真命题,所以a+m>f(x)min=1,则m-1>1,解得m>2. 变式题　A　[解析] 因为“∃x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,所以“∀x∈(0,+∞),2x2-ax+1≥0”为真命题.由2x2-ax+1≥0,x∈(0,+∞),可得ax≤2x2+1,因为x>0,所以不等式两边同时除以x,可得a≤2x+对x∈(0,+∞)恒成立.因为x>0,所以2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时等号成立.因为a≤2x+对x∈(0,+∞)恒成立,所以a≤2,所以实数a的取值范围是(-∞,2].故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $