第2单元 01 第6讲 函数的概念及其表示（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数概念及表示专题，覆盖定义域求解、解析式确定、分段函数应用等核心考点，依据课标要求对接高考评价体系，通过近五年模拟题分析明确定义域占25%、分段函数与方程不等式结合占30%的高频考点分布，归纳三类常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+易错警示”策略，如以2025·江西鹰潭一模分段函数求值题为例，用“分层代入法”培养数学思维，通过换元法求解析式强调新元范围，设置“端点问题”易错点分析，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统规划复习，提升备考效率。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共10讲、2个增分微课、2个重点强化练,每讲建议1课时完 成,2个增分微课建议各1课时完成,2个重点强化练建议各1课时完成,本 单元大约共需14课时. 单 元 教 学 设 计 2 第6讲 函数的概念及其表示 3 单元教学设计 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语 言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简 单函数的定义域. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列 表法、解析法）表示函数,理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数,并能简单应用. 课 标 要 求 5 1.函数的基本概念 （1）函数的定义 一般地,设,是______________,如果对于集合 中的_____________, 按照某种确定的对应关系,在集合 中都有_______________和它对 应,那么就称为从集合到集合 的一个函数. 非空的实数集 任意一个数 唯一确定的数 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 6 （2）函数的三要素 函数由________、______和对应关系三个要素构成.在函数 , 中,________的取值范围即数集 叫作函数的________， _________的集合叫作函数的值域.非空数集 即为函数 的定义域，值域为 的子集. 定义域 值域 自变量 定义域 函数值 （3）同一个函数 如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同 的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 定义域 对应关系 课 前 基 础 巩 固 7 2.函数的表示法 函数的常用表示方法：________、________、________. 解析法 列表法 图象法 3.分段函数 若一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同 的__________，则称其为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数 定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.各段函数的定义域区 间端点应不重不漏. 对应关系 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 1.直线是常数与函数 的图象有0个或1个交点. 2.常见函数的定义域 （1）分式中分母不等于0. （2）偶次根式的被开方式大于或等于0. （3）一次函数、二次函数的定义域为 . （4）零次幂的底数不能为0. （5）且，，的定义域均为 . （6）且的定义域为 .#4.2.6 课 前 基 础 巩 固 9 （7）的定义域为 . 3.基本初等函数的值域 （1）的值域是 . （2）的值域：当 时，值域为 ；当时，值域为 . （3）的值域是 . （4）且的值域是 . （5）且的值域是 .#4.3.5 课 前 基 础 巩 固 10 题组一 常识题 1.［教材改编］下列函数中与函数 是同一个函数的是 ____. ；；； . ② ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 对于①，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于②，与 的定义域、对应关系、值域 均相同，故是同一个函数； 对于③，当 时，对应关系与 函数 不相同，所以不是同一个函数； 对于④，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数.故填②. 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］函数 的定义域是__________________. [解析] 要使函数有意义,只需且,即 且 ,故的定义域是 . 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］函数 的值域为_________________. [解析] 函数的定义域为 ， ， 因为 ，所以， 故函数的值域为 . 课 前 基 础 巩 固 14 4.［教材改编］设， ，给出下 列四个图形，其中能表示从集合到集合 的函数关系的是____. （填序号） ② 课 前 基 础 巩 固 15 [解析] 对于①，在集合中找不到与2对应的元素，故不是从集合 到集合的函数； 对于③，在集合 中可以找到两个元素与1对应，故不是从集合到 集合的函数； 对于④，在集合 中找不到与2对应的元素，故不是从集合到 集合 的函数．故填②. 课 前 基 础 巩 固 16 题组二 常错题 ◆ 索引：换元法求解析式时忽视新元的取值范围致误；解与分段函 数有关的不等式时忘记自变量的取值范围致误；忽略端点位置致误. 5.已知,则 _____________. [解析] 令,则,所以 , 则 . 课 前 基 础 巩 固 17 6.已知函数则使成立的 的取值范围 为________________. [解析] 当时,即为,解得或 , 所以； 当时,即为,解得 ,所以. 综上所述,的取值范围为 . 课 前 基 础 巩 固 18 7.函数的图象如图所示，则 的定义域是 _____________，值域是______，其中只有唯一的 值与之对应的 值的取值范围是____________. [解析] 由函数图象可知，函数的定义域是 ，函数的值域是 ，其中只有唯 一的值与之对应的值的取值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 19 探究点一 函数的定义域 例1（1）函数 的定义域为( ) A. B. C. D. [解析] 要使函数有意义，需满足 解 得且，故函数的定义域为 .故选D. √ ［思路点拨］利用对数、分式、根式的性质列不等式组,求 的取值 范围,即得函数 的定义域. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）求符合下列要求的函数的定义域. ①已知函数的定义域为，求函数 的定义域； ［思路点拨］由的定义域可得 ，解不等式可得 的定义域； 解：由，得，所以函数 的定 义域为 . 课 堂 考 点 探 究 21 ②已知函数的定义域为，求函数 的定义域； ［思路点拨］由的定义域可得 ， 即可得 的定义域； 解：因为的定义域为，即 ， 所以，故函数的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 22 ③已知函数的定义域为，求函数 的 定义域. ［思路点拨］由函数的定义域求出 的定义域, 再求出 的定义域. 解：因为函数的定义域为，所以 . 由，得，所以函数 的定义域 为 . 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] （1）求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量 的取值集 合，如分式的分母不等于0、对数的真数大于0等，所以往往归结为 求解自变量满足的不等式（组）,不等式（组）的解集即为定义域. （2）对于抽象函数，若已知函数的定义域为 ,则复合函数 的定义域由不等式 求出;若复合函数 的定义域为,则函数的定义域为 的值域. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）函数 的定义域为______. [解析] 对于函数，有解得 ， 故函数的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为_______. [解析] 因为函数的定义域为 , 所以，所以函数的定义域为 , 由,解得,所以函数 的 定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 26 （3）已知函数的定义域为，则函数 的 定义域为______. [解析] 由，得，所以 ， 可得，所以的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 27 探究点二 函数的解析式 例2（1）已知，则 的解析式为 __________________. ［思路点拨］思路一：利用换元法求解析式；思路二：利用配凑法 求解析式. 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 方法一（换元法）：令，则 ， 所以 ， 所以 . 方法二（配凑法）：因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 29 （2）若二次函数满足，且 ，则 的解析式为_________________. ［思路点拨］设出二次函数 的解析式,然后利用待定系数法求解 即可. [解析] （待定系数法）设， ， ，，则 . 在中，令，则， ， 即，故； 令，则 ，，即， 故. 由①②得 ，， . 课 堂 考 点 探 究 30 （3）已知满足，则 的解析式为 __________. ［思路点拨］用替换,构造方程组即可求出 . [解析] （方程思想）因为，所以将用 替 换，得，由①②解得 . 课 堂 考 点 探 究 31 （4）已知，则 的解析式为________________ _______________________. ［思路点拨］由的定义域得到 的定义域，通过对 的解析式变形、配凑，可得 的解析式. 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 因为当时，，当且仅当 时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以 的定义域为 . 因为 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 33 [总结反思] 求函数解析式的常用方法: （1）待定系数法:已知函数的类型（如一次函数、二次函数）,可用 待定系数法. （2）换元法:已知复合函数 的解析式,可用换元法,此时要 注意新元的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 34 （3）配凑法:由已知条件,可将改写成关于 的 表达式,然后用替换,即得 的解析式. （4）解方程组法:已知与或 之间的关系式,可根据已知 条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方 程组求出 . 课 堂 考 点 探 究 35 变式题（1）已知是一次函数，且，则 的 解析式为______________________________. 或 [解析] 设 ，则 ，所 以解得或故 或 . 课 堂 考 点 探 究 36 （2）设函数对一切非零实数,均有 成立， 则 _ _________. [解析] ， ，联立 得， . 课 堂 考 点 探 究 37 （3）已知函数，则 的解析式为____________ _____________. [解析] 令，则 ， 故 ， 即 ． 课 堂 考 点 探 究 38 探究点三 以分段函数为背景的问题 微点1 分段函数求值 例3（1）[2025·广西柳州三模]已知函数 则 ( ) A. B. C.4 D.16 √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 由解析式可得 ，则 .故选C. ［思路点拨］利用函数的解析式由内到外逐层计算可得 的值； 课 堂 考 点 探 究 40 （2）[2025·江西鹰潭一模] 已知函数 则 ___. 9 ［思路点拨］先根据当时, ，得 ，再根据当时， 求得 的值，即得 的值. [解析] . 课 堂 考 点 探 究 41 [总结反思] 分段函数求值的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段 范围，就代入这一段的解析式求值，对于复合函数的求值问题,应由 里到外依次求值. 课 堂 考 点 探 究 42 微点2 分段函数与方程、不等式 例4（1）[2026·南通9月调考] 已知函数 若 ，则 的值为____________. 或或 ［思路点拨］根据分段函数的定义，分情况讨论 的取值范围， 再进一步求出 的值; 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 设，则，当 时， ，由，可得. 当 时，，由，两边同时立方可得 . 当时，若，则，可得； 若 ，则，无解，舍去. 当时，若 ，则，可得； 若，则 ，可得. 综上，或或 . 课 堂 考 点 探 究 44 （2）已知则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］分和 两种情况求解即可. [解析] 当时，不等式即为 ， 所以，可得； 当时，不等式 即为，所以， 且，可得 . 综上，不等式的解集是 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 45 [总结反思] （1）若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析 式代入求参;若是求自变量的值,则需要结合分段区间对自变量进行分 类讨论,再求值. （2）涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自 变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解. 课 堂 考 点 探 究 46 应用演练 1.已知函数若，则实数 的值 为( ) A. B.或 C. D.2 √ 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 由题意知，，，所以 . 当，即时， ， 解得，满足题意； 当，即 时，，解得， 满足题意. 所以 或 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 2.已知函数若存在使得关于的方程 有 两个不同的根，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由函数 可得函数在，上单调递增，当 时， ，当时，. 若存在使得关于 的方程有两个不同的根，只需， 解得或 ，所以的取值范围为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 49 3.[2025·深圳二模] 已知函数若 ，则实 数 __. 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 当时，，方程无解. 当 时，，则， 令，得 ,令，得， 所以在上单调递减，在 上单调递增. ，当时，，当 时， ，当时，，当时， ， 所以在上有且仅有一个零点. 当 时，由，解得.综上， . 课 堂 考 点 探 究 51 4.设函数则满足的 的取值 范围是_ _________. 课 堂 考 点 探 究 52 [解析] 当时，不等式可化为，易知 恒成立，即符合题意； 当 时，不等式可化为， 易知恒成立，即 符合题意； 当时，不等式可化为 ，解得， 即. 综上，的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 53 课时作业 54 1.下列各曲线表示的与之间的关系中，不是 的函数的是( ) A. B. C. D. [解析] 根据函数的定义知，对定义域内任意值， 都有唯一值与之 对应，只有C不满足.故选C. √ ◆ 基础热身 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 2.[2025·南昌一模]已知则方程 所有的 根之和为( ) A.1 B.2 C.5 D.7 [解析] 若，由，得 ， 所以；若，由，得. 因为 ，所以方程 的所有根之和为1.故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 3.若函数的定义域为，则 的定义域 为( ) A. B. C. D. [解析] 由函数的定义域为，可得 ， 所以函数的定义域为，对于函数 ，则 有解得，因此函数 的定 义域为 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 4.（多选题）下列两个函数是同一个函数的有( ) A.与 B.与 C.与 D.与 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 [解析] 对于A，的定义域为， 的定义域为 ，两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，, ， 两函数的定义域和对应关系均相同，为同一个函数，故B正确； 对于C，,与, 的 定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，, ，函数的定义域、对应关系均相同， 所以两函数是同一个函数，故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 5.已知函数满足，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 令，则，又，所以 ，则 ，所以 . 故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 6.已知函数的定义域为，则 的定义域 为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知函数的定义域为 ，即 ，故，则的定义域为 . 要使有意义，则 解得，所以的定义域为 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 7.[2025·安徽黄山二模] 已知函数则 ___. 0 [解析] 由 可得 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 8.定义在上的函数的值域为，则函数 的值 域为_______. [解析] 令,因为,所以, , 所以与为同一个函数，因此的值域为 , 即函数的值域为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 9.设函数若 ，则 ( ) A.2或4 B.1或9 C.1 D.9 √ ◆ 综合提升 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 [解析] 当时，，函数在 上单调递增， 当时，，函数在 上单调递增，又 ，若,则，此时 ， 不合题意，所以，即， 由 ，可得， 整理得，解得 或（舍去）， 所以 .故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 10.[2025·重庆南开中学月考]已知函数的定义域为 ， ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 [解析] 方法一：令，则，令 ，则 ，所以 解得即 .故选A. 方法二：用代替得方程 ， 与已知联立得，用代替可得 ， 令，得 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 67 11.（多选题）下列对应关系 满足函数定义的有( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，令,则 ， 满足函数定义； 对于B，令,则，设,则 ， 一个自变量对应两个函数值，不满足函数定义； 对于C，设 ，当时，可以取， 等无数多个值， 不满足函数定义； 对于D，令,则,，满足函数定义.故选 . √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 68 12.（多选题）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，他提 出了著名的狄利克雷函数：以下对 的说法 正确的是( ) A. B.的值域为 C.存在是无理数，使得 D.对任意，总有 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 69 [解析] 由 可得的值域为，所以 ，故选项A，B正确. 因为当是无理数时，且是无理数，所以 ， 所以，故选项C错误. 当是无理数时， ，均为无理数， 此时有；当 是有理数时， ， 均为有理数，此时有. 所以对任意 ，总有，故选项D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70 13.已知函数则满足的 的取值范 围是________. [解析] 方法一：由题意可得或 解得 或，故的取值范围是 . 方法二：画出函数 的图象，如图所示，由图可知， 要使，只需解得 ， 故的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 71 14.[2025·辽宁五校期末] 已知符号函数 ，若 ，则实数 的取值范围是_________. [解析] 由 得 所 以的图象如图所示. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 若 ，由分段函数可知当时， 由可得 ，即， 可得 ；当时，由可得恒成立； 当 时，由可得恒成立.综上可得 . 若，则，即 恒成立； 若，则恒成立； 若，则 ，可得. 综上，实数的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.（多选题）定义在上的函数满足 ，其 值域是.若对于任何满足上述条件的都有 , ，则实数 的取值可以为( ) A. B. C. D.1 [解析] 当时，，令 ，当 时，，满足条件； √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 74 当 时，，令，当 时， ,满足条件； 当时， ,令,当 时， ,不满足条件； 当 时，,令,当 时， ,不满足条件.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $