第1单元 01 第1讲 集合（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学讲义围绕集合核心考点，依据课标要求系统梳理元素性质、集合关系、运算及性质，通过填空式考点梳理、方法总结反思、真题例题与变式题训练，帮助学生构建知识网络，突破元素互异性、空集等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学眼光与思维培养，如用Venn图和数轴法直观理解集合关系与运算，通过常识题巩固基础、常错题辨析易错点，分层设计例题与练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第一单元　预备知识 第1讲　集合 【课标要求】　1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 3.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 1.集合及其表示方法 (1)集合中元素的性质:　　　　、　　　　、无序性.  (2)集合与元素的关系:①属于,记为　　　　;②不属于,记为　　　　.  (3)集合的表示方法:列举法、　　　　、　　　　　　和区间法.  (4)常见数集及记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 　 　　  　　 　  　　 　  　　 　  　 　　  2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 记法 子集 集合A中　　　　　　　都是集合B中的元素  x∈A⇒x∈B A⊆B或 　　  集合A是集合B的子集,并且B中　　有一个元素不属于A  ①A⊆B;②∃x∈B, x∉A A　 B或 B⫌ A 相等 集合A,B中的元素完全　　  A⊆B,B⊆A 　　  空集 　　　任何元素的集合,空集是任何集合的子集  ①∀x,x∉ ⌀;②⌀⊆A ⌀ 3.集合的基本运算 　表示 运算 　 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 由所有属于A　　属于B的元素组成的集合  {x|x∈A, 　　x∈B}  　 　  并集 由所有属于A　　属于B的元素组成的集合  {x|x∈A, 　　x∈B}  　 　  补集 全集U中　　属于A的所有元素组成的集合  {x|x∈U, x　 　A}  　 　  4.集合的运算性质 (1)交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩⌀=⌀∩A=⌀;A∩B=A⇔A　　　　B.  (2)并集的运算性质:A∪B=　　　　　;A∪A=A;A∪⌀=⌀∪A=A;A∪B=　　　　⇔B⊆A.  (3)补集的运算性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=　　　　;∁U(∁UA)=　　　　　;  ∁U(A∪B)=(∁UA)　　　(∁UB);∁U(A∩B)=　　　　∪　　　　.  常用结论 1.集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集. 2.子集的传递性:若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足). 3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔(∁UA)⊇(∁UB). 4.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中). 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知集合A={x|x2-5x+6=0},则3　　　　A,{2}　　　　A,{2,3} 　　　　A(从“∈,∉,⫋,=”中选择合适的符号填空).  2.[教材改编] 已知集合C={(x,y)|y=x},集合D=,集合D用列举法表示为　　　　,并且 C　　　　D(从“=”“⊆”“⊇”中选一个合适的填入).  3.[教材改编] 已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩B=　　　　,A∪B=　　　　,A∩(∁UB)=　　　　.  题组二　常错题 ◆索引:忽视集合中元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忽视集合运算中端点取值致错;忘记空集的情况致错. 4.已知集合A={1,|a-1|,a+2},且2∈A,则实数a的值为　　　　.  5.已知集合A={x|y=ln(x-1)},B={y|y=x2-4x,x∈A},则A∪B=　　　　.  6.已知集合A={x|-1≤x≤3},B=,则A∩B=　　　　.  7.已知集合A={x∈N|(x-2)(x-3)≤0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A,则a的取值构成的集合为　　　　.  　集合的概念 例1 (1)[2025·陕西汉中质检] 已知集合A={x|x=2m+n,m∈Z,n∈N},则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.∉A B.-2+5∉A C.4∈A D.-1+2∈A (2)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中的元素个数为　　　　.  总结反思 解决集合概念问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素是什么;二是看这些元素的限制条件是什么;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含参数的集合问题,在求出参数的值后,需要验证集合中的元素是否满足互异性. 变式题 (1)[2025·湖南长沙长郡中学保温卷] 已知集合A={1,2},B={2,4},则C={z|z=xy,x∈A,y∈B}中的元素个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知a,b∈R,若集合={a2,a+b,0},则a2026+b2026=　　　　.  　集合间的基本关系 例2 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　 ) A.2 B.1 C. D.-1 (2)已知集合A={1,3},B={0,1,2,3,4},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为　　　　　.  总结反思 (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两个集合的关系,对于含有参数的集合,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数进行分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是任何非空集合的真子集. (3)根据集合的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系. 变式题 (1)已知集合A=,B=,则 (　 ) A.A⊆B B.B⊆A C.A=B D.A∩B=⌀ (2)[2025·安徽安庆二模] 已知集合A={x|0<x<a+1},B={x|x2-3x+2<0},若B⊆A,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,0] B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.(1,+∞) 　集合的基本运算 角度1　集合的运算 例3 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　 ) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} (2)[2023·全国乙卷] 设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}= (　 ) A.∁U(M∪N) B.N∪(∁UM) C.∁U(M∩N) D.M∪(∁UN) 总结反思 对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解. 变式题 (1)(多选题)已知集合M={x|5x≥25},N={x|y=ln(2x-6)},则下列结论正确的是 (　 ) A.M∩N=M B.M∪N=M C.(∁RN)∩M={x|2≤x≤3} D.(∁RM)∩N=⌀ (2)已知全集U=R,集合A={2,3,4},集合B={0,2,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为　　　　.  角度2　利用集合的运算求参 例4 [2025·福建漳州二检] 已知集合A={x|log2x<2},B={x|1+a<x<2a-1},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是(　 ) A.[3,+∞) B. C.(-∞,2]∪[3,+∞) D.∪[3,+∞) 总结反思 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到. (2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 变式题 已知集合M={x|-4<x<a},N={x|x2-4x+3<0},且M∪N={x|-4<x<3},则实数a的取值范围为 (　 ) A.[1,3] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,3] 角度3　集合语言的运用 例5 集合M=,N=,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,若把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的长度,那么集合M∩N的长度的最小值为　　　　.  总结反思 以集合语言为背景的新定义问题,需正确理解新定义(即分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚),转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题过程中,这是破解新定义集合问题的关键. 变式题 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元　预备知识 第1讲　集合 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)确定性　互异性　(2)①∈　②∉ (3)描述法　图示法(Venn图) (4)N　N*或N+　Z　Q　R 2.任意一个元素　B⊇A　至少　⫋ 相同　A=B　不含 3.且　且　A∩B　或　或　A∪B　不 ∉　∁UA 4.(1)⊆　(2)B∪A　A (3)⌀　A　∩　(∁UA)　(∁UB) 【对点演练】 1.∈　⫋　=　[解析] 由x2-5x+6=0,解得x=2或x=3,所以A={2,3},所以3∈A,{2}⫋A,{2,3}=A. 2.{(1,1)}　⊇　[解析] 由 得所以D={(1,1)}.显然点(1,1)在直线y=x上,所以C⊇D. 3.{5}　{1,2,3,4,5,7}　{2,4} [解析] 因为U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},所以A∩B={5},A∪B={1,2,3,4,5,7},又∁UB={2,4,6},所以A∩(∁UB)={2,4}. 4.3　[解析] 因为2∈A,所以分为以下两种情况:①若|a-1|=2,则a=3或a=-1,当a=3时,集合A={1,2,5},满足题意;当a=-1时,a+2=1,不满足集合中元素的互异性,故舍去.②若a+2=2,则a=0,此时|a-1|=1,不满足集合中元素的互异性,故舍去.综上所述,a=3. 5.[-4,+∞)　[解析] A={x|y=ln(x-1)}={x|x>1},因为y=x2-4x=(x-2)2-4≥-4,当且仅当x=2时取等号,所以B={y|y=x2-4x,x∈A}={y|y≥-4},所以A∪B=[-4,+∞). 6.[-1,0)　[解析] 由A={x|-1≤x≤3},B=={x|-2<x<0},得A∩B=[-1,0). 7.　[解析] 由题得A={2,3},因为A∪B=A,所以B⊆A.当a=0时,B=⌀,满足B⊆A;当a≠0时,B=,因为B⊆A,所以=2或=3,解得a=1或a=.综上,a的取值构成的集合为. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据有理数和无理数的概念以及无理数的拆分,对各个选项判断即可;(2)利用列举法得集合B={(2,1),(4,2)},即可求解. (1)C　(2)2　[解析] (1)令=2m+n,则0=2m,=n,可得m=0,n=1,则m∈Z,n∈N,符合条件,所以∈A,故A错误.令-2+5=2m+n,则-2=2m,5=n,可得m=-1,n=5,则m∈Z,n∈N,符合条件,故-2+5∈A,故B错误.令4=2m+n,则4=2m,0=n,可得m=2,n=0,则m∈Z,n∈N,故4∈A,故C正确.令-1+2=2m+n,则-1=2m,2=n,可得m=-,n=2,易知m∉Z,则-1+2∉A,故D错误.故选C. (2)当x=1,y=1,2,4时,x-y的值分别为0,-1,-3,均不满足x-y∈A.当x=2,y=1时,x-y=1,满足x-y∈A;当x=2,y=2时,x-y=0,不满足x-y∈A;当x=2,y=4时,x-y=-2,不满足x-y∈A.当x=4,y=1时,x-y=3,不满足x-y∈A;当x=4,y=2时,x-y=2,满足x-y∈A;当x=4,y=4时,x-y=0,不满足x-y∈A.所以B={(2,1),(4,2)},故集合B中的元素有2个. 变式题　(1)C　(2)1　[解析] (1)集合A={1,2},B={2,4},则C={z|z=xy,x∈A,y∈B}={2,4,8},所以集合C中的元素个数为3.故选C. (2)因为={a2,a+b,0},所以a≠0,且=0,即b=0,此时两个集合分别是{a,1,0},{a,a2,0},则a2=1,解得a=1或a=-1.当a=1时,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-1时,满足题意.所以a2026+b2026=(-1)2026+02026=1. 例2　[思路点拨] (1)由已知可得0∈B,结合A⊆B得到结果;(2)由A⊆C⊆B可得集合C中至少含有元素1,3,可以利用列举法或利用集合子集个数公式得结果. (1)B　(2)8　[解析] (1)由A⊆B,可得0∈B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B.故选B. (2)A={1,3},B={0,1,2,3,4},由A⊆C⊆B可得{1,3}⊆C⊆{0,1,2,3,4},易知每个符合条件的集合C都包含元素1,3. 方法一:集合C可能为:{1,3},{0,1,3},{2,1,3},{1,3,4},{0,1,2,3},{0,1,3,4},{2,1,3,4},{0,1,2,3,4},共有8个. 方法二:集合C的个数即为集合{0,2,4}的子集个数,故集合C的个数为23=8. 变式题　(1)A　(2)C　　[解析] (1)因为集合A==,B=,所以A⊆B.故选A. (2)B={x|x2-3x+2<0}=(1,2),又B⊆A,A={x|0<x<a+1},所以a+1≥2,得a≥1.故选C. 例3　[思路点拨] (1)先由幂函数的单调性解不等式化简集合A,再结合交集的运算求解;(2)由并集和补集的运算得到结果. (1)A　(2)A　[解析] (1)由题知A=,又B={-3,-1,0,2,3},且1<<2,所以A∩B={-1,0}.故选A. (2)由题意得M∪N={x|x<2},所以{x|x≥2}=∁U(M∪N),故选A. 变式题　(1)BCD　(2){0,5} [解析] (1)由M={x|5x≥25},可得M={x|x≥2},由N={x|y=ln(2x-6)},可得N={x|x>3}.M∩N={x|x>3}=N,故A错误;M∪N={x|x≥2}=M,故B正确;∁RN={x|x≤3},所以(∁RN)∩M={x|2≤x≤3},故C正确;∁RM={x|x<2},所以(∁RM)∩N=⌀,故D正确.故选BCD. (2)题图中的阴影部分表示的集合是(∁UA)∩B,因为全集U=R,A={2,3,4},B={0,2,4,5},所以(∁UA)∩B={0,5}. 例4　[思路点拨] 由对数函数的单调性解不等式求得集合A,分B=⌀与B≠⌀两种情况分类讨论可求得实数a的取值范围. C　[解析] 因为log2x<2,所以0<x<4,所以A=(0,4).当B=⌀时,1+a≥2a-1,解得a≤2,满足A∩B=⌀,符合题意.当B≠⌀时,由A∩B=⌀,得①该不等式组无解;②解得a≥3.综上,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[3,+∞).故选C. 变式题　D　[解析] 由已知得N={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},因为M∪N={x|-4<x<3},M={x|-4<x<a},所以1<a≤3.故选D. 例5　[思路点拨] 先求出集合M和集合N的长度,由此能求出集合M∩N的长度的最小值. 　[解析] 根据新定义可知集合M的长度为,集合N的长度为,当集合M∩N的长度最小时,区间[0,1]的左、右端点分别为区间的左端点和区间的右端点,故M∩N的长度的最小值是+-1=. 变式题　46%　[解析] 设该中学的学生总数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,则card(A)=60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=46%m. 学科网（北京）股份有限公司 $