第3单元 01 第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及其意义、导数的运算”专题，依据新课标要求和高考评价体系，梳理了导数的概念意义、运算公式、几何意义三大核心考点。通过近五年高考真题分析，明确“导数几何意义应用”占比50%、“导数运算”占30%的高频考点分布，归纳出切线方程求解、参数范围确定、公切线存在性等常考题型。 课件的亮点在于“真题溯源+易错警示+方法建模”的备考设计，如结合2022年新高考全国Ⅰ卷“曲线切线参数问题”，详解“设切点—列方程—求参数”三步法，培养学生的逻辑推理和数学运算素养。特设“复合函数求导陷阱”“切线类型辨析”等专题，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托分层训练和考点突破策略实现高效复习。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共6讲、2个增分微课、3个培优专题、2个重点强化练,其中第 16,17,18讲建议各1课时完成,第19，20,21讲，3个培优专题题目难度 较大,建议各2课时完成,2个增分微课各1课时完成，2个重点强化练各 1课时完成，本单元大约共需19个课时. 单 元 教 学 设 计 2 第16讲 导数的概念及其意义、导数 的运算 3 单元教学设计 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.导数概念及其意义 （1）通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了 解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会 导数的内涵与思想. （2）体会极限思想. （3）通过函数图象直观理解导数的几何意义. 课 标 要 求 5 2.导数运算 （1）能根据导数定义求函数,,,, , 的导数. （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的导数;能求简单的复合函数限于形如 的 导数. （3）会使用导数公式表. 课 标 要 求 6 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.变化率与导数 （1）平均变化率： 概念 对于函数,把比值 _____________叫作函数 从到 的______变化率 几何 意义 函数在区间 上的图象的两端点连线的 ______ 平均 斜率 课 前 基 础 巩 固 7 （2）函数在 处的导数： 概念 在 处 ，我们称常数 为函数 在_______处的导数，记作或 几何 意义 就是曲线在点处（也称在 处）的切线的______，其切线方程是________________________ 物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 斜率 课 前 基 础 巩 固 8 （3）导函数 当时,是一个唯一确定的数.这样，当变化时, 就是的函数，我们称为 的导函数（简称导数） 的导函数有时也记作，即 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.导数的运算 原函数 导函数 特例或推广 基本初 等函数 的导数 公式 常函数 为常数 幂函数 _______ ,且 三角 函数 ______， _______ 偶（奇）函数的导数是 奇（偶）函数，周期函 数的导数是周期函数 课 前 基 础 巩 固 10 原函数 导函数 特例或推广 基本初 等函数 的导数 公式 指数 函数 _______ ，且 对数 函数 _ ____ ，且 ， 续表 课 前 基 础 巩 固 11 原函数 导函数 特例或推广 四则 运算 法则 加减法 ___________ 乘法 ______________ _________________ 除法 续表 课 前 基 础 巩 固 12 复合函数 求导 复合函数]的导数与函数, 的导数之间具有关系________,这个关系用语言表达就是“对 的导数等于对的导数与对 的导数的乘积” 续表 课 前 基 础 巩 固 13 ◆ 对点演练◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知函数，则在 上的平均变 化率为____，在 处的瞬时变化率为___. 24 0 [解析] , , 所以平均变化率为 ，则在 处的瞬时变化率为 . 课 前 基 础 巩 固 14 2.［教材改编］如果某物体的运动方程为 的单位为 ，的单位为 ，那么该物体在 末的瞬时速度为__________. [解析] ， 该物体在 末的瞬时速度为 . 课 前 基 础 巩 固 15 3.［教材改编］曲线在点 处的切线方程为__________ _______. [解析] 由题得， 切线的斜率 ， 则切线方程为，即 . 课 前 基 础 巩 固 16 题组二 常错题 ◆ 索引：求导时不能掌握复合函数的求导法则;混淆 与 ;忽视与 的区别. 4.已知函数，则 ________. [解析] 方法一： . 方法二： . 课 前 基 础 巩 固 17 5.已知，则 ____. [解析] ， 令，可得 ，所以，则 . 课 前 基 础 巩 固 18 6.已知，则___________， ____________. [解析] ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 19 探究点一 导数的运算 例1 求下列函数的导数: （1） ; 解： . （2） ; 解： . ［思路点拨］根据基本初等函数的导数公式和四则运算法则以及复 合函数求导的方法求导. 课 堂 考 点 探 究 20 （3） ; 解： . （4） ； 解： ， . 课 堂 考 点 探 究 21 （5） . 解：, . 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] （1）对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规 则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算 速度;（2）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要 与求导的乘法公式混淆. 课 堂 考 点 探 究 23 变式题 求下列函数的导数: （1） ； 解： . （2） ； 解： . 课 堂 考 点 探 究 24 （4） . 解：因为 , 所以 . （3） ; 解： . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程 例2 已知函数 ． （1）求曲线在点 处的切线方程； ［思路点拨］利用导数的几何意义求切线的斜率,从而求切线的方程； 解：由，得 ， 所以，所以曲线在点 处的切 线方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 26 （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线 的方程及 切点坐标． ［思路点拨］设切点为 ，利用导数的几何意义写出 切线方程，根据切线过原点求出 ，即可求出切点坐标及切线方程. 课 堂 考 点 探 究 27 解：设切点为，由（1）得 ， 所以切线方程为 ， 因为切线经过原点，所以 ， 所以，解得 ， 则，所以所求的切线方程为 ， 切点为 ． 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过 点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等， ②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程（组）求解，求出切点 坐标是解题的关键. 课 堂 考 点 探 究 29 变式题（1）设函数.若 为奇函数， 则曲线在点 处的切线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数为奇函数，所以对 恒成立， 可得， 则，，所以 ， 所以曲线在点处的切线方程为 . √ 课 堂 考 点 探 究 30 （2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 曲线 经过坐标原点的两条切线 方程分别为______，________. [解析] 当时， . 设过坐标原点的直线与曲线相切于点, 由,得,所以 ，解得,所以, 则该切线的方程为,即 ， 由曲线的对称性，知另一条切线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 31 角度2 求参数的值（范围） 例3（1）若曲线为常数在点 处的切线方程 为,则 ( ) A.3 B. C.0 D.1 [解析] 因为，所以 ， 由题意可得 解得所以 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 32 （2）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 若曲线 有两条过坐标原点 的切线，则 的取值范围是_______________. 或 [解析] 设切点为,则 , 由，知， 所以关于 的方程有两个相异的非零实数根， 即关于 的方程有两个相异的非零实数根， 即关于 的方程有两个相异的非零实数根， 所以 且,解得或 . 课 堂 考 点 探 究 33 [总结反思] （1）利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切 线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的 不等式（组）,进而求出参数的值或取值范围.（2）注意曲线上点的 横坐标的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 34 变式题（1）[2025·大连双基检测]若曲线在点 处的切线与 曲线在点处的切线的倾斜角互补，则 ( ) A. B. C.1 D.2 √ [解析] 设，. 因为函数 的导函数为， 所以 ， 所以曲线在点处的切线方程为 . 因为函数的导函数为，所以 ， 课 堂 考 点 探 究 35 所以曲线在点处的切线方程为 . 直线的斜率为，倾斜角为 . 因为曲线 在点处的切线与曲线在点 处的切线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为 ， 所以直线的斜率为， 所以 ，所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 36 （2）[2025·芜湖期末] 若过点可以作曲线 的两条切线， 则实数 的取值范围是__________. 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 设切点为，由题得 ，故切线的斜率为， 切线方程为， 因为切线经过点 ，所以， 故关于的方程 有两个不同的正实数根. 不妨设 ，则. 当时，， 单调递增； 当时，，单调递减. 故 ， 又时，， 时， ， 则，即，所以实数的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 38 （3）[2025·杭州四中月考] 已知函数.若曲线 在点处的切线与其在点 处的切线相互垂直， 则 的一个取值为_ ________________. （答案不唯一） 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] ， 由题意可知， ，即， 所以得 ，， ,， 或得 ， ，,， 所以 或， ,,,,所以 的一个取值为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 两曲线的公切线 例4（1）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和 的公切线.曲线和曲线 的公切线方程为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据导数的几何意义可知公切线的斜率为和 ， 则，分类讨论公切线与曲线， 的切点相同与不相同 的情况，求出对应的切点，结合直线的点斜式方程即可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 由，得，由得 . 设公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为， 设公切线与曲线 的切点为，则切线的斜率为， 所以 . 当公切线与曲线，的切点相同时，, ， 可得，所以切点为 ，此时公切线的方程为； 当公切线与曲线，的切点不同时， ,， 得，所以 ，即，解得， 此时，与 矛盾，故不存在切点不同的情况. 综上可得，切点的坐标为 ，公切线的方程为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）若曲线与曲线为常数， 有公 切线，则实数 的取值范围是_______________. ［思路点拨］先利用导数结合切点求出两曲线公切线的斜率,然后根 据公切线的性质,找到两切点坐标之间的关系,从而构造出关于一个切 点横坐标的函数,转化为值域问题求解. 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 设,,则 ， . 设公切线与曲线 的切点为，， 与曲线的切点为， ，则， 又, , . 设 ，则， 在 上单调递减，，， 即 的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 44 [总结反思] 既与曲线相切又与曲线 相切的直线叫作两曲线的公切线, 这类问题的解法步骤是: （1）设直线与曲线相切于点,与曲线 相切于 点 ; （2）切线方程为 ,即 ,同理切线方程也为,即 ; （3）由解出, ,从而得出切线方程. 课 堂 考 点 探 究 45 变式题（1）[2025· 福九联盟5月联考］曲线 与 的一条公切线的方程为_____________________________. （只需写出其中一条公切线的方程） （或） [解析] 设，，公切线与 的图象相 切于点，与的图象相切于点 . 因为，，所以公切线的斜率 ， 所以公切线方程为， ， 课 堂 考 点 探 究 46 整理得， ， 所以 即 所以，解得或 ， 所以公切线方程为或 . 课 堂 考 点 探 究 47 （2）[2025·辽宁省实验中学二模] 若 的图象与 的图象存在公切线，则 的取值范围是______________. [解析] 由题意知， . 设公切线分别与曲线，相切于点， ，则， ， 所以公切线方程为， ， 即，， 课 堂 考 点 探 究 48 所以 ， ， 所以 . 令，，，则 ， 由，得,由，得， 所以在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以， 又当且时， ，当 时， ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 50 ◆ 基础热身 ◆ 1.下列求导运算中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 2.函数在区间上的平均变化率等于 时的瞬时变 化率，则 ( ) A. B.1 C.2 D. [解析] 函数在区间 上的平均变化率等于 . 由，得，所以 . 因为函数在区间上的平均变化率等于 时的瞬时 变化率，所以，解得 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 3.[2025·广东湛江二模]已知函数，则曲线 在 点 处的切线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，则, ， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 4.已知函数，则 ( ) A.2 B.1 C. D. [解析] 由导数的定义可知， ， 又 ，所以， 所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 5.曲线在 处的切线如图所示，则 ( ) A.0 B.2 C. D. [解析] 设曲线在 处的切线方程为 ，则解得 所以曲线在处的切线方程为， 则切线斜率为1， 所以，，所以 . √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 6.（多选题）设函数在上的导函数为,在 上 的导函数为,若在上恒成立,则称函数 在 上为“凸函数”.以下四个函数在 上是凸函数的是( ) A. B. C. D. √ √ √ [解析] 对于A,由,得 , 则,因为 , 所以,,所以 , 所以此函数在上是凸函数; 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 对于B,由,得 ,则, 因为,所以,所以此函数在 上是凸函数; 对于C,由,得 ,则, 因为,所以 ,所以此函数在上是凸函数; 对于D,由,得 , 则, 因为 ,所以, 所以此函数在上不是凸函数.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 7.已知函数的导函数为，且 ，则 ____. [解析] 因为，所以 ， 令，则，解得， 令 ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 8.[2025· 全国一卷] 若直线是曲线 的一条 切线，则 ___. 4 [解析] 方法一：对于，其导函数为 ， 令，即，解得， 将 代入切线方程，可得， 所以切点坐标为 . 因为切点在曲线上，所以， 即 ，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 方法二：对于，其导函数为 . 设直线与曲线的切点坐标为 ， 则解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.[2025·广州二模] 已知函数, .若直线 与曲线和曲线都相切，求 的值. 解：方法一：设直线与曲线的切点坐标为 ， 由，得 ，解得,则 ， 则切点坐标为，所以直线的方程为，即 . 由得，则 ， 解得或（舍去）， 当时， ，符合题意，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 方法二：设直线与曲线的切点坐标为 ， 由，得 ，解得,则 ， 则切点坐标为，所以直线的方程为，即 . 当时，函数的定义域为， 设直线 与曲线的切点坐标为 ， 由，得，得 ， 则直线的方程为，即 ， 则 . 由①②解得, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 综合提升 ◆ 10.若直线与曲线和圆都相切，则 的方程为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设直线与曲线相切于点 ， 因为,所以直线的方程是 ， 即， 又直线与圆 相切，所以， 得，所以的方程为 ，故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 11.已知，，直线与曲线 相 切，则 的最小值是( ) A.16 B.12 C.10 D.9 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 由得. 由直线 与曲线相切可得， 解得 ，则，即， 又， ， 所以 ， 当且仅当，即, 时等号成立.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）已知函数的图象在 ， 两个不同点处的切线相互平行，则下列等式可能成立的 是( ) A. B. C. D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 [解析] 因为，所以,， 又 的图象在, 两点处的切线相互平行， 所以 ， 整理得， 又，所以 ，故C正确，D错误； 因为，当且仅当 时取等号， 但，所以，故A错误，B正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 13.[2025·黑龙江哈尔滨三模] 已知函数 , ，则的图象在点 处的切线方程 为_______. [解析] 由题意可知 ， 且， 故 ，故的图象在点处的切线方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 14.若函数 的图象在不同两点处的切线重合，则称这条切线为自 公切线，请写出一个有自公切线的函数 ____________________. （答案不唯一） [解析] 正弦函数的图象是周期为 的波浪线. 因为，， 所以的图象在 处的切线方程为，即. 因为 ，， 所以的图象在 处的切线方程为，即. 显然的图象在和 处的切线重合， 所以 有自公切线. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 15.已知函数 . （1）求曲线在 处的切线方程; 解：因为 ,所以, 又,所以曲线在 处的切线方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 （2）若过点存在3条直线与曲线相切,求 的取值范围. 解：设切点为,则 , 所以切线方程为 , 将代入,整理可得, 又点 在切线上, 所以 . 要使过点存在3条直线与曲线 相切, 则方程（*）有3个解. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 令 ,则. 令,可得 ,所以在 上单调递增; 令,可得或,所以在和 上单 调递减，所以在处取得极小值,在 处取得极大值, 又, ,所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 能力拓展 ◆ 16.已知函数 . （1）当时，求 的单调区间. 解：函数的定义域为 ， 当时，，则， 所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 （2）直线是曲线的一条切线，且 与曲线有无穷多个切点. （i）已知为坐标原点，直线与轴交于点，求 的值. 解：因为直线与曲线 相切，且有无穷多个切点， 所以不妨设其中任意两个切点为， ，其中. 因为，所以曲线在点， 处的切线方程 分别为 ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 所以 且， 所以 或 . ①当时， ， 又因为 ， 所以 ， 又，所以 ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当时，， 取异于， 的另一切点， 则 ， ， 如果，由于，同①可得 ， 如果，则，同理可得 ， 则 . 综上， 恒成立，所以， 此时直线的方程为 ，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （ⅱ）是否存在常数使得直线也是 的图 象的切线？若存在，写出直线 的一个方程并证明；若不存在，请说 明理由. 解：当直线的方程为时， 设直线和曲线 相切于点 . 因为 ， 所以 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 则 ， . 构造函数 ， 因为在上单调递增，且 ， 所以， 代入 得 ，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 构造函数，则 ， 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 故， 故由可知，所以 . 故存在常数使得直线也是 的图象的 切线，此时直线的方程为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $